b) Đặt $\sqrt[3]{x^{2}-2}$=y, ta có $y^{3}=x^{2}-2$ và $y^{2}=2-x^{3}$

Đây là hệ PT đối xứng

$1)$ Cho ba số thực dương $a,b,c$ . Chứng minh rằng

$\sum \frac{a}{bc(c+a)} \geq \frac{27}{2(a+b+c)}$

$2)$ Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $\sum ab = 1$

Chứng minh rằng : $\sum \frac{a}{(3a+5b)^{3}} \geq \frac{9}{512}$

câu 1 thay a = b =c = 1 vào thì BĐT sai    

phải là $\sum \frac{a}{bc(c+a)}\geq \frac{27}{2(a+b+c)^{2}}$ thì phải

Áp dụng BĐT AM-GM

$a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}=a\sqrt{1(b-1)}+b\sqrt{1(a-1)}\leq \frac{ab}{2}+\frac{ab}{2}=ab$

$\sum \sqrt{\frac{a}{b+c+d}}=\sum \frac{a}{\sqrt{b+c+d}.\sqrt{a}}\geq \sum \frac{2a}{a+b+c+d}=2$

1. Ta có $\sum \frac{a^{2}}{a+b^{2}}=\sum a-\sum \frac{ab^{2}}{a+b^{2}}\geq 3-\frac{1}{2}\sum \sqrt{a}b$

Cần cm $\sum \sqrt{a}b\leq 3$

Ta có $(\sqrt{a}b+\sqrt{b}c+\sqrt{c}a)^{2}\leq (ab+bc+ca)(a+b+c)\leq 9\Leftrightarrow \sum \sqrt{a}b\leq 3$

=> đpcm

2. ta có $(a^{4}+b^{4})(a^{2}+b^{2})\geq (a^{3}+b^{3})^{2}\Rightarrow \frac{a^{4}+b^{4}}{a^{3}+b^{3}}\geq \frac{a^{3}+b^{3}}{a^{2}+b^{2}}$

$(a^{3}+b^{3})(a+b)\geq (a^{2}+b^{2})^{2}\Rightarrow \frac{a^{3}+b^{3}}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}\geq \frac{a+b}{2}$

Tương tự, cộng vế theo vế của các BĐT ta được $\sum \frac{a^{4}+b^{4}}{a^{3}+b^{3}}\geq \sum \frac{a+b}{2}=3$

Tiếp theo là 1 bài tương tự như bài này :

CMR với a,b,c>0 ,abc=1,ta có:

 

$\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[5]{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}}$

Thực chất 2 bài là 1 thôi 

CMR với mọi a,b,c dương ta có:

$(a+b+c)^{5}\geq 81abc(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

Ta có bđt phụ : $3abc\leq \frac{(ab+bc+ca)^{2}}{a+b+c}$

Do đó VP $\leq$  $\frac{27(ab+bc+ca)^{2}}{a+b+c}(a^{2}+b^{2}+c^{2}) =\frac{27}{a+b+c}.(ab+bc+ca)(ab+bc+ca)(a^{2}+b^{2}+c^{2})\leq      \frac{27}{a+b+c}.\frac{[a^{2}+b^{}+c^{2}+2(ab+bc+ca)]^{3}}{27} =\frac{27}{a+b+c}.\frac{(a+b+c)^{6}}{27}=(a+b+c)^{5}$

=> đpcm

$pt có no nguyên \Leftrightarrow \Delta =a^4-4a-4 là SCP$

$N a>1+\sqrt{2}\Rightarrow (a^2-1)^2<\Delta <(a^2)^2(l)$

$\Rightarrow a\leq 1+\sqrt{2}\Leftrightarrow a\in \left \{ 0;1;2 \right \}$

PT có nghiệm nguyên => $a^{4}-4a-4$ là số chính phương

+ Nếu a < 3 ta tìm đc a = 2 thỏa mãn

+ Nếu a $\geq$ 3 ta có:

