$A=\frac{x}{x^{4}+y^2}+\frac{y}{y^{4}+x^2}=\frac{2}{x^{3}+y^3}\leq 1$ là sao bạn

Ta có: $\frac{x}{x^4+y^2}=\frac{xy}{x^4y+y^3}=\frac{xy}{xy.x^3+y^3}$

Vì $xy=1$ nên thay vào, ta được:

$\frac{x}{x^4+y^2}=\frac{1}{1.x^3+y^3}=\frac{1}{x^3+y^3}$

$2$ phân thức bình đẳng nên tương tự phân thức thứ $2$, cộng lại được: $\frac{2}{x^3+y^3}$

Áp dụng bất đăng thức $Cauchy$ với $2$ số dương, ta có:

$x^3+y^3\geq 2.\sqrt{x^3y^3}=2.\sqrt{(xy)^3}=2$ (do $xy=1$)

Phần trình bày của @congdaoduy9a là dấu $\leq$ nên chắc bạn hiểu lầm

Hoặc

Mình hiểu lầm

Không liên quan nhưng cho mình hỏi bạn có phải Vương ĐÌnh Ân không ? 

=)) thằng bạn em chị ạ

Mình cũng thử dùng wolfram thử thì thấy nó hiện ra min là $ \frac{-1}{108}$ tại $x=\frac{1}{2};y=5$

Sau một hồi biến đổi tương đương không ra cộng thêm việc thử lại với $x=3$  và $y=0$ thì cũng tìm ra được min giống bạn

Bài này có cách khác không cần dùng wolfram không nhỉ

Kiểu gì chả có nhưng dấu "=" xảy ra rất khó đoán và tận dụng để đánh giá :3

 

Câu 4(4đ): a) Ở đây

 

C1: Ta có: $\frac{x^2+12}{x+y}+y=\frac{x^2+xy+y^2+12}{x+y}$

Xét: $\frac{x^2+12}{x+y}-6=\frac{x^2+xy+y^2+12-6x-6y}{x+y}$

Ta có: $4(x^2+xy+12-6x-6y)=[(2x+y)^2-12(2x+y)+36]+3(y^2-4y+4)=(2x+y-6)^2+3(y-2)^2\geq 0$

Do đó, $\frac{x^2+12}{x+y}+y-6\geq 0$

$\Rightarrow\frac{x^2+12}{x+y}+y\geq 6$

Đẳng thức xảy ra tại $x=y=2$

C2: Chứng minh được: $x^2+xy+y^2\geq\frac{3}{4}(x+y)^2$

Do đó, $\frac{x^2+12}{x+y}+y\geq\frac{\frac{3}{4}(x+y)^2+12}{x+y}\geq\frac{2\sqrt{\frac{3}{4}.(x+y)^2.12}}{x+y}=6$

d) $x+y+\frac{1}{xy}$

$x+y+\frac{1}{xy}\geq 2\sqrt{xy}+\frac{1}{xy}=\sqrt{xy}+\sqrt{xy}+\frac{1}{xy}\geq 3.\sqrt[3]{\sqrt{xy}.\sqrt{xy}.\frac{1}{xy}}=3$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=1$

Bài 1:Tìm $a;b;c$ nguyên tố thỏa mãn $a^b+b^a=c$

$a,b,c$ là số nguyên tố nên: $a,b,c\in\mathbb{N^{*}}$ và $a,b,c\geq 2$

Do đó, ta có: $c\geq 2^2+2^2>2$ mà $c$ là số nguyên tố nên $c$ phải là số lẻ:

Ta có: $a^b+b^a$ là số lẻ nên tồn tại $a^b$ hoặc $b^a$ chẵn mà $a,b$ là số nguyên tố nên $a=2\vee b=2$

Xét $1$ trường hợp, trường hợp còn lại tương tự:

$b=2$ và $a$ phải là số lẻ nên $a=2k+1$ với $k\in\mathbb{N^{*}}$

Ta có: $2^a+a^2=c$

Nếu $a=3$ thì $c=17$ thỏa mãn.

Nếu $a>3$ mà $a$ là số nguyên tố nên $a$ không chia hết cho $3$ suy ra: $a^2$ chia $3$ dư $1$.

Ta có: $2^a=2^{2k+1}=4^{k}.2-2+2=(4^k-1).2+2=BS(3)+2$ nên chia $3$ dư $2$

Từ đó, $2^a+a^2\vdots 3$ nên $c\vdots 3$ suy ra $c$ là hợp số, loại.

