Cho tam giác nhọn ABC có: BC=a;  CA=b;  AB=c. R là bán kính đường tròn ngoại tiếp

Cmr: $\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$

Vẽ tam giác $BCD$ vuông tại C nội tiếp đường tròn trên.

Ta có $BD.sinBDC=BC$

<=>$2R=\frac{a}{sinBDC}$

mà $\angle BDC = \angle BAC$

=>$\frac{a}{sinA}=2R$

Tương tự ta có $đpcm$

Ta có$x(2-\sqrt[3]{3})=5$

=>$x\sqrt[3]{3}=2x-5$

=>$5x^{3}-60x^{2}+150x-125=0$

=>$x^{3}-12x^2+30x=25$

Cho $x=\sqrt[3]{3}+2\sqrt[3]{3}+4$

 

Phải là$x=\sqrt[3]{3^{2}}+2\sqrt[3]{3}+4$ mới đúng chứ!

tìm x +2y bt 

$\frac{1+2y}{18}=\frac{1+4y}{24}=\frac{1+6y}{6x}$

Ta có:$\frac{1+2y}{18}=\frac{1+4y}{24}$

=>$24+48y=18+72y$

=>$y=\frac{1}{4}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau,ta có:

$\frac{1+2y}{18}=\frac{1+4y}{24}=\frac{1+6y}{6x}=\frac{2y}{6}=\frac{2y}{6x-24}$

=>$x=5$=>$x+2y=5,5$

Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ để  $\sqrt{\frac{4n-2}{n+5}}$ là một số hữu tỉ

Đặt $\sqrt{\frac{4n-2}{n+5}}=\frac{a}{b}$ với $(a,b)=1;a,b\in \mathbb{N};b\neq 0$

=>$\frac{4n-2}{n+5}=\frac{a^{2}}{b^{2}}=4-\frac{22}{n+5}$

=>$\frac{22}{n+5}=(2-\frac{a}{b})(2+\frac{a}{b})$

Thử chọn,tìm ra n

Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho tồn tại 2014 số nguyên dương $x_1$; $x_2$;...; $x_{2014}$. thỏa mãn: $x_1<x_2<...<x_{2014}$

 

và $p=\frac{1}{x_1}+\frac{2}{x_2}+...+\frac{2014}{x_{2014}}$

Với $x_{1}=1;x_{2}=2;x_{3}=3;...;x_{2014}=2014$

=>$Pmax=2014$

Gọi số $n\epsilon \mathbb{N};n\epsilon n\epsilon [0;2013]$

Ta có$p=(\frac{1}{x_{1}}+\frac{2}{x_{2}}+...+\frac{2014-n-1}{x_{2014-n-1}})+(\frac{2014-n}{x_{2014-n}}+\frac{2014-n+1}{2014-n+1}+...+\frac{2014}{x_{2014}})$

Nhóm 1;ta có$x_{i}=i$

Nhóm 2;ta có$x_{i}=i(p-n)$

Thay vào,ta có$p=1.(2014-n-1)+(2014-n).\frac{1}{2014-n}=2014-n$

nên $p\epsilon [1;2014]$ 

Vậy $p\epsilon{2;3;5;7;11;13;17;19;...;2011}$

Nếu đến nhóm n mà lấy 1 phần 9 thì còn 8 phần 9 nữa.thế số vở sao chia hết được.

cho F=$2^{2^{n}}$+1 với n=0,1,2....Tìm n để F là lập phương một số

Xét $n=0$=>$F=2$(loại)

Xét $n>0$,ta có:

$2^{2^{n}}=(a-1)[a(a+1)+1]$

Vì$2^{2^{n}}>0$ nên $a\neq 1$

=>$2^{2^{n}}\vdots a^{2}+a+1$

mà $a^{2}+a+1$ lẻ nên $a^{2}+a+1=1$

=>$a=0$

=>$2^{2^{2}}=-1$(vô lí)

Vậy không tồn tại n

$\sqrt{\left ( 3+2\sqrt{2} \right )^{n}}+\sqrt{\left ( 3-2\sqrt{2} \right )^{n}}= 6$

$\sqrt{\left ( 3+2\sqrt{2} \right )^{n}}+\sqrt{\left ( 3-2\sqrt{2} \right )^{n}}= 6$

<=>$\sqrt{left(1+\sqrt{2}\right)^{2n}}+\sqrt{left(1-\sqrt{2}\right)^{2n}}=6$

<=>$(1+\sqrt{2}\right)^{n}+(-1+\sqrt{2}\right)^{n}=6$

......

