1. Cho $a,b,c$ thuộc đoạn $\left [ 0;4 \right ]$ thỏa mãn: $abc=1$.

 

Câu 5 : Ta biến đổi HPT trên dưới dạng sau : 

 

                  $\left\{\begin{matrix} (x-y)^{2}+2xy+4(x-y)=6 & \\ (x-y)((x-y)^{2}+3xy)+6(x-y)^{2}+12xy=32 & \end{matrix}\right.$ (*)

Đặt $\left\{\begin{matrix} x-y=S & \\ xy=P & \end{matrix}\right.$ 

Ta viết lại (*) :

                          $\left\{\begin{matrix} S^{2}+4S+2P=6 (1) & \\ S(S^{2}+3P)+6S^{2}+12P=32 (2)& \end{matrix}\right.$

Rút P từ pt (1) và pt (2) ta có phương trình sau :

                                       $S^{3}+12S^{2}+30S-8=0$ (**)

Ta suy ra PT (**)  có 3 nghiệm phân biệt :

                                                       $\left\{\begin{matrix} S_{1}=-4 & & \\ S_{2}=-4-3\sqrt{2} & & \\ S_{3}=3\sqrt{2}-4 & & \end{matrix}\right.$

           Từ S ta suy ra P .Từ đó ta có 3 nghiệm của pt (*) là :

                                            $\left\{\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} x=\sqrt{7}-2 & \\ y=2+\sqrt{7} & \end{matrix}\right. & & \\ \left\{\begin{matrix} x=\frac{-4-3\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2} & \\ y=\frac{-4-3\sqrt{2}-\sqrt{10}}{2} & \end{matrix}\right. & & \\ \left\{\begin{matrix} x=\frac{4+\sqrt{10}-3\sqrt{2}}{2} & \\ y=\frac{4-\sqrt{10}-3\sqrt{2}}{2} & \end{matrix}\right. & & \end{matrix}\right.$ 

                                                 

 Lời giải của bạn đúng hướng rồi nhưng bạn tính toán nhầm thì phải?

 Nếu để ý thì hệ phương trình này đối xứng giữa $x$ và $-y$.

 Ta có thể giải bằng cách đặt: $x+2=a$ và $y-2=b$.

 Cho $a, b, c$ là ba số thực dương thỏa mãn: $a+b+c=1$.

 Mình có 4 bài toán cần xin hướng dẫn phương pháp tiếp cận của mọi người, hướng tiếp cận càng tự nhiên thì càng tốt.

 Bài toán 1:

Có thể là cách này (bạn tham khảo nhé ):
Không mất tính tổng quát giả sử:$c\geq b\geq a$.Ta phải chứng minh :
$a+b-ab\geq \frac{4-a-b}{ab+1}(a+b-1)$
$\Leftrightarrow (a+b-2)^{2}\geq ab(a-1)(b-1)$
Bất đẳng thức này đúng vì theo AM-GM và giả thiết thì :
$(a+b-2)^{2}\geq 4(a-1)(b-1)\geq ab(a-1)(b-1)$
Vậy ta có ĐPCM.

Bạn xem lại chỗ này nhé vì chưa biết $a-1, b-1$ dương hay âm mà?

Một cách khác!

Giải:

Đặt $(x;y;z)=(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c})$. BĐT cần C/m $\Leftrightarrow a+b+c\geq ab+bc+ca$ 

Từ GT $\Rightarrow ab+bc+ca+abc=4$

$\Rightarrow \frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}=1$. 

Đặt $a=\frac{2m}{n+p};b=\frac{2n}{p+m};c=\frac{2p}{m+n}$

BĐT cần C/m $\Leftrightarrow m^3+n^3+p^3+3mnp\geq mn(m+n)+np(n+p)+pm(p+m)$ (BĐT này luôn đúng vì đây là BĐT Schur)

Dấu "=" $\Leftrightarrow x=y=z=1$

 

$(x;y;z)=\left (\dfrac{b+c}{2a}; \dfrac{c+a}{2b}; \dfrac{a+b}{2c} \right)$

 

$xy+yz+zx \ge x+y+z \Leftrightarrow \sum \dfrac{c(b+c)(c+a)}{4abc} \ge \sum \dfrac{2bc(b+c)}{4abc}$

 

$\Leftrightarrow a(a+b)(a+c)+b(b+c)(b+a)+c(c+a)(c+a) \ge 2ab(a+b)+2bc(c+c)+2ca(c+a)$

 

$\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3abc \ge ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$

Bạn có thể giải thích tại sao lại đặt được như vậy không?

 Có ai giải câu tổ hợp một cách chặt chẽ và hoàn chỉnh cho mình được không?

 Mình cám ơn

 

ta có 

$2\Rightarrow y+f(x)=f(x+y)=f(y)+x\Leftrightarrow f(x)-x=f(y)-y \Rightarrow f(x)=x+a$

$1\Rightarrow x^{2}(\frac{1}{x}+a)=x+a-x^{2}+1\Leftrightarrow x+ax^{2}=x-x^{2}+a+1\rightarrow a=-1$

vậy f(x) =x-1

 

 Lời giải trên của bạn suy ra $a=-1$ khi $x$ khác $-1, 0, 1$. Vậy có được không?

  Đề thi Học sinh giỏi cấp trường

Đúng rồi đấy em.

Em đang bắt đầu học về hàn điểm điều hoà. Rất mong đợi chuyên đề của anh.

Vậy em có thể trao đổi các bài toán về Hàng điểm điều hòa lên diễn đàn được không?

http://www.mediafire.../Chuyen de.docx

Sao mình không tải được tài liệu này vậy bạn?

 Mình đang chuẩn bị cho Kỳ Hội thảo Khoa học ở trường về chủ đề: Phương pháp dồn biến trong chứng minh bất đẳng thức. Mình đang cần sưu tầm các bài toán cơ bản và nâng cao dần về phương pháp này. Mong mọi người giúp đỡ cho mình nhé. Mình xin cám ơn.