Vậy $(a;b;c)=(2;3;17);(3;2;17)$

Bài V:

Quy đồng lên, ta cần chứng minh:

$\Leftrightarrow (ab)^2(a^2+b^2)\leq 2$

$\Leftrightarrow (ab)^2[(a+b)^2-2ab]\leq 2$

$\Leftrightarrow (ab)^2[4-2ab]\leq 2$ $(1)$

Đặt $t=ab$. Ta có: $0<t\leq 1$

Ta có: $(1)\Leftrightarrow t^2(4-2t)\leq 2$

$\Leftrightarrow 4t^2-2t^3\leq 2$

$\Leftrightarrow 2t^3-4t^2+2\geq 0$

$\Leftrightarrow t^3-2t^2+t-t+1\geq 0$

$\Leftrightarrow (t^2-t-1)(t-1)\geq 0$

Ta có: $t-1\leq 0$; $0<t\leq 1$ nên: $t^2\leq t$ suy ra: $t^2-t-1\leq 0$

Do đó, $(t^2-t-1)(t-1)\geq 0$ (ĐPCM)

Cho x,y không âm, tìm GTNN của:
$A=\frac{(1-x)(1-xy)}{(1+x)^2(1+y)^2}$

Ta dự đoán $Min=\frac{-1}{8}$ (Tại đây )

Ta sẽ chứng minh: $A\geq\frac{-1}{8}$

$\Leftrightarrow (1-x)(1-xy)+\frac{1}{8}((1+x)^2(1+y)^2)\geq 0$

Rút gọn lại ta được bất đẳng thức tương đương:

$9 - 6 x + x^2 + 2 y - 4 x y + 10 x^2 y + y^2 + 2 x y^2 + x^2 y^2\geq 0$

$\Leftrightarrow (x^2-6x+9)+(10x^2y-4xy+2y)+y^2+2xy^2+x^2y^2\geq 0$

$\Leftrightarrow  (x-3)^2+y(10x^2-4x+2)+y^2(1+2x+x^2)\geq 0$

$\Leftrightarrow  (x-3)^2+y[(2x-1)^2+6x^2+1]+(x+1)^2.y^2\geq 0$ 

Wolframalpha dùng sao vậy bạn?

Em nên xưng là "EM"

Em cũng biết ít ít thôi

Một số lệnh em biết, em xin lấy ví dụ cho dễ hiểu

Khai triển: expand (x-1)(x-3), máy sẽ hiện: x^2-4x+3

Phân tích đa thức thành nhân tử: factor x^2-4x+3, máy sẽ hiện: (x-1)(x-3)

Tìm cực trị: 

min x^2

max -x^2

Nếu tìm cực trị thêm điều kiên như: min x^2 with x>=1

hoặc có thể thay là min x^2 domain x>=1

em biết thế thôi :3

Giải các hệ phương trình 

3, $\left\{\begin{matrix} y^{3}=2(\sqrt{2x^{3}}+\sqrt{2x}-y) & \\ y(y-x-2)=3-3x & \end{matrix}\right.$

Phương trình sau phân tích được thành: $-(y-3)(x-y-1)=0$ xét hai trường hợp thay vào phương trình đầu.

Giải các hệ phương trình 

2, $\left\{\begin{matrix} 6x(z^{2}+y^{2})=13yz & & \\ 6z(x^{2}+y^{2})=5xy & & \\ 3y(x^{2}+z^{2})=5xz & & \end{matrix}\right.$

Xét một phương trình thôi:

$6x(y^2+z^2)=13yz$

$\Longleftrightarrow \frac{x(y^2+z^2)}{yz}=\frac{13}{6}$

$\Longleftrightarrow  \frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}=\frac{13}{6}$

Thiết lập hai phương trình còn lại rồi đặt: $\frac{xy}{z}=a;\frac{xz}{y}=b;\frac{yz}{x}=c$ thay vào giải dễ rồi!

Giải các hệ phương trình 

4, $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}(2+\frac{7}{2x+5y})=3\sqrt{2} (1)& \\ \sqrt{5y}(2-\frac{7}{2x+5y})=\sqrt{3} (2)& \end{matrix}\right.$

Xét phương trình $(1)$ ta có:

$2+\frac{7}{2x+5y}=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{x}}$

Bình phương hai vế, ta có:

$4+\frac{28}{2x+5y}+\frac{49}{(2x+5y)^2}=\frac{18}{x}$

Tương tự phương trình $(2)$: $4-\frac{28}{2x+5y}+\frac{49}{(2x+5y)^2}=\frac{3}{5y}$

Trừ hai phương trình trên lại, ta được:

$\frac{56}{2x+5y}=\frac{90y-3x}{5xy}$

Quy đồng rồi rút gọn ta được: 

$(3x-10y)(2x+45y)=0$

Theo ĐKXĐ có: $x,y>0$ nên $x=\frac{10}{3}y$

Thay lại một phương trình giải ra.

