Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n$ thì $n^2+n+1$ không chia hết cho $9$

Bài toán : Lập phương trình đường thẳng qua M(4;3) và tạo với $d$ một góc bằng $30^{o}$

Trong sách tác giả giải như sau : 

+ Phương trình chưa biết có dạng: $ax+by-4a-3b=0$ $(1)$

+Tính toán một hồi ta được phương trình đẳng cấp bậc 2 theo $a,b$: $3a^2+48ab+23b^2=0$

Chọn b=1,tính được a rồi thế vào phương trình $(1)$

Cái mình thắc mắc là sao ta có thể chọn $b=1$ và có phải lúc nào cũng chọn được hay không được chọn trong một số trường hợp 

Chứng tỏ rằng các số $31, 211, 3201, 10031$ là các số nguyên tố

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}x^2+y+x^3y+xy^2+xy=-\frac{5}{4} & & \\ x^4+y^2+xy(1+2x)=-\frac{5}{4} & & \end{matrix}\right.$

Chứng minh $2a^4+\frac{1}{1+a^2}\geq 3a^2-1$

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}x^3+3xy^2=-49 & & \\ x^2-8xy+y^2=8y-17x & & \end{matrix}\right.$

Cho $x,y,z>0$ và $z(z-x-y)=x+y+1$. Tìm GTLN của $M=\frac{x^4y^4}{(x+yz)(y+zx)(z+xy)^3}$

Giải phương trình $\sqrt{9x^3-18x^2}+\sqrt{36x^2-9x^3}=x^2+9+\left | x-3 \right |$

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thay đổi thỏa mãn điều kiện $ab+bc+ca=1$. Tìm GTNN của $P=\frac{1}{\sqrt{a+b}}+\frac{1}{\sqrt{b+c}}+\frac{1}{\sqrt{c+a}}$

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $D$ là trung điểm của cạnh $AB$. Biết $I\left ( \frac{11}{3};\frac{5}{3} \right )$, $J\left ( \frac{13}{3};\frac{5}{3} \right )$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và trọng tâm tam giác $ADC$. Biết $M(3;-1)$, $N(-3;0)$ lần lượt thuộc đường thẳng $CD$ và $AB$. Tìm tọa độ các đỉnh tam giác $ABC$ biết $A$ có tung độ dương

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Gọi $M$ là điểm trên cạnh $AC$ sao cho $AB=3AM$, đường tròn tâm $I(1;-1)$ đường kính $CM$ cắt $BM$ tại $D$, phương trình đường thẳng $CD:x-3y-6=0$. Tìm tọa độ các đỉnh tam giác đã cho, biết điểm $E\left ( \frac{4}{3};0 \right )$ thuộc đường thẳng $BC$ và $C$ có hoành độ dương

Cho các số thực dương a,b,c thõa mãn $abc\doteq \frac{1}{6}$.

Chứng minh $3+\frac{a}{2b}+\frac{2b}{3c}+\frac{3c}{a}\geq a+2b+3c+\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{3c}$

Cho $a,b,c$ là ba cạnh của tam giác có ba đường cao tương ứng là $h_{a},h_{b},h_{c}$.Chứng minh $\frac{(a+b+c)^2}{h_{a}^2+h_{b}^2+h_{c}^2}\geq 4$

Giải phương trình nghiệm nguyên $x(x^2+x+1)=4y(y+1)$

Giải phương trình nghiệm nguyên $x^2+xy+y^2=2x+y$

Giải phương trình nghiệm nguyên $x^4-2y^2=1$

Tính S=a+b+c biết

$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=x & & \\ \left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )\left ( \frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\left ( \frac{1}{c}+\frac{1}{a} \right )=y & & \\ abc=z & & \end{matrix}\right.$

Cho các số thực dương a,b,c thõa mãn $abc\doteq \frac{1}{6}$

Chứng minh rằng $3+\frac{a}{2b}+\frac{2b}{3c}+\frac{3c}{a}\geq a+2b+3c+\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{3c}$

khó quá

Cho $a,b,c,d$ là các số thực thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+d^2=1$. Chứng minh $(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)\geq abcd$

Hai đoạn thẳng $AB,CD$ bằng nhau và trượt trên các cạnh $Ox,Oy$ của góc $xOy$, $A$ thuộc đoạn $OB$, $C$ thuộc đoạn $OD$; $I,J$ theo thứ tự là trung điểm của $AC,BD$. Chứng minh rằng $IJ$ luôn song song với phân giác của góc $xOy$ và độ dài $IJ$ không đổi 

Giải phương trình $\sqrt{5x^2+14x-9}-\sqrt{x^2-x-20}=5\sqrt{x+1}$

Cho $\left\{\begin{matrix}x+y+z=5 & & \\ xy+yz+xz=8 & & \end{matrix}\right.$.Tìm GTNN của $x$

Cho $x,y\neq -1$ $(x,y\in \mathbb{Z})$ sao cho $\frac{x^3+1}{y+1}+\frac{y^3+1}{x+1}$ là một số nguyên. Chứng minh rằng $x^{2004}-1$ $\vdots$ $y+1$

Tìm các số $a,b,c\in \mathbb{N}$ sao cho $\overline{abc}.\overline{bca}=\overline{a00b0c}$