Với $a,b>0$, chứng minh rằng $16ab(a-b)^2\leq (a+b)^4$
eminemdech nội dung
Có 79 mục bởi eminemdech (Tìm giới hạn từ 06-06-2020)
#558342 Với $a,b>0$, chứng minh rằng $16ab(a-b)^2\leq (a+b)^4...
Đã gửi bởi eminemdech on 08-05-2015 - 16:31 trong Bất đẳng thức và cực trị
#575629 Về phía ngoài tam giác $ABC$, ta dựng các tam giác đồng dạng $...
Đã gửi bởi eminemdech on 26-07-2015 - 19:38 trong Hình học phẳng
ta chứng minh bổ đề quen thuộc: $\Delta ABC;\Delta A'B'C'$ có cùng trọng tâm <=> $\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{0}$
gọi G,G' là trọng tâm $\Delta ABC;\Delta A'B'C'$
$3\overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{A'G'}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{B'G'}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CC'}+\overrightarrow{C'G'}$
$=\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}$
bổ đề đc cm.
trở lại bài toán, $\Delta ABC$ và $\Delta XYZ$ có cùng trọng tâm <=> $\overrightarrow{BX}+\overrightarrow{CY}+\overrightarrow{AZ}=\overrightarrow{0}$
gọi $\overrightarrow{e_{a}};\overrightarrow{e_{b}};\overrightarrow{e_{c}} là các vectow đơn vị hướng ra ngoài $\Delta ABC$ và vuông góc với BC,CA, AB.
Hạ $XH\perp BC;YK\perp CA;ZL\perp AB$
Ta có: $\frac{BH}{BC}=\frac{CK}{CA}=\frac{AL}{AB}=\alpha$
$\frac{XH}{BC}=\frac{YK}{CA}=\frac{ZL}{AB}=\beta$
suy ra: $\overrightarrow{BX}+\overrightarrow{CY}+\overrightarrow{AZ}$
$=\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{HX}+\overrightarrow{CK}+\overrightarrow{KY}+\overrightarrow{AL}+\overrightarrow{LZ}$
$=(\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{CK}+\overrightarrow{AL})$$+(\overrightarrow{HX}$$+\overrightarrow{KY}+\overrightarrow{LZ})$
$=$$\alpha.(\overrightarrow{BC}$$+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB})+ $$\beta.(BC.\overrightarrow{e_{a}}$$+CA.\overrightarrow{e_{b}}+AB.\overrightarrow{e_{c}})$
$= \beta.(BC.\overrightarrow{e_{a}}+CA.\overrightarrow{e_{b}}+AB.\overrightarrow{e_{c}})$
$\overrightarrow{0}$ (ĐỊNH LÍ CON NHÍM)
Suy ra đpcm.
Cho mình hỏi tại sao $\overrightarrow{HX}=\beta.BC.\overrightarrow{e_{a}}$ vậy
#573914 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow...
Đã gửi bởi eminemdech on 19-07-2015 - 08:43 trong Phương trình hàm
thay x=1-x rồi giải hệ
tại sao lại thay $x=1-x$ vậy bạn
#573759 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow...
Đã gửi bởi eminemdech on 18-07-2015 - 15:24 trong Phương trình hàm
Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ sao cho $x^2.f(x)+f(1-x)=2x-x^4$ ( Với mọi $x\in \mathbb{R}$). Các bạn giải theo cách lớp 10 nhé
#645339 Tìm GTNN của $P=\sqrt{\frac{a}{b+c}...
Đã gửi bởi eminemdech on 17-07-2016 - 21:50 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $ab+bc+ca> 0$. Tìm GTNN của $P=\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{2c+a}}+2\sqrt{\frac{c}{a+b+c}}$
#646626 Tìm GTNN của $P=\frac{1}{\sqrt{a+b}...
