Dạ thế còn những lời phân tích , bình luận thì sao ạ ?      

Cho $\left\{\begin{matrix}x,y,z\epsilon [-1,1] & & \\ x+y+z=0 & & \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng : $\sqrt{1+x+y^{2}}+\sqrt{1+y+z^{2}}+\sqrt{1+z+x^{2}}\geq 3$

P/S: Đề cao sự sáng tao, nhận xét , phân tích cho bài toán !      

Cho $x,y,z \in [-1;2]$ thỏa mãn $\sum x=1$

Tìm Max và Min của :

$$A=x^4+y^4+z^4$$

Hình như 2 giả thiết  không liên quan thì phải ?

Tớ nghĩ là  $\sum x>6$ hoặc là bỏ luôn cái đó !

Bài 55 : Giải phương trình :   a) $5\sqrt{\frac{2x^{2}+1}{5x-2}}\doteq \frac{2x^{2}+13}{4x-1}$

                                               b)$\sqrt{x+\frac{5}{x}}\doteq \frac{x^{2}+9}{x+4}$

                                               c)$x^{3}-x^{2}-x\doteq \frac{1}{3}$

Bài 56 : Cho a,b,c là các số thực dương

             Chứng minh rằng :

                                     $\sum \frac{1}{a\sqrt{a+b}}\geq \frac{3}{\sqrt{2abc}}$

Bài 57 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :

                                                                                $x(x+7)\doteq y^{3}-1$

Bài 159 : Giải phương trình:

                  a)$\sqrt{4x+3}=2x^{2}+2x$

                  b)$\sqrt{3x+2}=9x^{2}+6x $

                  c)$2\sqrt{x+2}=27x^{2}-27x-5$

                  d)$\sqrt{2x-5}=x^{2}-9x+17 $

                  e)$\sqrt[3]{3x+1}=\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}+x+1$

Đặt ẩn đưa về hê phương trình , đi thi có mà lên cộc cộc 

Ai giải hộ câu c cái !

Mong rằng mọi người giải hết mấy bài ở trên còn sót , rồi mới đăng bài mới !

 

Topic mình bị bỏ quên nên đăng vào đây luôn

Bài  : Tìm Min, Max của 

a) A = 3x + $x\sqrt{5 - x^{2}}$

b) B = $\sqrt{5x - x^{2}} + \sqrt{18 + 3x - x^{2}}$

 

-Tớ sẽ nêu ra hướng giải như sau : 

-Mục đích : sử dụng bất đẳng thức AM-GM ( rất quen thuộc với thcs )

- Do đó cần có đk là $x\geq 0$

Bài giải :

 - ĐKXĐ : $-\sqrt{5}\leq x\leq \sqrt{5}$

- Xét 2 trường hợp :

               + Trường hợp 1 : $x<0$ $\Rightarrow A< 0$

              + Trường hợp 2 : $0 \leq x\leq \sqrt{5}$

                                Ta có : $A.\alpha =3x.\alpha + \alpha x \sqrt{5-x^{2}} \leq 3x.\alpha +\frac{\left ( \alpha ^{2}-1 \right )x^{2}+5}{2}$ 

                                                            $= \frac{\alpha^{2}-1}{2}.x^{2}+3x.\alpha +\frac{5}{2} \doteq \left ( \sqrt{\frac{\alpha ^{2}-1}{2}x}+\frac{3\alpha }{\sqrt{2\alpha^{2}-1}} \right )^{2}+ \frac{5}{2}-\frac{9\alpha ^{2}}{2\left ( \alpha ^{2}-1 \right )}$

                    Từ giải hệ phương trình sau : $\left\{\begin{matrix}(\alpha x)^{2}=5-x^{2} & & \\ \sqrt{\frac{\alpha ^{2}-1}{2}}x+\frac{3\alpha }{\sqrt{2\left ( \alpha ^{2}-1 \right )}}=0 & & \end{matrix}\right.$

                                Do đó : ta tìm được $\alpha $ 

Điều còn lại chỉ là việc viết bài mà thội !

Nhưng nếu thay đầu bài lại thành A = 3x + $x\sqrt{5 +x^{2}}$ thì sẽ khó hơn !

Do đó : chúng ta cần phải có cách khác tốt hơn !

