Cho dãy số $a_{n}$ = $2^{n} -1$. Chứng minh rằng $a_{n+1}a_{n+2}...a_{n+2017}$ chia hết cho $a_{1}a_{2}...a_{2017}$

Cho ba số dương a,b,c.CMR $(a+b+c)^{5}$$\geq$81($a^{2}$+$b^{2}$+$c^{2}$)abc.

Untitled.png

Giải

$1)$ Theo định lí Pytago ta có

$OM^2=OA^2+AM^2=OH^2+MH^2$

$ON^2=OB^2+BN^2=OH^2+NH^2$

$\Rightarrow AM^2-BN^2=MH^2-NH^2$ (do $OA=OB$)

$\Leftrightarrow (AM-BN)(AM+BN)=(MH-NH)(MH+NH)\Leftrightarrow MN(AM-BN)=MN(MH-NH)$

$\Leftrightarrow AM-BN=MH-NH$

Lại có $AM+BN=MN=MH+NH$ nên dễ dàng suy ra đpcm

$2)$ Áp dụng định lí Pytago ta có

$OH^2=OM^2-MH^2=OM^2-AM^2=OA^2=OB^2$$\Leftrightarrow OH=OA=OB=\frac{1}{2}AB$

$\Rightarrow \Delta AHB$ vuông tại $H$

Mà $A,B$ cố định $\Rightarrow H \in (O;OA)$ cố định 

Câu 2 giải sai rồi nhé!

Cho tứ diện trực tâm ABCD. Điểm M nừm trong tứ diện. Tìm Min của P=$\frac{MA}{S_{a}}$+$\frac{MB}{S_{b}}$+$\frac{MC}{S_{c}}$+$\frac{MD}{S_{d}}$.

Cho dãy $a_{0}$=0,$a_{1}$=1,$a_{n+2}$=2$a_{n+1}$+$a_{n}$. CMR $a_{n}$$\vdots$$2^{k}$$\Leftrightarrow$n$\vdots$$2^{k}$.

Cho đa thức P(x)=$x^{2014}$+$a_{2013}$$x^{2013}$+.....+$a_{1}$x+1 , với $\left | a_{i} \right |$=1, đa thức không có nghiệm thực. Tìm Min($a_{1}$+...+$a_{2013}$)

Các bạn tham khảo lời giải trên AOPS nhé! IMO Shortlits 2002 bài A3

Đề nguyên bản là thay 2015 bởi 2011 nhé!(Hải Phòng 2011-2012).

Tìm đa thức P hệ số thực sao cho: P(2P(x))=2P(P(x))+2$(P(x))^{2}$.

Cho $\triangle$ABC không cân, BC=a,CA=b,AB=c. A$A_{1}$,B$B_{1}$,C$C_{1}$ là các đường phân giác trong của $\triangle$ABC. CMR nếu $A_{1}$$B_{1}$=$A_{1}$$C_{1}$ thì: $\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{a+b+c}$=$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{c+a}$.

Tìm các hoán vị p của tập $\left \{ 1,2,...,2015 \right \}$ thỏa mãn:

           $\left | p(1) -1\right |$+$\left | p(2)-1 \right |$+...+$\left | p(2015)-1 \right |$=$\frac{2015^{2}-1}{2}$

Cho $x,y,z>0$ t/m: $x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}=xyz$. CMR: $\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1-y}+\frac{1}{1-z}\leq\frac{9}{2}$

Gọi A là số bất kỳ thộc tập N. Đặt A=$a_{1}$$a_{2}$...$a_{2015}$

Cho N là tập hợp tất cả các STN có 2015 chữ số tạo bởi các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8 và chia hết cho 999. Tinh trung bình cộng tất cả các số của N.

CMR tồn tại một tập hợp M gồm đúng 2015 số nguyên dương t/m mọi phần tử và mọi tổng bất kỳ các phần tử của Mđều là lũy thừa với số mũ lớn hơn 1 của một số nguyên dương.

Giả sử a,b,c là các số nguyên dương thỏa mãn 0<$a^{2}$+$b^{2}$-abc$\leqslant$c. CMR $a^{2}$+$b^{2}$-abc là một số chính phương

Cho đa thức với hệ số nguyên P(x)= a$x^{3}$+b$x^{2}$+cx+d trong đó a$\neq$0. Giả sử tồn tại vô hạn cặp số nguyên x,y phân biệt thỏa mãn xP(x)=yP(y). CMR P(x)=0 có một nghiệm nguyên.

Cho $m$ là số nguyên dương và $p$ là số nguyên tố sao cho $p>m$. CMR số các số nguyên dương n s/c $m^2+n^2+p^2-2mn-2np-2pm$ là số chính phương không phụ thuộc vào $p$.

Tim hàm f trên $R$: $f(x+yf(x))+f(xf(y)-y)= f(x)-f(y)+2xy$