Đã gửi bởi eminemdech on 26-07-2016 - 20:57 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thay đổi thỏa mãn điều kiện $ab+bc+ca=1$. Tìm GTNN của $P=\frac{1}{\sqrt{a+b}}+\frac{1}{\sqrt{b+c}}+\frac{1}{\sqrt{c+a}}$
#646622 Tìm GTLN của $P=a^3+b^3+5c^3$
Đã gửi bởi eminemdech on 26-07-2016 - 20:51 trong Bất đẳng thức và cực trị
Ta có:8=a+b+2c$\geq$2+2c$\Rightarrow c\leq 3$
Với a,b$\in [1;4]$ và c$\in [1;3]$ ta có:
P=a3+b3+5c3=(a+b)3-3ab(a+b)+5c3$\leq$(a+b)3-3(a+b)+5c3
$\Rightarrow P\leq$(8-2c)3-3(8-2c)+5c3=137-(3c3-96c2+378c-351)=137-3(c-3)(c2-29c+39)
Với c$\in [1;3]$ thì c2-29c+39$\leq $0 và c-3$\leq $0$\Rightarrow 3(c-3)(c^{2}-29c+39)\geq 0$
$\Rightarrow P\leq 137$
Dấu = xảy ra khi a=b=1 và c=3
cho mình hỏi làm sao bạn phân tích được ra cái này vậy
#568265 Tìm GTLN của $P\doteq \frac{1}{\sqrt{...
Đã gửi bởi eminemdech on 26-06-2015 - 10:15 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho $x,y,z\neq 0$ và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\leq 1$. Tìm giá trị lớn nhất của $P\doteq \frac{1}{\sqrt{2}x+y+z}+\frac{1}{x+\sqrt{2}y+z}+\frac{1}{x+y+\sqrt{2}z}$
#568418 Tìm GTLN của $P\doteq \frac{1}{\sqrt{...
Đã gửi bởi eminemdech on 27-06-2015 - 08:34 trong Bất đẳng thức và cực trị
Ta có $\frac{2}{\sqrt{2}x}$$+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$$\geq \frac{(2+\sqrt{2})^{2}}{\sqrt{2}x+y+z}$
$\frac{2}{\sqrt{2}y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\geq \frac{(2+\sqrt{2})^{2}}{\sqrt{2}y+x+z}$
$\frac{2}{\sqrt{2}z}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x}\geq \frac{(2+\sqrt{2})^{2}}{\sqrt{2}z+y+x}$
$\Rightarrow P\leq \frac{(2+\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})^{2}}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\leq \frac{1}{2+\sqrt{2}}$
Dấu''='' xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=3$
Vậy,................
hình như $x,y,z$ là các số thực dương thì phải, có thể mình nhầm
mà chỗ trên sao bạn biết tách ra thế
#577703 Tìm giá trị lớn nhất của $\left | \sqrt{x^2-6x+34}-...
Đã gửi bởi eminemdech on 02-08-2015 - 09:52 trong Bất đẳng thức và cực trị
Để ý $\sqrt{x^2-6x+34}=\sqrt{(3-x)^2+5^2}$ và $\sqrt{x^2-6x+10}=\sqrt{(x-3)^2+(-1)^2}$
Đặt $\overrightarrow{a}=(3-x;5)$ , $\overrightarrow{b}=(x-3;-1)$
Với mọi $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ ta sử dụng BĐT hiệu vector thì được:
$| \sqrt{x^2-6x+34} -\sqrt{x^2-6x+10} |\leq 4$
BĐT của các vector xem tại đây http://giaoan.violet...ntry_id/2147900
cho mình hỏi : BĐT hiệu vectơ là $\left | \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right |\leq \left | \overrightarrow{a} \right |+\left | \overrightarrow{b} \right |$ vậy $| \sqrt{x^2-6x+34} -\sqrt{x^2-6x+10} |\leq \left | \overrightarrow{\sqrt{(3-x)^2+5^2}} \right |+\left | \overrightarrow{\sqrt{(x-3)^2+(-1)^2}} \right |$ tới đây mình không làm tiếp được
#577580 Tìm giá trị lớn nhất của $\left | \sqrt{x^2-6x+34}-...
