Cho $m,n,p\in \mathbb{Z}$;$m^{2}+n^{2}=p^{2}$

Chứng minh $mn\vdots 12$

Tìm a để $a^{2}x^{3}+3ax^{2}-6x-2a\vdots x+1$ (a$\in$Q)

Ta có $A=a^{2}x^{3}+3ax^{2}-6x-2a=(x+1)[a^{2}x^{2}+(2a-a^{2})x+a^{2}-2a-6]+6-a^{2}$

Để $A\vdots x+1$=>$a^{2}=6$=>$a=\pm \sqrt{6}$(vô lí)

Ta có$x(2-\sqrt[3]{3})=5$

=>$x\sqrt[3]{3}=2x-5$

=>$5x^{3}-60x^{2}+150x-125=0$

=>$x^{3}-12x^2+30x=25$

Cho $x=\sqrt[3]{3}+2\sqrt[3]{3}+4$

 

Phải là$x=\sqrt[3]{3^{2}}+2\sqrt[3]{3}+4$ mới đúng chứ!

Giải hệ phương trình 

$\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=5 & \\ (xy-1)^2=x^2-y^2+2& \end{matrix}\right.$

Ta có$x^{2}+y^{2}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}=5$

<=>$(x-\frac{1}{x})^{2}+(y-\frac{1}{y})^{2}=1$

Lại có$(xy-1)^{2}=x^{2}-y^{2}+2$

<=>$x^{2}y^{2}-x^{2}+y^{2}+1=2xy$

<=>$xy-\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-\frac{1}{xy}=2$

<=>$(x-\frac{1}{x})(y-\frac{1}{y})=2$

Đặt$x-\frac{1}{x}=a;y-\frac{1}{y}=b$ 

đến đây dễ rồi!!!

Tìm $minA=\sum \frac{bc}{\sqrt{a^{2}+a}}$

Biết $a+b+c=1$;$a,b,c>0$

 

5)Tìm các số hữu tỉ $a,b,c$ sao cho khi phân tích đa thức $x^3+ax^2+bx+c$ thành nhân tử ta được $(x+a)(x+b)(x+c)$

 

Ta có:$(x+a)(x+b)(x+c)=x^{3}+(a+b+c)x^{2}+(ab+bc+ca)x+abc=x^{3}+ax^{2}+bc+c$

=>$a=a+b+c;b=ab+bc+ca;c=abc$

Với $c=0$=>$b=0;a\epsilon \mathbb{Q}$

Với $c\neq 0$

=>$b+c=0$=>$ab+ac=0$=>$b=bc$=>$c=1$=>$b=-1$

mà $abc=c$=>$a=-1$

Vậy $(a;b;c)\in$ {$(0;0;a);(-1;-1;1)$}

Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho tồn tại 2014 số nguyên dương $x_1$; $x_2$;...; $x_{2014}$. thỏa mãn: $x_1<x_2<...<x_{2014}$

 

và $p=\frac{1}{x_1}+\frac{2}{x_2}+...+\frac{2014}{x_{2014}}$

Với $x_{1}=1;x_{2}=2;x_{3}=3;...;x_{2014}=2014$

=>$Pmax=2014$

Gọi số $n\epsilon \mathbb{N};n\epsilon n\epsilon [0;2013]$

Ta có$p=(\frac{1}{x_{1}}+\frac{2}{x_{2}}+...+\frac{2014-n-1}{x_{2014-n-1}})+(\frac{2014-n}{x_{2014-n}}+\frac{2014-n+1}{2014-n+1}+...+\frac{2014}{x_{2014}})$

Nhóm 1;ta có$x_{i}=i$

Nhóm 2;ta có$x_{i}=i(p-n)$

Thay vào,ta có$p=1.(2014-n-1)+(2014-n).\frac{1}{2014-n}=2014-n$

nên $p\epsilon [1;2014]$ 

Vậy $p\epsilon{2;3;5;7;11;13;17;19;...;2011}$

tìm x +2y bt 

$\frac{1+2y}{18}=\frac{1+4y}{24}=\frac{1+6y}{6x}$

Ta có:$\frac{1+2y}{18}=\frac{1+4y}{24}$

=>$24+48y=18+72y$

=>$y=\frac{1}{4}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau,ta có:

$\frac{1+2y}{18}=\frac{1+4y}{24}=\frac{1+6y}{6x}=\frac{2y}{6}=\frac{2y}{6x-24}$

=>$x=5$=>$x+2y=5,5$

a,b>0. CMR: $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$

BĐT tương$a^{2}+b^{2}\geq 2ab$=>$(a-b)^{2}\geq 0$=>đpcm

Tìm a,b thuộc N* thỏa mãn:

$\sqrt{a\sqrt{7}}-\sqrt{b\sqrt{7}}=\sqrt{11\sqrt{7}-28}$

Ta có:

$\sqrt{a\sqrt{7}}-\sqrt{b\sqrt{7}}=\sqrt{11\sqrt{7}-28}$

<=>$(a-b)\sqrt{7}-2\sqrt{ab7}=11\sqrt{7}-28$

<=>$a+b-2\sqrt{ab}=11-4\sqrt{7}$

<=>$\sqrt{a}-\sqrt{b}=\sqrt{7}-2$

Đến đây thì xét.=>$a=7$;$b=4$

Giải phương trình: $\sqrt{3x+1}+2x=\sqrt{x-4}+5$

Điều kiện $x\geq 4$

=>$\sqrt{3x+1}>\sqrt{x-4}$;$2x>5$

=>Vô nghiệm

Chắc đề phải là $\sqrt{3x+1}-2x=\sqrt{x-4}+5$

cho F=$2^{2^{n}}$+1 với n=0,1,2....Tìm n để F là lập phương một số

Xét $n=0$=>$F=2$(loại)

Xét $n>0$,ta có:

$2^{2^{n}}=(a-1)[a(a+1)+1]$

Vì$2^{2^{n}}>0$ nên $a\neq 1$

=>$2^{2^{n}}\vdots a^{2}+a+1$

mà $a^{2}+a+1$ lẻ nên $a^{2}+a+1=1$

=>$a=0$

=>$2^{2^{2}}=-1$(vô lí)

Vậy không tồn tại n

1,Xác định hàm số $y=f(x)$... Biết hàm số có tập xác định là $R$ và $f(x)+xf(-x)=x+1.$

Đặt $f(x)=a+bx^{2}+cx^{3}+dx^{4}...$

=>$xf(-x)=ax-bx^{2}+cx^{3}-dx^{4}...$

=>$f(x)+xf(-x)=a+(a+b)x+(c-b)x^{2}+(d+c)x^{3}+(e-d)x^{4}...=x+1$

=>$a=1;a+b=1;c-b=0;d+c=0;e-d=0;...$

=>$a=1;b=c=d=...=0$

=>$f(x)=1$

Lời giải sai, để chứng minh $\sum \frac{1}{1+x}\geq \frac{3}{1+\sqrt[3]{xyz}}$ cần có thêm điều kiện $xyz \geq 1$ 

$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}\geq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$

<=>$(2+x+y)(1+\sqrt{xy})\geq 2(1+x)(1+y)$

<=>$x\sqrt{xy}+y\sqrt{xy}-2xy\geq 0$

<=>$\sqrt{xy}(\sqrt{x}-\sqrt{y})^{2}\geq 0$(lđ)

Đáp án

Ta có $2(x+y+z)^{2}+\prod (x+y)=\sum 6xy +8xyz$

<=>$2(x+y+z)^{2}+\sum x^{2}y+ \sum xy^{2}+2xyz=\sum 6xy +8xyz$

<=>$2(x+y+z)^{2}+\sum9x +9+\sum3xy+(xy+yz+zx)(x+y+z)=\sum9x +\sum9xy +9+9xyz$

<=>$[2(x+y+z)+3](x+y+z)+(xy+yz+zx)(x+y+z+3)=9\prod (x+1)$

<=>$[\sum(1+x)(1+y)](x+y+z+3)=9\prod (x+1)$

<=>$\frac{\sum(1+x)(1+y)}{\prod (1+x)}=\frac{9}{x+y+z+3}$

<=>$\sum \frac{1}{1+x}=\frac{9}{x+y+z+3}\leq \frac{3}{1+\sqrt[3]{xyz}}$

Lại có $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\geq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}$  (*)

Tương tự chứng ming$\sum \frac{1}{1+x}\geq \frac{3}{1+\sqrt[3]{xyz}}$  (2*)

Từ (*) và (2*) =>$\sum \frac{1}{1+x}=\frac{3}{1+\sqrt[3]{xyz}}$

Dấu $"="$ xảy ra tại $x=y=z$

mà $x^{2}+3y^{2}+5z^{2}=18$

=>$x=y=z=1,5$

BÀI 3: CMR: với mọi số nguyên n $\geq 2$ thì $\sqrt[n]{2}$ là số vô tỉ

giả sử $\sqrt[n]{2}$ là số hữu tỉ 

ta có $\sqrt[n]{2}=\frac{m}{p}$$(m,n\epsilon \mathbb{N},(m,p)=1)$

=>$2p^{n}=m^{n}$

=>$m^{n}\vdots p^{n}$

mà $(m,p)=1$

=>vô lí nên $\sqrt[n]{2}$ là số vô tỉ(đpcm)