Giải các hệ phương trình 

1, $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+\frac{2xy}{x+y}=1 & \\ \sqrt{x+y}=x^{2}-y & \end{matrix}\right.$

$(x+y)^2-2xy+\frac{2xy}{x+y}=1$

$\Longleftrightarrow (x+y+1)(x+y-1)-2xy(1-\frac{1}{x+y})=0$

$\Longleftrightarrow (x+y+1)(x+y-1)-2xy\frac{x+y-1}{x+y})=0$

$\Longleftrightarrow (x+y-1)(x+y+1-\frac{2xy}{x+y})=0$

Chắc ok rồi

2/ Cho a,b,c là các số nguyên dương. Chứng minh:

 

$\sum \frac{(b+c-a)^2}{(b+c)^2+a^2}\geq \frac{3}{5}$

Ta có: $A=\sum\frac{(b+c-a)^2}{(b+c)^2+a^2}$

    <=> $A=\sum\frac{(b+c)^2+a^2-2a(b+c)}{(b+c)^2+a^2}$

    <=> $A=\sum 1-\frac{2a(b+c)}{(b+c)^2+a^2}$

    <=> $A=3 -\sum\frac{2a(b+c)}{(b+c)^2+a^2}$

Áp dụng bắt đẳng thức $AM-GM$, ta có:

$a^2+\frac{(b+c)^2}{4}\geq a(b+c)$

<=> $a^2+(b+c)^2\geq a(b+c)+\frac{3}{4}(b+c)^2$

Do đó: $A\geq 3-\sum\frac{2a(b+c)}{a(b+c)+\frac{3}{4}.(b+c)^2}$

<=> $A\geq 3-\sum 2-\frac{\frac{3}{2}.(b+c)^2}{a(b+c)+\frac{3}{4}.(b+c)^2}$

<=> $A\geq\sum\frac{\frac{3}{2}(b+c)^2}{a(b+c)+\frac{3}{4}.(b+c)^2}-3$

<=> $A\geq\frac{3}{2}.B-3  (1)$

Ta có: $B=\sum\frac{(b+c)^2}{(b+c)(a+\frac{3}{4}(b+c))}$

     <=>$B=\sum\frac{b+c}{a+\frac{3}{4}(b+c)}$

     <=>$\frac{1}{4}B+3=\sum{\frac{\frac{1}{4}(b+c)}{a+\frac{3}{4}(b+c)}+1}$

     <=>$\frac{1}{4}B+3=(a+b+c).\sum\frac{1}{a+\frac{3}{4}.(b+c)}\geq (a+b+c).\frac{9}{\sum{a+\frac{3}{4}(b+c)}}$

Lại có: $VP=(a+b+c).\frac{9}{\frac{5}{2}(a+b+c)}=\frac{18}{5}$.

Do đó, $\frac{1}{4}B+3\geq\frac{18}{5}$

<=> $B\geq(\frac{18}{5}-3).4=\frac{12}{5}  (2)$

Từ $(1),(2)$, ta có: $A\geq \frac{3}{2}.\frac{12}{5}-3=\frac{3}{5}$

=> $Q.E.D$

Vậy $\sum \frac{(b+c-a)^2}{(b+c)^2+a^2}\geq \frac{3}{5}$

Dấu $"="$ xảy ra <=> $a=b=c\in\mathbb{Z_+}$

1/ Cho $a+2b+3c=100$. Tìm GTLN của $abc$

 

2/ Cho a,b,c là các số nguyên dương. Chứng minh:

 

$\sum \frac{(b+c-a)^2}{(b+c)^2+a^2}\geq \frac{3}{5}$

1/ Max:

Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy$ với $3$ số dương, ta có:

$a+2b+3c\geq 3\sqrt[3]{6abc}$

<=> $100\geq 3\sqrt[3]{6abc}$

<=> $abc\leq \frac{500000}{81}$

Dấu $"="$ xảy ra <=> $a=\frac{100}{3}; b=\frac{50}{3}; c=\frac{100}{9}$

Kết luận: ....

cho a,b,c>0 và $ab+bc+ca\geq 3$ chứng minh $\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}\geq\frac{3}{2}$

 Ta có:

$\sum\frac{a^3}{b+c}=\sum\frac{a^4}{ab+ac}$.

Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$, ta có:

$\sum\frac{a^4}{ab+ac}\geq\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+ac+ab+bc+ca+bc}=\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2(ab+bc+ca)}$

Cần chứng minh: $\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2(ab+bc+ca)}\geq\frac{3}{2}$

                      <=> $(a^2+b^2+c^2)^2\geq 3(ab+bc+ca) (1)$

Áp dụng bất đẳng thức phụ: $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$

=> $(a^2+b^2+c^2)\geq (ab+bc+ca)^2\geq 3(ab+bc+ca)$ vì theo gt: $ab+bc+ca\geq 3$

=> $(1)$ đúng.

=>$Q.E.D$

Tìm phương trình đường thẳng đi qua P(1;3) cắt Ox và Oy tại hai điểm A và B (A và B khác gốc O) sao cho OA+OB đạt GTNN

chả biết GTNN hay GTLN. nếu GTNN thì $OA$;$OB$; là các số không âm nên $min=0$

PT đường thẳng cần viết là $y=3x$ 

Giải các pt

1,$x=(\sqrt{1+x}+1)(\sqrt{x+10}-4)$

PT $\Leftrightarrow x(\sqrt{1+x}-1)=(\sqrt{1+x}+1)(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{x+10}-4)$

$\Leftrightarrow x(\sqrt{1+x}-1)=(1+x-1)(\sqrt{x+10}-4)$

$\Leftrightarrow x(\sqrt{1+x}-1)=x(\sqrt{x+10}-4)$

Dễ thấy $x=0$ không là nghiệm của pt nên:

$\Leftrightarrow \sqrt{1+x}-1=\sqrt{x+10}-4$

$\Leftrightarrow \sqrt{x+10}-\sqrt{x+1}=3$

Đặt $\sqrt{x+10}=a$ và $\sqrt{x+1}=b$, ta có hệ phương trình:

$a-b=3$ và $a^2-b^2=9$

Giải hệ được $b=0$

$\Leftrightarrow\sqrt{x+1}=0$

$\Leftrightarrow x=-1$

Cho đa thức f(x) có bậc 2007 thỏa mãn

$f(k)=\frac{k^{2}}{k+1}$ (với k=1;2;3..........;2008) 

Tính giá trị của f(2009)

Xét đa thức phụ $p(x)=f(x)-\frac{k^2}{k+1}\Longrightarrow p(k)$ có bậc $2007$

=> $p(1)=p(2)=p(3)=p(4)=...=p(2008)$

=> $p(x)$ có $2008$ nghiệm 

Mà $p(x)$ có bậc $2007$

Do đó, ta có điều vô lí.

Vậy không tìm được $f(2009)$

 

   

 

          

Bài 2:   

            2) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+\frac{8xy}{x+y}=16 & \\ \sqrt{x^{2}+12}+\frac{5}{2}\sqrt{x+y}=3x+\sqrt{x^{2}+5} & 

Xét PT đầu: $\Leftrightarrow (x+y)^2-2xy+\frac{8xy}{x+y}=16$

 $\Leftrightarrow (x+y+4)(x+y-4)-xy(2-\frac{8}{x+y})=0$

 $\Leftrightarrow  (x+y+4)(x+y-4)-2xy\frac{x+y-4}{x+y}=0$

 $\Leftrightarrow (x+y+4-\frac{2xy}{x+y})(x+y-4)=0$

Ta xét: $x+y+4-\frac{2xy}{x+y}=0$

 $\Leftrightarrow (x+y)^2+4(x+y)-2xy=0$

 $\Leftrightarrow  x^2+y^2+4(x+y)=0$

Từ ĐKXĐ pt sau dễ dàng chỉ ra vô lí

Do đó, $x+y=4$ Thay vào pt sau ta có:

$\sqrt{x^2+12}+5=3x+\sqrt{x^2+5}$

 $\Leftrightarrow\sqrt{x^2+12}-4=3x-6+\sqrt{x^2+5}-3$

 $\Leftrightarrow\frac{x^2-4}{\sqrt{x^2+12}+4}=3(x-2)+\frac{x^2-4}{\sqrt{x^2+5}+3}$

Dễ dàng chỉ ra được $\frac{x+2}{\sqrt{x^2+12}+4}<\frac{x+2}{\sqrt{x^2+5}+3}$ nên $x=2$