Đã gửi bởi eminemdech on 01-08-2015 - 20:57 trong Bất đẳng thức và cực trị
Tìm giá trị lớn nhất của $\left | \sqrt{x^2-6x+34}-\sqrt{x^2-6x+10} \right |$
#620397 Tìm các số $a,b,c\in \mathbb{N}$ sao cho $...
Đã gửi bởi eminemdech on 15-03-2016 - 18:52 trong Số học
Tìm các số $a,b,c\in \mathbb{N}$ sao cho $\overline{abc}.\overline{bca}=\overline{a00b0c}$
#620327 Tìm các số $a,b,c\in \mathbb{N}$ sao cho $...
Đã gửi bởi eminemdech on 15-03-2016 - 00:43 trong Số học
Tìm các số $a,b,c\in \mathbb{N}$ sao cho $\overline{abc}.\overline{bca}=\overline{a00b0c}$
#646160 Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho tam giác $ABC$ vuông tại...
Đã gửi bởi eminemdech on 23-07-2016 - 20:52 trong Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Gọi $M$ là điểm trên cạnh $AC$ sao cho $AB=3AM$, đường tròn tâm $I(1;-1)$ đường kính $CM$ cắt $BM$ tại $D$, phương trình đường thẳng $CD:x-3y-6=0$. Tìm tọa độ các đỉnh tam giác đã cho, biết điểm $E\left ( \frac{4}{3};0 \right )$ thuộc đường thẳng $BC$ và $C$ có hoành độ dương
#646269 Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho tam giác $ABC$ cân tại...
Đã gửi bởi eminemdech on 24-07-2016 - 18:02 trong Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $D$ là trung điểm của cạnh $AB$. Biết $I\left ( \frac{11}{3};\frac{5}{3} \right )$, $J\left ( \frac{13}{3};\frac{5}{3} \right )$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và trọng tâm tam giác $ADC$. Biết $M(3;-1)$, $N(-3;0)$ lần lượt thuộc đường thẳng $CD$ và $AB$. Tìm tọa độ các đỉnh tam giác $ABC$ biết $A$ có tung độ dương
#556985 Trong hình vuông...Chứng minh rằng có ít nhất $3$ trong số $51...
Đã gửi bởi eminemdech on 29-04-2015 - 20:51 trong Tổ hợp - Xác suất và thống kê - Số phức
có ở đâyhttp://d.violet.vn/u...291/preview.swf (VD1)
bạn ơi mình chưa hiểu chỗ $IM,IN,IP\leq 0,1.\sqrt{2}< \frac{1}{7}$
#556932 Trong hình vuông...Chứng minh rằng có ít nhất $3$ trong số $51...
Đã gửi bởi eminemdech on 29-04-2015 - 14:58 trong Tổ hợp - Xác suất và thống kê - Số phức
Trong hình vuông có cạnh bằng $1$ đặt $51$ điểm bất kỳ. Chứng minh rằng có ít nhất $3$ trong số $51$ điểm đó nằm trong một hình tròn bán kính $\frac{1}{7}$.
