Cho $a,b,c$ không âm thỏa $ab+bc+ac>0$.Chứng minh rằng:

$$\frac{a^3}{a+b}+\frac{b^3}{b+c}+\frac{c^3}{c+a}\leq (1+\frac{\sqrt[3]{4}}{3}).(\frac{a^3+b^3+c^3}{a+b+c})$$

Cho $a,b,c$ không âm thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$.Chứng minh rằng:

$$\frac{a}{ab+3}+\frac{b}{bc+3}+\frac{c}{ca+3}\leq \frac{3}{4}$$

 $(a,b,c)=(1,1,5)$ ?

Ý tưởng lớn gặp nhau chăng

Cho $a,b,c>0$. C/m:
$2(a+b+c)(ab+bc+ca)^{2}\geq 9abc(a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+ca+bc)$

BĐT trên sau khi khai triển: $2\sum a^{2}b^{2}(a+b)+abc(a+b+c)\geq5abc(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

Lấy $b=c=1, a=5$ sai

Với $a,b,c \geq 0$, $ab+bc+ac=1$.Ta có các kết quả tương tự sau:

$$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq 2+\frac{1}{a+b+c}$$

$$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{3}{a+b+c}\geq 4$$

$$ \frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{c^2+a^2}\geq \frac{5}{2}$$

 

Cho a+b+c $\geq$ 0 , ab+bc+ca=1. Chứng minh rằng:

   \[{\left( {\frac{{{a^2}}}{{a + c}} + \frac{{{b^2}}}{{a + b}} + \frac{{{c^2}}}{{c + b}}} \right)^2} + \frac{{4abc({a^2} + {b^2} + {c^2} + 2)}}{{(a + b)(b + c)(c + a)}} \ge \frac{9}{4}\]

 

Lấy $a+b+c=1$ và đặt $ab+bc+ac=q,r=abc$ thì ta cần chứng minh:

$$\frac{(q-q^2-2r)^2}{(q-r)^2}+\frac{4r}{q-r}\geq \frac{9q}{4}$$

Khai triển thì $f(r)$ là hàm lồi theo $r$ nên có cực đại.

BĐT tương đương: $9qr^2-34q^2r+17q^3-4q^4-4q^2 \leq 0$

Nếu $q \leq \frac{1}{4}$ thì $r \geq 0$. Nếu $\frac{1}{3} \geq q \geq \frac{1}{4}$ thì $r \geq \frac{4q-1}{9}$ và $f(\frac{4q-1}{9})=\frac{q(1-3q)^2(1-4q)}{9}\leq 0$

Xét $r \leq \frac{q^2}{3}$ thì $f(\frac{q^2}{3})=\frac{q^2(3q-1)(q^2-15q+12)}{3}\leq 0$

BĐT sau mạnh hơn:

$$\frac{1}{1+a^2(b+c)}+\frac{1}{1+b^2(a+c)}+\frac{1}{1+c^2(a+b)}\leq \frac{3}{1+2abc}$$

BĐT tương tự với $a+b+c=3$, $a,b,c$ không âm:

$$\frac{a}{1+(b+c)^2}+\frac{b}{1+(a+c)^2}+\frac{c}{1+(a+b)^2}\leq \frac{60}{1+99abc}$$

mình có bài bdt này đã có đề từ lâu mà chưa biêt cách giai
a,b,c>0. Cm
$ \dfrac{b+c}{2a^2+bc} + \dfrac{a+c}{2 b^2+ca } + \dfrac{a+b}{2c^2+ab } \geq \dfrac{6}{a+b+c}$

Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ac>0$.Chứng minh rằng:

$$\frac{a+b+c}{ab+bc+ac}\geq \frac{a}{a^2+2bc}+\frac{b}{b^2+2ac}+\frac{c}{c^2+2ab}+\frac{8abc(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)}{(a+b+c)^4(ab+bc+ac)}$$

 Cho $a,b,c$ là các số thực không âm sao cho không có bất kì 2 trong 3 số đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng :

$$a^3+b^3+c^3+3abc.\dfrac{a^2b+b^2c+c^2a}{ab^2+bc^2+ba^2}\geq \sum ab(a+b)$$

 

 BW too

Cái này phân tích bình phương hoán vị thì tốt hơn em ạ.