......

=>$n=2$

b)Tìm min $y=\sqrt{x-7}+\sqrt{9-x}$

Ta có:$y^{2}=x-7+9-x+2\sqrt{1-x^{2}+16x-64}=2+2\sqrt{1-(x-8)^{2}}\leq 4$

=>$y\leq 2$

Cho x,y>0 và x+y=1.Tìm giá trị lớn nhất của $P=(1-\frac{1}{x^2})(1-\frac{1}{y^2})$

Ta có:$P=(1-\frac{1}{x^2})(1-\frac{1}{y^2})=\frac{(x^2-1)(y^2-1)}{x^{2}y^{2}}=\frac{(x+1)(y+1)}{xy}=1+\frac{2}{xy} \geq 3$

2. Cho $A=n^{2015}+n^{2014}+1$ tìm tất cả các số tự nhiên n để A là số nguyên tố

Ta có:$A=n^{2015}+n^{2014}+1=(n^{2}+n+1)(n^{2013}-n^{2011}+n^{2010}+...+1)$

Để $A$ là $SNT$ =>$n^{2}+n+1=1$ hoặc phần còn lại $=1$

=>$n=0$ or $n=1$

Mà $n=0$thì $A=1$vô lí

nên chỉ có $n=1$

Tìm a để $a^{2}x^{3}+3ax^{2}-6x-2a\vdots x+1$ (a$\in$Q)

Ta có $A=a^{2}x^{3}+3ax^{2}-6x-2a=(x+1)[a^{2}x^{2}+(2a-a^{2})x+a^{2}-2a-6]+6-a^{2}$

Để $A\vdots x+1$=>$a^{2}=6$=>$a=\pm \sqrt{6}$(vô lí)

Tìm $n$ tự nhiên sao cho số $2^{n}-1\vdots 7$

Với $n=3k$ $\left ( k\epsilon \mathbb{N} \right )$

Ta có $2^{n}-1= 2^{3k}-1^{k}=\left ( 2^{3} -1\right )M=7M \vdots 7$

suy ra $2^{3k}\equiv 1(mod7)$

$2^{3k+1} \equiv 2(mod7)$

và $2^{3k+2}\equiv 4 (mod7)$

Suy ra $n=3k$

Đặt số 01 là $x$,số 01 là $y$

=> số cần tìm có dạng $\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}}$(x,y,2,3,4)

Xét với x=> có 3.3.2.1 = 18 số

Xét với y=> có $4!=24$ cách

BÀI 3: CMR: với mọi số nguyên n $\geq 2$ thì $\sqrt[n]{2}$ là số vô tỉ

giả sử $\sqrt[n]{2}$ là số hữu tỉ 

ta có $\sqrt[n]{2}=\frac{m}{p}$$(m,n\epsilon \mathbb{N},(m,p)=1)$

=>$2p^{n}=m^{n}$

=>$m^{n}\vdots p^{n}$

mà $(m,p)=1$

=>vô lí nên $\sqrt[n]{2}$ là số vô tỉ(đpcm)

bạn giải thích rõ hơn được không 

Để không tồn tại tam giác thì $a+b\leq c$

$x_{1}+x_{2}\leq x_{3}$

Tương tự thì sum của 2 số bé luôn $\leq$ số lớn

Cho 10 số thực $x_{1};x_{2};...;x_{10}$ thuộc đoạn $[1;55)$

CMR: Có ít nhất 3 số trong chúng là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác

Giả sử không tồn tại 3 số nào thỏa mãn

Gọi 3 số bất kì trong dãy là $a,b,c(a\leq b\leq c)$

Ta có $a+b\leq c$

Theo thứ tự $x_{1}\leq x_{2}\leq ...\leq x_{10}$ thì để $x_{10}$ nhỏ nhất ta có

$x_{1}=1;x_{2}=2;x_{3}=3;x_{4}=5,...x_{10}=55$ (vô lí)

=>$(đpcm)$

Cho $a,b,c>0$.CMR: $\frac{3a}{3+a}+\frac{4b}{4+b}+\frac{5c}{5+c}\leq \frac{12(a+b+c)}{12+a+b+c}$

