Tìm tích 8 nghiệm phức của phương trình :$\frac{(x+1)^{9}-1}{x}=0$
Bổ đề cho PT $f_{(x)}=\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{n-i}$ =0 $a_{0}\neq 0$
Tích n nghiệm của PT $\prod_{i=1}^{n}x_{i}=\frac{a_{n}}{a_{0}}$
Khai triển PT dễ dàng tìm được kết quả bằng 8
There have been 130 items by QDV (Search limited from 07-06-2020)
Posted by QDV on 17-10-2015 - 08:30 in Tổ hợp - Xác suất và thống kê - Số phức
Tìm tích 8 nghiệm phức của phương trình :$\frac{(x+1)^{9}-1}{x}=0$
Bổ đề cho PT $f_{(x)}=\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{n-i}$ =0 $a_{0}\neq 0$
Tích n nghiệm của PT $\prod_{i=1}^{n}x_{i}=\frac{a_{n}}{a_{0}}$
Khai triển PT dễ dàng tìm được kết quả bằng 8
Posted by QDV on 17-10-2015 - 08:14 in Tích phân - Nguyên hàm
Tính : $\int_{0}^{\pi }$$\frac{xsinx}{1+cos^{2}x}dx$
Đặt I = $\int_{0}^{\pi }\frac{xsinx}{1+cos^{2}x}dx=\int_{0}^{\pi }\frac{tsint}{1+cos^{2}t}dt$
t=$\pi -x\Rightarrow dt=-dx, x_{1}=0 \Rightarrow t1=\pi , x_{2}=\pi \Rightarrow t_{2}=0$
I=$-\int_{\pi }^{0}\frac{(\pi -t)sint}{1+cos^{2}t}dt=\int_{0 }^{\pi }\frac{(\pi -t)sint}{1+cos^{2}t}dt=\int_{0 }^{\pi }\frac{\pi sint}{1+cos^{2}t}dt-\int_{0 }^{\pi }\frac{t sint}{1+cos^{2}t}dt=\int_{0 }^{\pi }\frac{\pi sint}{1+cos^{2}t}dt-I$
$\Rightarrow I=\frac{\pi }{2}\int_{0}^{\pi }\frac{sint dt}{1+cos^{2}t}$
Posted by QDV on 16-10-2015 - 20:49 in Hình học phẳng
Cho đường tròn (O,R) và hai điểm A,B sao cho AB và (O,R) không có điểm chung. Tìm điểm M trên (O,R) sao cho MA+MB ngắn nhấ
Posted by QDV on 16-10-2015 - 16:04 in Tổ hợp - Xác suất và thống kê - Số phức
Viết dưới dạng chính tắc $A = (1 + i)^{2014} + (1 - i)^{2014}$.
Từ đó tính $B = C_{2014}^{0} + C_{2014}^{4} + C_{2014}^{8} + ... + C_{2014}^{2012}$.
Mọi người giúp em với ạ, em cảm ơn nhiều :3.
--------------
Em post nhầm sang phần Giải tích rồi... Mod giúp em chuyển sang Đại số với .
A=$(2i)^{1007}+(-2i)^{1007}=0$
Đặt C=$C_{2014}^{2}+C_{2014}^{6}+C_{2014}^{10}+...+C_{2014}^{2014}$
D=$C_{2014}^{1}+C_{2014}^{3}+...+C_{2014}^{2013}$
Khai triển A theo nhị thức Newton
A/2=$C_{2014}^{0}-C_{2014}^{2}+C_{2014}^{4}-C_{2014}^{6}+...+C_{2014}^{2012}-C_{2014}^{2014}=0$
Vậy B=C (1)
Trong khai triển Newton
$2^{2014}=(1+1)^{2014}=B+C+D$ (2)
$0=(1-1)^{2014}=B+C-D$ (3)
Từ (1),(2),(3) $\Rightarrow B = \frac{2^{2014}}{4}=2^{2012}$
Posted by QDV on 16-10-2015 - 13:50 in Chuyên đề toán THCS
tìm x,y thõa mãn: $x^{2}+xy+y^2=x^{2}y^{2}$
Dễ thấy PT có nghiệm (x;y)=(0;0)Với x$\neq 0 .y\neq 0$.PT thành
$\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{xy}=1$
Dễ thấy PT có nghiệm (x;y)=(1;-1) hoặc (-1;1)
Với $\left | x \right |\neq 1 , \left | y \right |\neq 1\Rightarrow VT\leqslant \frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\leq \frac{3}{4}$.