Cho $a,b,c$ không âm thỏa $ab+bc+ac>0$.Chứng minh BĐT sau:

$$ \sum a(a-b)(a-c)\geq abc(\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}-1)$$

Cách giải khác không dùng BĐT $Schur$  

Giả sử $a \geq b \geq c$ 

Đặt $x=a-b,y=b-c$

Bất đẳng thức được viết lại thành

$c(x+y)y-(c+y)xy+(c+x+y)x(x+y) \geq 0$

$<=>c(x^{2}+xy+y^{2})+x^{2}(x+2y) \geq 0$ ( hiển nhiên đúng vì $c;x;y$ không âm )

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=0$ hoặc $x=c=0$

Hay $a=b=c$ hoặc $a=b,c=0$ và các hoán vị

Cho $a,b,c$ không âm thỏa mãn không có 2 số nào đồng thời bằng không.Chứng minh BĐT sau:

$$\sum a^2(a-b)(a-c)\geq \frac{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}{ab+bc+ca}\cdot \sum a(a-b)(a-c)$$

$$ \sum a(a-b)(a-c)\geq 4\frac{(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}{(a+b)(a+c)(b+c)}$$

BW are welcome! Have fun...

Bài bất dùng bổ đề:

$$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq \frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}$$

Vế sau là BĐT trong đề VMO năm 96

Cách của anh Huyện thì em biết vì đây cũng là lời giải ban đầu của em, em vẫn đang tìm 1 lời giải khác bằng C-S 

BĐT tương tự sau, tuy không quá chặt nhưng coi như món "quà" dành cho chủ thớt:

Cho $a,b,c$ thực dương và $a+b+c=3$.Chứng minh rằng:

$$a^3b+b^3c+c^3a +6abc \leq 9$$

Tại vì em chứng minh nó dài dòng lắm ạ, ai chứng minh gọn em phục ạ

Nói thật thì bài này còn yếu hơn cả BĐT Schur mà ta vẫn hay dùng và cũng chả đáng để dùng thêm bất cứ 1 công cụ nào khác ở đây ngoài Schur và AM-GM

Sau khi đồng bậc 2 vế và rút gọn thì ta có BĐT tương đương:

$4(a^3+b^3+c^3)+6abc \geq 3ab(a+b)+3bc(b+c)+3ac(a+c)$

Nhân tiện đây thì bạn nên đọc kĩ nội quy trc khi post bài. Thanks.

Bất đẳng thức sau do mình chế ra, được đánh giá là rất mạnh, mong cao thủ chỉ giáo ạ 

 

Cho 3 số dương a,b,c thỏa :  a+b+c = 1

 

cmr :

$27abc \geq 15(ab+ac+bc) - 4$

Spoiler

Bạn này có vẻ có tính hài hước ghê   

Tại sao bạn nghĩ bài này mạnh vậy?

Cho $x,y,z$ thực dương thỏa mãn $xy+yz+xz=1$. Chứng minh rằng:

$$\frac{x^2+1}{x^2+2yz+1}+\frac{y^2+1}{y^2+2xz+1}+\frac{z^2+1}{z^2+2xy+1}\geq 2$$

ta có $\frac{(x+y)^2}{x^2+y^2+xy+yz}\leq \frac{x^2}{x^2+xy}+\frac{y^2}{y^2+yz}=\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}$  (svax)

mấy cái tê tương tự rồi cộng lại

Các phân thức sau ta vẫn thu được đại lượng này hay nói cách khác cách làm này sai.

em không biết ý kiến của em có vấn đề không
ta có $\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}} \geq 2$, dấu bằng tại a=b,c=0, thay vào thì lại là 10 ạ
có gì sai mong anh lượng thứ ^^

Tại $c=0$ xảy ra dấu bằng, cái chính là xác định xem $a=kb$ ,$k$ là bao nhiêu? chứ ra 10 thì ta vẫn có dấu ">"

Cho $x,y,z$ thực dương.Chứng minh BĐT sau:

$$\frac{(x+y)^2}{x^2+y^2+xy+yz}+\frac{(y+z)^2}{y^2+z^2+yz+zx}+\frac{(z+x)^2}{z^2+x^2+xy+xz}\leq 3$$

Cho $a,b,c$ không âm thỏa $ab+bc+ac>0$.Chứng minh rằng:

$$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}+\frac{2(a+b+c)^3}{a^3+b^3+c^3}\geq 6$$

$\int \frac{1}{(1+\sqrt{2x+1})^2}dx$

Đổi biến số rồi vi phân. Đặt $\sqrt{2x+1}=t$

Cho các số thực x,y,z thỏa mãn $x+y+z=xyz$ và $x>1, y>1, z>1$. Tìm GTNN của 

$P=\frac{x-1}{y^2}+\frac{y-1}{z^2}+\frac{z-1}{x^2}$

Sau khi đổi biến thì ta sẽ đi chứng minh rằng với $a,b,c$ thực dương thỏa $ab+bc+ac=1$ thì ta có:

$$P=\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}-a^2-b^2-c^2\geq \sqrt{3}-1$$

Hãy chứng minh BĐT sau:

$$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq\frac{(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)}{ab+bc+ac}$$

Cho a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác. CMR

$5(ab+bc+ca)(a+b+c)\geq (a+b+c)^{3}+18abc$

Dùng phép thế Ravi rồi khai triển ra.