Đặt$x=a+3;y=4+b;z=5+c$

Ta có:$\frac{3a}{3+a}+\frac{4b}{4+b}+\frac{5c}{5+c}=\frac{3x-9}{x}+\frac{4y-16}{y}+\frac{5z-25}{z}=12-(\frac{9}{x}+\frac{16}{y}+\frac{25}{z})\leq 12-\frac{144}{x+y+z}=\frac{12x+12y+12z-144}{x+y+z}=\frac{12(a+b+c)}{12+a+b+c}$(đpcm)

 

5)Tìm các số hữu tỉ $a,b,c$ sao cho khi phân tích đa thức $x^3+ax^2+bx+c$ thành nhân tử ta được $(x+a)(x+b)(x+c)$

 

Ta có:$(x+a)(x+b)(x+c)=x^{3}+(a+b+c)x^{2}+(ab+bc+ca)x+abc=x^{3}+ax^{2}+bc+c$

=>$a=a+b+c;b=ab+bc+ca;c=abc$

Với $c=0$=>$b=0;a\epsilon \mathbb{Q}$

Với $c\neq 0$

=>$b+c=0$=>$ab+ac=0$=>$b=bc$=>$c=1$=>$b=-1$

mà $abc=c$=>$a=-1$

Vậy $(a;b;c)\in$ {$(0;0;a);(-1;-1;1)$}

Cách khác:

$VT=\prod (1+\frac{1}{3a}+\frac{1}{3a}+\frac{1}{3a})\geq 4^{3}.\sqrt[4]{\frac{1}{(27abc)^{3}}}\geq 64$

1) Với a,b,c là các số dương, thỏa mãn $abc=1$. CMR:

a) $\frac{1}{a^{2}(b+c)}+\frac{1}{b^{2}(c+a)}+\frac{1}{c^{2}(a+b)}\geq \frac{3}{2}$

Ta có: $A=\frac{1}{a^{2}(b+c)}+\frac{1}{b^{2}(c+a)}+\frac{1}{c^{2}(a+b)}$

$=\sum \frac{abc}{a^{2}b+a^{2}c}$

$=\sum \frac{bc}{ab+ac}$

Đặt $ab=x;bc=y;ca=z$,ta có:

$A=\sum \frac{x}{y+z} \geq \frac{3}{2}$ (theo Nesbit)

ta được đpcm

Cho tam giác $ABC$. Trên các cạnh $AB,AC$, dựng ra phía ngoài các tam giác $ABE$,$ACF$ vuông cân tại $A$. Gọi $I$ là trung điểm cạnh $BC$. Chứng minh rằng $AI$ vuông góc $EF$

Hạ $BH$,$CK$ vuông góc $AI$.

=>$BH$=$CK$

Kéo dài $IA$ cắt $EF$ tại D

Ta có$\angle BAI + \angle DAE = 90^{\circ}$

Lại có$\angle BAI + \angle ABH = 90^{\circ}$

=> $\angle ABH = \angle DAE

Tương tự,ta có $\angle CAI =\angle DAF$

Vẽ tam giác $CKM$ = tam giác $BHA$

=>Tam giác $EAF$ = tam giác $MCA$

=>$\angle ABH = \angle FEA$

=>$\angle FEA + \angle EAD =  90^{\circ}$

=>(đpcm)

mình chưa hiểu đoạn $a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\Leftrightarrow abc\leq \frac{1}{27}$ ( lớp 7 chưa học bất đẳng thức cu-si), giải thích giùm mình nha tại não hơi bé

Ta có:$\left (\sqrt{a}-$a+b\geq 2\sqrt{ab}$\sqrt{b}\right )^{2}\geq 0$

=>$a+b\geq 2\sqrt{ab}$   (1)

Tương tự:$c+\sqrt[3]{abc}\geq 2\sqrt{c\sqrt[3]{abc}}$   (2)

Từ (1),(2) =>$a+b+c+\sqrt[3]{abc}\geq 2\sqrt{ab}+2\sqrt{c\sqrt[3]{abc}}\geq 4\sqrt[4]{abc\sqrt[3]{abc}}=4\sqrt[3]{abc}$

=>$a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}$

Cho $a,b >0$ và $a+b=2$. Tìm $Min$:

$P=\frac{1}{4a^2+2}+\frac{1}{4b^2+2}+\frac{1}{ab}$

Ta có $P=\frac{1}{4a^2+2}+\frac{1}{4b^2+2}+\frac{1}{ab}=\frac{1}{4a^2+2}+\frac{1}{4b^2+2}+\frac{6}{6ab} \geq \frac{64}{4a^2+4b^2+36ab+4} \geq \frac{64}{11(a+b)^2+4}= \frac{4}{3}$