PT vô nghiệm. Vậy PT có các nghiệm (x;y)=(0;0) hoặc (1;-1) hoặc (-1;1)
Posted by QDV on 16-10-2015 - 08:24 in Dãy số - Giới hạn
$\boxed{\text{Bài 1}}$ Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi công thức:
$\left\{\begin{matrix} u_1=\frac{2014}{2013} & & \\ u_{n+1}=\frac{1}{2013}u_n+\frac{2012}{2013}& & \end{matrix}\right.$
Tìm công thức tổng quát của dãy $(u_n)$
$\boxed{\text{Bài 2}}$ Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi công thức:
$\left\{\begin{matrix} u_1=1 & & \\ u_{n+1}=2014u_n+2015& & \end{matrix}\right.$
Tìm công thức tổng quát của dãy $(u_n)$
SpoilerCác bạn giúp mình ah
Bài 1
Bằng quy nạp ta CM
$u_{n}=\frac{1}{2013^{n}}+1$.Thật vây với n=1 có
$u_{1}=\frac{2014}{2013}=\frac{1}{2013}+1$
Giả sử kết quả đến n=k . Tức là
$u_{k}=\frac{1}{2013^{k}}+1$.Ta cần CM kết quả đúng đến n=k+1.Tức là
$u_{k+1}=\frac{1}{2013^{k+1}}+1$.Thật vậy theo GTQN
$u_{k+1}=\frac{1}{2013}u_{k}+\frac{2012}{2013}=\frac{1}{2013}(\frac{1}{2013^{k}}+1)+1-\frac{1}{2013}=\frac{1}{2013^{k+1}}+1$ (Đpcm)
Bài 2:
Cũng tương tự câu 1 bằng quy nạp ta CM $u_{n}=2014^{n-1}+\frac{2015}{2013}(2014^{n-1}-1)$
Posted by QDV on 15-10-2015 - 19:49 in Tài liệu - Đề thi
Bài 2:
Biến đổi
P=$\sum \frac{1+\frac{2}{x}}{\frac{1}{yz}(\frac{1}{y}+\frac{1}{z})}$
Đặt a=1/x , b=1/y , c=1/z vậy abc=1.Cần tìm GTNM của
P=$\sum \frac{2a^{2}+a}{b+c}=\sum \frac{2a^{2}}{b+c}+\sum \frac{a}{b+c}$
Dễ dàng CM được
$\sum \frac{2a^{2}}{b+c}\geq 3 , \sum \frac{a}{b+c}\geq \frac{3}{2}$
Vậy $P_{min}=\frac{9}{2}$ Khi a=b=c=1 tức là x=y=z=1
Posted by QDV on 15-10-2015 - 18:37 in Tài liệu - Đề thi
Bài 1:
Bằng quy nạp dễ dàng CM $u_{n}=\frac{2}{2n-1}\Rightarrow \lim_{n\rightarrow +\infty }u_{n}=0$
Posted by QDV on 15-10-2015 - 17:02 in Phương trình - Hệ phương trình - Bất phương trình
Tìm $m$ để pt sau có nghiệm thỏa mãn $-1\leq x\leq 2$
$(x^{2}+x)^{2}-4(x^{2}+x)-3m+1=0$
$-1\leq x\leq 2\Rightarrow -1/2\leq x^{2}+x\leq 6$
Đặt t=$x^{2}+x$. Bài toán trở thành tìm m để PT
$f_{(t)}=t^{2}-4t-(3m-1)=0$ có nghiệm t$\in [-1/2;6]$
Bài toán tam thức bậc hai căn bản
$\left\{\begin{matrix} \Delta ^{'}=4+(3m-1)\geq 0\\ f_{(-1/2)}=\frac{13}{4}-3m\geq 0\\ f_{(6)}=10-3m\geq 0\\ \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow -1\leq m\leq \frac{13}{12}$
Posted by QDV on 15-10-2015 - 14:18 in Phương trình - Hệ phương trình - Bất phương trình
CMR:
1/ x50 +x10 chia hết cho x20 +x10 +1
2/x2 -x9 -x1945 chia hết cho x2 -x+1
3/8x9 -9x8 +1 chia hết cho (x-1)2
Đặt A=$x^{2}-x+1$
Dễ dàng CM $x^{3k}+1\vdots A$ (1) với k lẻ.Ta có
$P_({x})=x^{2}-x^{9}-x^{1945}=(x^{2}-x+1)-(x^{9}+1)+x(x^{1941}+1)-x^{1942}(x^{3}+1)$