$(a^{2})^{2}>a^{4}-4a-4>(a^{2}-1)^{2}$, khi đó delta không thể là số chính phương

Vậy a=2 là giá trị cần tìm

Cho 3 số x,y,z thỏa mãn x,y,z $\epsilon$[-1;3] và x+y+z=3. Chứng minh  $x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 11$

Bài 1 : Cho a;b;c lớn hơn hoặc bằng 0 . CMR : $\sum \sqrt{\frac{a}{b+c+d}} \geqslant 2$ với $(b+c+d)(a+c+d)(a+b+d)(a+b+c)> 0$

Bài 2 : Cho x;y > 0 ; $x+y\leqslant 1$ . CMR : $(1-\frac{1}{x^{2}})(1-\frac{1}{y^{2}})\geqslant 9$

Ta có : $(1-\frac{1}{x^{2}})(1-\frac{1}{y^{2}})=(1+\frac{1}{x})(1+\frac{1}{y})(1-\frac{1}{x})(1-\frac{1}{y})=(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{xy})(1-\frac{1}{x}-\frac{1}{y}+\frac{1}{xy})\geq [1+\frac{4}{x+y}+\frac{4}{(x+y)^{2}}][1-\frac{x+y}{xy}+\frac{1}{xy}]\geq (1+4+4)(1-\frac{1}{xy}+\frac{1}{xy})=9$

làm rõ ra đi mấy bạn 

Cho a,b,c không âm, thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh $\left ( a-1 \right )^{3}+\left ( b-1 \right )^{3}+\left ( c-1 \right )^{3}\geq -\frac{3}{4}$

Thế giải HPT này thế nào vậy?

cách này ngắn gọn 

cách này hơi khó hiểu

THCS mà, ko  được dùng đạo hàm 

BĐT $\Leftrightarrow ab+bc+2\sqrt{abcd}\leq ab+ad+bc+cd\Leftrightarrow (\sqrt{ad}-\sqrt{cd})^{2}\geq 0$ (đúng)

a) có $\Delta '=(m-1)^{2}+2m=m^{2}+1> 0$ nên PT luôn có 2 nghiệm phân biệt

Cho x,y không âm thỏa mãn x+y=4. Tìm GTNN và GTLN của : P= $x^{4}y+xy^{4}+x^{3}+y^{3}-5(x^{2}+y^{2})+14x^{2}y^{2}-58xy+6$

Dấu $\leq$ thì BĐT đúng, còn $\geq$ thì với x =1 y =2 BĐT sai 

Giải pt:

$2x^{2}-5x-3\sqrt{x^{2}-4x-5}=12+3x$

 

http://diendantoanho...olympic-toán-9/

ĐK : $x\leq -1$ or $x\geq 5$

PT <=> $2(x^{2}-4x-5)-3\sqrt{x^{2}-4x-5}-2=0$

Đặt $\sqrt{x^{2}-4x-5}=t$ ( t không âm). Giải pt bậc 2 ẩn t và từ đó tìm được x

1b. PT $\Leftrightarrow (x^{2}+x+m+1)[x^{2}-(m+1)x+m+1]=0$

Sau đó giải delta cho từng cái     

không phải là $(x+\sqrt{1+x^{2}})(y+\sqrt{1+y^{2}})=1$ ak

Do 0 < x+y < 1 nên 1 - x, 1 - y >0. Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có :

P $\geq$ $\frac{(x+y)^{2}}{2-(x+y)}+\frac{1}{x+y}+x+y$

Đặt x + y = t ( 0 < t <1) ta có P $\geq \frac{t^{2}}{2-t}+t+\frac{1}{t}=\frac{2t}{2-t}+\frac{2-t}{2t}+\frac{1}{2}\geq 2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$

Vậy Min P = $\frac{5}{2}\Leftrightarrow t=x+y=\frac{2}{3}$