Các bạn giải theo cách lớp 10 nhé
#578319 thắc về bài toán dùng kĩ thuật hệ số bất định
Đã gửi bởi eminemdech on 04-08-2015 - 08:35 trong Bất đẳng thức - Cực trị
Em nghĩ đúng hơn phải là chứng minh:
$\frac{t}{\sqrt{3-t}}\geq \frac{\sqrt{t}}{\sqrt{2}}+\frac{3}{4\sqrt{2}}(t-1)$ chứ nhỉ
Ta sẽ tìm hệ số k sao cho: $\frac{t}{\sqrt{3-t}}\geq \frac{\sqrt{t}}{\sqrt{2}}+k(t-1)$
Tính được: $f'(t)=(\frac{t}{\sqrt{3-t}}-\frac{\sqrt{t}}{\sqrt{2}})'$$=\frac{t}{2\sqrt{(3-t)^3}}+\frac{1}{\sqrt{3-t}}-\frac{1}{2\sqrt{2t}}$
Thay $t=1$ vào rút ra được: $k=\frac{3}{4\sqrt{2}}$
Cho mình hỏi cách tính $f'(t)$ ở trên
#606608 thắc mắc về phương pháp nghiệm bội chứng minh Bất đẳng thức
Đã gửi bởi eminemdech on 01-01-2016 - 21:38 trong Tài nguyên Olympic toán
#636507 Thắc mắc về phương pháp hệ số bất định
Đã gửi bởi eminemdech on 29-05-2016 - 13:09 trong Tài nguyên Olympic toán
Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}x^2y+xy^2+x-5y=0 & & \\ 2xy+y^2-5y+1=0 & & \end{matrix}\right.$
Cái này trong sách chỉ là lấy PT(1)-2PT(2), có vẻ là dùng phương pháp hệ số bất định nhưng nào giờ mình chỉ biết cách dùng pp này có các hệ chứa $x^2,y^2,xy,...$ chứ chưa biết cách xài cho mấy hệ chứa $x^2y, xy^2$. Bạn nào chỉ mình dùng với
#624205 Thắc mắc về chọn $b$
Đã gửi bởi eminemdech on 02-04-2016 - 13:47 trong Tài nguyên Olympic toán
Bài toán : Lập phương trình đường thẳng qua M(4;3) và tạo với $d$ một góc bằng $30^{o}$
Trong sách tác giả giải như sau :
+ Phương trình chưa biết có dạng: $ax+by-4a-3b=0$ $(1)$
+Tính toán một hồi ta được phương trình đẳng cấp bậc 2 theo $a,b$: $3a^2+48ab+23b^2=0$
Chọn b=1,tính được a rồi thế vào phương trình $(1)$
Cái mình thắc mắc là sao ta có thể chọn $b=1$ và có phải lúc nào cũng chọn được hay không được chọn trong một số trường hợp
#567428 Sử dụng phương pháp chọn điểm rơi
Đã gửi bởi eminemdech on 22-06-2015 - 14:32 trong Tài nguyên Olympic toán
Chỉ mình cách sử dụng phương pháp chọn điểm rơi trong bài này với
Cho $a,b>0$ thỏa mãn $a+b\leq 1$.Chứng minh $a^2b\leq \frac{4}{27}$
#569411 Hai đoạn thẳng $AB,CD$ bằng nhau và trượt trên các cạnh $Ox,Oy...
Đã gửi bởi eminemdech on 02-07-2015 - 10:21 trong Hình học phẳng
Hai đoạn thẳng $AB,CD$ bằng nhau và trượt trên các cạnh $Ox,Oy$ của góc $xOy$, $A$ thuộc đoạn $OB$, $C$ thuộc đoạn $OD$; $I,J$ theo thứ tự là trung điểm của $AC,BD$. Chứng minh rằng $IJ$ luôn song song với phân giác của góc $xOy$ và độ dài $IJ$ không đổi
#545693 Giải phương trình nghiệm nguyên $x(x^2+x+1)=4y(y+1)$
Đã gửi bởi eminemdech on 23-02-2015 - 17:22 trong Số học
Giải phương trình nghiệm nguyên $x(x^2+x+1)=4y(y+1)$
#662356 Gieo 1 con súc sắc cân đối liên tiếp $5$ lần độc lập. Tính xác suất...
Đã gửi bởi eminemdech on 18-11-2016 - 21:08 trong Tổ hợp - Xác suất và thống kê - Số phức
Gieo 1 con súc sắc cân đối liên tiếp $5$ lần độc lập. Tính xác suất để trong 5 lần gieo đó có đúng 2 lần xuất hiện mặt $1$ chấm
- Diễn đàn Toán học
- → eminemdech nội dung