Cho a,b,c > 0 và a+b+c = 3. Chứng minh rằng

$\frac{a}{b^{3}+ab}+\frac{b}{c^{3}+bc}+\frac{c}{a^{3}+ca}\geq \frac{3}{2}$

bạn đăng bài này rồi mà   

http://diendantoanho...a3cageq-frac32/

Cho 2017 điểm thỏa mãn trong 3 điểm bất kì luôn tồn tại 2 điểm sao cho đoạn thẳng tạo bởi chúng có độ dài bé hơn 1. Chứng minh luôn tồn tại 1 đường tròn có bán kính bằng 1 chứa không ít hơn 1009 các điểm cho trên.

Tính : $ L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+2x}-\sqrt[3]{1+3x}}{x} $

$L=\lim_{x\rightarrow 0}\left ( \frac{\sqrt{1+2x}-1}{x}-\frac{\sqrt[3]{1+3x}-1}{x} \right ) =\lim_{x\rightarrow 0}\left [ \frac{2}{\sqrt{1+2x}+1}-\frac{3}{\sqrt[3]{(1+3x)^{2}}+\sqrt[3]{1+3x}+1} \right ]=1-1=0$

Cho a,b,c > 0, thỏa mãn abc(a+b+c)=1. Tìm GTNN của A = $(a+b)(b+c)$

Tìm giá trị nhỏ nhất của A = $\sqrt{2x^{2}-4x+10}+\sqrt{2x^{2}+6x+5}$

Giải phương trình :

$\sqrt{2x^{2}-2x+4}+\sqrt{5x^{2}+4}+x^{2}-7x+1=0$

Dễ thấy nếu x < 0 thì pt vô nghiệm, xét x > 0 :

PT $\Leftrightarrow \sqrt{2x^{2}-2x+4}-(x+1)+\sqrt{5x^{2}+4}-(2x+1)+x^{2}-4x+3=0$

<=> $(x^{2}-4x+3)(\frac{1}{\sqrt{2x^{2}-2x+4}+x+1}+\frac{1}{\sqrt{5x^{2}+4}+2x+1}+1)=0$

$\Leftrightarrow x=1$ hoặc x = 3

Cho a,b,c là 3 hằng số, $\left ( U_{n} \right )$ xác định: $U_{n}= a.\sqrt{n+1} + b.\sqrt{n+2} + c.\sqrt{n+3} \forall n\geq 1$

CMR: $limU_{n}=0\Leftrightarrow a+b+c=0$

$\frac{U_{n}}{\sqrt{n+1}}=a+b\frac{\sqrt{n+2}}{\sqrt{n+1}}+c\frac{\sqrt{n+3}}{\sqrt{n+1}}$

Do đó nếu $limUn=0\Rightarrow lim(a+b\frac{\sqrt{n+2}}{\sqrt{n+1}}+c\frac{\sqrt{n+3}}{\sqrt{n+1}})=0\Rightarrow a+b+c=0$

Ngược lại, nếu a + b+ c = 0 => a = -b - c

$U_{n}=b(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1})+c(\sqrt{n+3}-\sqrt{n+1}) =\frac{b}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}+\frac{2c}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n+1}} \Rightarrow LimU_{n}=0$

$2x^2+(14-2\sqrt{x^2+8x})x+8x-14\sqrt{x^2+8x}+24=0$

$PT\Leftrightarrow (\sqrt{x^{2}+8x}-3)(\sqrt{x^{2}+8x}-x-4)=0 \Leftrightarrow ...$

tinh tich phan \[\int_0^{\frac{\pi }{2}} {\cot xdx} \]

$\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}cotx =\lim_{x\rightarrow 0} (-ln|sinx|)=+\infty$

Cho $x,y,z>0$. CM

$4(xy+yz+zx)\leq \sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x})$

Ta có BĐT quen thuộc $(xy+yz+xz)(x+y+z)\leq \frac{9}{8}(x+y)(y+z)(z+x)$

Do đó $4(xy+yz+xz)\leq \frac{9(x+y)(y+z)(z+x)}{2(x+y+z)}$

Ta chứng minh $\frac{9(x+y)(y+z)(z+x)}{2(x+y+z)}$ $\leq \sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}) \Leftrightarrow 9\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}\leq (x+y+y+z+z+x)(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x})$ (Luôn đúng theo BĐT AM-GM)

Từ đó suy ra đpcm

Chứng minh rằng dãy số $U_{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}$  $(n\geq 1)$ không có giới hạn

Giải hệ phương trình :

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{2(x-1)}+\sqrt{2(y+1)}=(x-3y)\sqrt{x+y} & & \\ (y+1)\sqrt{3x-y-4}=(2y+1)\sqrt{x+y} & & \end{matrix}\right.$

Cho ABC nhọn, chứng minh rằng :

1/ $cos\frac{A}{2}+cos\frac{B}{2}+cos\frac{C}{2}< 2(sin\frac{A}{2}+sin\frac{B}{2}+sin\frac{C}{2})$

2/ $1< \frac{sinA+sinB+sinC}{cosA+cosB+cosC}< 2$

Cho a,b > 0 thỏa $(a+b)^{3}+4ab\leq 12$. Chứng minh $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+2015ab\leq 2016$

Giải phương trình : $\sqrt{x^{2}+3}+\sqrt{2x+1}=3$

Chứng minh phương trình $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2010}$ luôn hữu hạn nghiệm tự nhiên.

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O) (AB<AC). Vẽ 2 đường cao AD, CE của tam giác ABC. Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại M. Từ M kẻ tiếp tuyến thứ 2 của (O) (N là tiếp điểm). Vẽ CK vuông góc với AN tại K. Chứng minh DK đi qua trung điểm của đoạn thẳng BE.

Cho tam giác ABC cân tại A, các đường phân giác trong cắt nhau tại I, biết IA=$3\sqrt{6}$ cm, IB=3 cm. Tính AB.

Tìm GTNN của $P=\sqrt{x^{2}+x-1}+\sqrt{x^{2}-x+1}$

1. Cho a,b,c là các số thực dương. CMR:

$\frac{b^2c}{a^3(b+c)}$+$\frac{c^2a}{b^3(a+c)}$+$\frac{a^2b}{c^3(a+b)}$ $\geq$$\frac{a+b+c}{2}$

2 Cho a,b,c là các số thực dương thay đổi bất kì CMR:

$(\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c})^2\geq 4(ab+bc+ca)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})$

Câu 1. thay a = b = c = 2 thì BĐT sai

Cho a,b,c > 0 thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng :

$\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}\leq \frac{1}{4}$

Cho x, y là các số thực không âm thỏa mãn $$x^{3}+y^{3}+xy=x^{2}+y^{2}$$. Tìm GTNN và GTLN của :

P = $$\frac{1+\sqrt{x}}{2+\sqrt{y}}+\frac{2+\sqrt{x}}{1+\sqrt{y}}$$

Cho a,b,c > 0 thỏa mãn ab + bc +ca = 11, tìm GTNN của : 

$P=\frac{5a+5b+2c}{\sqrt{12(a^{2}+11)}+\sqrt{12(b^{2}+11)}+\sqrt{c^{2}+11}}$

Bạn xem tại đây : http://diendantoanho...rac32/?p=552669

Cho a,b,c $\geq$0 thỏa mãn a+b+c=1006. Chứng minh rằng $\sum \sqrt{2012a+\frac{(b-c)^{2}}{2}}\leq 2012\sqrt{2}$