Vậy hpt có nghiệm duy nhất: $(x;y)=(2;2)$

Giải các pt

2, $(\sqrt{3x+1}+\sqrt{x-7})\sqrt{x}=2(x+4)$

PT $\Leftrightarrow (\sqrt{3x+1}+\sqrt{x-7})(\sqrt{3x+1}+\sqrt{x-7})\sqrt{x}=2(x+4)(\sqrt{3x+1}+\sqrt{x-7})$

$\Leftrightarrow 2(x+4)\sqrt{x}=2(x+4)(\sqrt{3x+1}+\sqrt{x-7})$

Xét $x=-4$

Xét $x\neq -4$

Ta có: PT $\Leftrightarrow\sqrt{x}=\sqrt{3x+1}+\sqrt{x-7}$

Dễ chỉ ra $\sqrt{3x+1}>\sqrt{x}$ nên vô nghiệm

        Tìm tất cả các giá trị của a để phương trình

$2x^{2}-(4a+\frac{11}{2})x+4a^{2}+7=0$

Có ít nhất 1 nhiệm nguyên

Giả sử $x_0$ là một nghiệm nguyên của phương trình trên. ($x_0\in\mathbb{Z}$)

PT trên $\Leftrightarrow 2x_0^2-(4a+\frac{11}{2})x_0+4a^2+7=0$

$\Leftrightarrow 4a^2-4ax_0+2x_0^2-\frac{11}{2}x_0+7=0$

PT trên coi là pt bậc hai ẩn $a$, ta có:

$\Delta^{'}=4x_0^2-8x_0^2+22x_0-28\geq 0$

$\Leftrightarrow -4x_0^2+22x_0-28\geq 0$

$\Leftrightarrow 2\leq x_0\leq\frac{3}{2}$ Vì $x_0\in\mathbb{Z}$ nên: $x_0=2$ hoặc $3$. Xét hai trường hợp rồi tìm $a$

Giải các pt

1, $x=(2013+\sqrt{x})(1-\sqrt{1-\sqrt{x}})^{2}$

PT $\Leftrightarrow x=(2013+\sqrt{x})(1-\sqrt{1-\sqrt{x}})^2$

 $\Leftrightarrow x(1+\sqrt{1-\sqrt{x}})^2=(2013+\sqrt{x})(1-1+\sqrt{x})^2$

 $\Leftrightarrow x(1+\sqrt{1-\sqrt{x}})^2=(\sqrt{x}+2013)x$

Ta có: $(1+\sqrt{1-\sqrt{x}})^2\leq (1+1)^2=4<2013\leq \sqrt{x}+2013$

Do đó, $x=0$

Do đang suy nghĩ về một bài toán khó, bạn Hùng đi bộ từ trường THCS An Lộc về nhà. Sau 1 phút đầu tiên bạn Hùng đi theo hướng về nhà được 300 mét, 2 phút tiếp theo bạn Hùng lại đi quay lại 200 mét, 3 phút tiếp theo bạn Hùng đi theo hướng về nhà được 300 mét, 4 phút tiếp theo bạn Hùng lại đi quay lại 200 mét… Hỏi sau bao nhiêu phút thì bạn Hùng về tới nhà? Biết rằng khoảng cách từ trường về tới nhà là 1000 mét.

P/s: Toán mẹo nhé... 210p là sai đó

Bài này hay ghê , trong chỗ thi luyện casio nhỉ

Ta thấy đi $7$ lần đi $300m$ và lùi $200m$ và thêm một lần đi thêm $300m$ là về tới nhà nên cần $15$ lần diễn ra sự kiện đi nên cần:

$1+2+3+4+5+6+7+....+15=120$ phút. 

(Diễn đạt hơi kém, thông cảm )

                                                     ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN 9 TỈNH ĐỒNG NAI NĂM 2014-2015

Câu 1:

1)Giải phương trình : $(x^2-4x+3)(x^2-6x+8)=3$

2)Chứng minh : $x^4-5x^3+11x^2-12x+6> 0$ với mọi $x$

1) $(x-1)(x-3)(x-2)(x-4)=3$

$\Leftrightarrow (x^2-5x+4)(x^2-5x+6)=3$

$\Leftrightarrow (x^2-5x+5)^2-1=3$

$\Leftrightarrow (x^2-5x+5)=4$

$\Leftrightarrow x^2-5x+5=2$ TH $=-2 dễ dàng loại$

$\Leftrightarrow x^2-5x+3=0$

$\Leftrightarrow ......$

2) $=(x^2-3x+3)(x^2-2x+2)=(x^2-3x+\frac{9}{4}+\frac{3}{4})(x^2-2x+1+1)=((x-\frac{3}{2})^2+\frac{3}{4})((x-1)^2+1)>0$