Sử dung bđt : $a^{3}+b^{3}\geq ab\left ( a+b \right ) \forall a>  0,b> 0$

Ta có :$\sum \frac{1}{a^{3}^+b^{3}+1}\leq \sum \frac{1}{ab\left ( a+b \right )^+abc}=1$

Tìm nghiệm nguyên của PT : $\frac{11x}{5}-\sqrt{2x+1}=3y-\sqrt{4y-1}+2$

ĐK:$x\geq 0;y\geq 1$ (vì $x,y$ nguyên)

$\frac{11x}{5}-\sqrt{2x+1}=3y-\sqrt{4y-1}+2\Leftrightarrow 11x-5\sqrt{2x+1}=15y-5\sqrt{4y-1}+2\Leftrightarrow 11x-15y-2=5(\sqrt{2x+1}-\sqrt{4y-1})$

nên $5(\sqrt{2x+1}-\sqrt{4y-1})$ nguyên

Dễ thấy $4y-1\equiv 3(mod 4)\Rightarrow \sqrt{4y-1}$ là số vô tỉ,do đó để $5(\sqrt{2x+1}-\sqrt{4y-1})$ nguyên thì $\sqrt{2x+1}-\sqrt{4y-1}=0\Leftrightarrow 2x+1=4y-1\Leftrightarrow 2x-4y+2=0\Leftrightarrow x-2y+1=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 11x-15y-2=0 & \\ x-2y+1=0\Rightarrow 11x-22y+11=0 & \end{matrix}\right.\Rightarrow (11x-15y-2)-(11x-22y+11)=0\Leftrightarrow 7y-13=0\Leftrightarrow y=\frac{17}{3}\Rightarrow PTVNN$

Vậy $PT$ đã cho không có nghiệm nguyên

Chỗ này tớ không hiểu ?

Tìm nghiệm nguyên của PT : $\frac{11x}{5}-\sqrt{2x+1}=3y-\sqrt{4y-1}+2$

---------------

Không gửi 1 bài nhiều lần! Đã gửi ở đây 

Cho $\left ( x+\sqrt{x^{2}+2011} \right )\left ( y+\sqrt{y^{2}+2011} \right )= 2011$.Tính $x+y$

Giải phương trình : $\left ( x+1 \right )\sqrt{x^{2}+x-2}=2\left ( x+3 \right )$

Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình : $\left ( x+y+z \right )^{2}=5xyz$

Đặt $\left\{\begin{matrix}u= x+\frac{1}{y} & & \\ & & \end{matrix}\right.v=y+\frac{1}{x}$

HPT$\left\{\begin{matrix}u^{2}+v^{2}=9 & & \\ & & \end{matrix}\right.u^{3}+v^{3}=4$

Rồi giải bình thường ...

Tìm a,b tự nhiên thỏa mãn : $\left\{\begin{matrix} a^{2}+2 \vdots b+2 & & \\ & & \end{matrix}\right. b^{2}+2 \vdots a+2$

Giải hệ phương trình :$\left\{\begin{matrix} x^{3} + y^{3} =1 & & \\ x^{5}+y^{5}=x^{2}+y^{2} & & \end{matrix}\right.$

Đây là 1 bài trong THTT phải không

Đúng rồi !

$\left\{\begin{matrix} x^3+y^3=1\\x^5+y^5=1 \end{matrix}\right.$

câu này hay hơn nè 

Mở rộng : $\left\{\begin{matrix}x^{3}+y^{5}=1 & & \\ & & \end{matrix}\right.x^{5}+y^{3}=1$

Ta có : $\left\{\begin{matrix}x^{3}+y^{3}=1 & & \\ & & \end{matrix}\right.x^{5}+y^{5}=1 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y^{3}=1-x^{3} & & \\ & & \end{matrix}\right.x^{5}+y^{5}=1$

+Nếu y=0 $\Rightarrow x=1$

+Nếu $y\neq 0\Rightarrow \left\{\begin{matrix}y^{5}=y^{2}-x^{3}y^{2} & & \\ & & \end{matrix}\right.x^{5}+y^{5}=1 \Leftrightarrow x^{5}-x^{3}y^{2}=1-y^{2} \Leftrightarrow x^{3}\left ( 1-y^{2} \right )=1-y^{2}$

    - Với $1-y^{2}=0\Rightarrow y=  1,x=0$

    -Với $1-y^{2}\neq 0\Rightarrow x=1,y=0 (Loại )$

kl : Vây (x,y)=(0;1),(1;0)

Tìm các bộ số nguyên (a;b;c) thỏa mãn : $\left\{\begin{matrix}a^{2}-bc=91 & & \\ b^{2}-ac=91 & & \end{matrix}\right.c^{2}-ba=91$

-Xét y=0 (Loại)

-Xét y$\neq$ 0

   + Dễ thấy : y chẵn ( Xét mod x)

      Đặt $a=x^{2}+1$

             $b=x^{2}-1$       , ta có : $a^{y}-b^{y}=[(a-b).x]^{y}$

  $\Rightarrow a^{y}-b^{y}\vdots \left ( a-b \right )^{y}$

Đến đây thì mình chưa lập luận được tiếp ....nhưng chắc hẳn cũng sẽ sắp ra

Các bạn tiếp tục hộ mình nhé

Đúng thật là rất xấu xí khi đây là một bài trong đề học sinh giỏi THCS (em nói thật). Nghĩ lại thì em cũng có 1 lời giải dùng đến N

Bạn có thể trình bày cụ thể về cách của bạn được không ? Theo tớ THCS thì không nên sử dụng các kiến thức quá cao cấp !