Cho $x,y,z\geq 1$.Giải hpt:

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+3y^{2}+5z^{2}=18 & \\ 2(x+y+z)^{2}+\prod(x+y)=\sum6xy+8xyz & \end{matrix}\right.$

Tìm $minA=\sum \frac{a^{2}+2b+1}{c^2+1}$ với$a+b+c=3$ và $a,b,c>0$

Cách khác:

$VT=\prod (1+\frac{1}{3a}+\frac{1}{3a}+\frac{1}{3a})\geq 4^{3}.\sqrt[4]{\frac{1}{(27abc)^{3}}}\geq 64$

Bàn cờ HCN m.n ( m,n > 4) được Tô màu trắng đen xen kẽ. Ta thực hiện các bước sau : lấy 1 Thanh 1.k ( k lẻ) sau đó sẽ đổi màu các ô trong Thanh đó bằng màu mà có số ô nhỏ hơn màu kia . Chứng Minh rằng bằng hữu hạn các bước như trên ta có thể thay đổi toàn bộ các ô bàn cờ thành 1 màu

 

Dinh Xuan Hung:Chú ý cách đặt tiêu đề!

Thay đổi từng ô vuông một

Ta chọn màu đen là màu cuối cùng

B1:Chọn các thanh sao cho có màu đen nhiều hơn trắng(k lẻ,đen trắng xen kẽ nên luôn luôn chọn được),thay màu

B2:Làm liên tục B1 theo cả chiều dọc và chiều ngang

Cứ thế màu đen tăng dần và sẽ thay thế màu trắng(đpcm)

Max nè :

$A=\frac{5x^{2}-7x+1}{\left | 3x-2 \right |+\left | x^{2}+1 \right |}$

    $=\frac{5x^{2}-7x+1}{\left | 3x-2 \right |+ x^{2}+1 }$

    $\leq \frac{5x^{2}-7x+1}{x^{2}+1}$

    $\leq 1 + \frac{4x^{2} - 7x}{x^{2} + 1}$ (1)

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow$ $\left |3x - 2 \right |$= 0

                        $\Leftrightarrow$ $3x - 2$ = 0

                        $\Leftrightarrow$ $x = \frac{2}{3}$

Thay $x = \frac{2}{3}$ vào (1) , ta có : A max = -1.

P/s : sr bạn, mình hơi loạn tí

Không chặt chẽ rồi bạn ơi

Với$x\geq \frac{2}{3}$,ta có:

$A= \frac{5x^{2}-7x+1}{x^{2}-3x-1}=5+\frac{6-22x}{x^2-2.\frac{2}{3}x+\frac{4}{9}+\frac{13}{3}x-\frac{13}{9}}= 5+\frac{6-22x}{\left ( x-\frac{2}{3} \right )^{2}+\frac{13}{3}x-\frac{13}{9}}\leq 5+\frac{6-22.\frac{2}{3}}{\frac{13}{3}.\frac{2}{3}-\frac{13}{9}}=-1$

Dấu "="xảy ra tại $x=\frac{2}{3}$

Tương tự, với $x<\frac{2}{3}$, ta có $A<-1$

Vậy $maxA=-1$ tại $x=\frac{2}{3}$

Còn $min$ thì không có đâu!!!

có ví dụ thực tế của hình 4 

Khi ngủ nhé! Bạn nhìn qua màn tập trung nhìn vào những vật bên ngoài thì thấy màn gần như biến mất

Tìm $n$ tự nhiên sao cho số $2^{n}-1\vdots 7$

Với $n=3k$ $\left ( k\epsilon \mathbb{N} \right )$

Ta có $2^{n}-1= 2^{3k}-1^{k}=\left ( 2^{3} -1\right )M=7M \vdots 7$

suy ra $2^{3k}\equiv 1(mod7)$

$2^{3k+1} \equiv 2(mod7)$

và $2^{3k+2}\equiv 4 (mod7)$

Suy ra $n=3k$

bạn giải thích rõ hơn được không 

Để không tồn tại tam giác thì $a+b\leq c$

$x_{1}+x_{2}\leq x_{3}$

Tương tự thì sum của 2 số bé luôn $\leq$ số lớn