Dựa vào (1)$\Rightarrow P_{(x)}\vdots A$ (chú ý 1941=3*647)
Posted by QDV on 14-10-2015 - 21:06 in Số học
Vì đống thứ I có 12 chiếc và đống thứ II có 13 chiếc nên :
TH1 : Nếu người thứ I và người thứ II chỉ có nhiệm vụ là : lấy 2 cái kẹo từ 1 trong 2 đống thì người thứ 2 luôn thắng . Vì giả sử người thứ I lấy 2 cái kẹo từ đống I thì đống I còn lại 10 chiếc . Ngay lúc ấy người thứ II lấy ngay 2 chiếc ở đống II thì đống 2 còn lại 11 chiếc cứ như thế nếu duy trì trạng thái là số kẹo ở đống II luôn lớn hơn số kẹo ở đống I 1 cái kẹo thì người thứ II luôn thắng
TH2: Nếu ban đầu người thứ I chuyển 1 chiếc từ đống I sang đống II thì đống I : 11 chiếc , đống II : 14 chiếc . Thì lúc ấy người thứ II nhanh chóng lấy 2 viên kẹo từ đống II để duy trì trạng thái trên .
Nên qua 2 trường hợp trên ta thấy , người thư II luôn luôn duy trì được trạng thái thắng là : Số kẹo ở đống II luôn lớn hơn số kẹo ở đống I là 1 viên . Vậy nên người thứ II luôn là người chiến thắng .
Tính bất biến trong trò chơi là sau một lượt lấy keo người hai luôn luôn có cách chọn sao cho số kẹo đống hai luôn nhiều hơn đống một đúng một cây và kết qủa còn cây kẹo cuối cùng ở đống hai nên người hai thắng
Posted by QDV on 14-10-2015 - 19:25 in Phương trình - Hệ phương trình - Bất phương trình
CMR:
1/ x50 +x10 chia hết cho x20 +x10 +1
2/x2 -x9 -x1945 chia hết cho x2 -x+1
3/8x9 -9x8 +1 chia hết cho (x-1)2
Đặt A=$x^{20}+x^{10}+1$
$x^{50}+x^{10}+1=x^{50}-x^{20}+A=x^{20}(x^{30}-1)+A=x^{20}(x^{10}-1)A+A=(x^{30}-x^{20}+1)A\vdots A$
Vậy $x^{50}+x^{10}$ không chia hết cho $x^{20}+x^{10}+1$
Posted by QDV on 14-10-2015 - 15:50 in Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
BẠN CÓ THỂ GIẢI THÍCH RÕ HƠN BƯỚC CHƯNG MINH NGHIỆM DUY NHẤT KHÔNG ?
Giả sử x.y cùng thuộc tập (0;1) hoặc (1;$\infty$) lúc đó 2z(1-x)(1-y)>0 suy ra $f_{(x;y;z)}=(x-y)^{2}+(z-1)^{2}+2z(1-x)(1-y)> 0$
Vậy
Posted by QDV on 14-10-2015 - 14:20 in Bất đẳng thức và cực trị
Cho hàm số : $f\left ( x \right )=a\left | x+2 \right |+b\left | x+1 \right |+cx$ đồng biến trên R . Chứng tỏ : c > 0 .
Với x<-2.Để hàm đồng biến c-(a+b)>0 (1)
Với x>-1.Để hàm đồng biến c+(a+b)>0 (2)
Từ (1) và (2) suy ra c>0.Đây chỉ là ĐK cần
Posted by QDV on 14-10-2015 - 13:59 in Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Từ PT biến đổi được
$(x-y)^{2}+(z-1)^{2}+2z(1-x)(1-y)=0$ (1)
$(y-z)^{2}+(x-1)^{2}+2x(1-y)(1-z)=0$ (2)
$(z-x)^{2}+(y-1)^{2}+2y(1-z)(1-x)=0$ (3)
Dễ thấy PT có nghiệm (x;y;z)=(1;1;1)
Giả sử PT có bộ nghiệm khác bộ trên lúc đó có ít nhất hai ẩn cùng thuộc tập (0;1) hoặc (1;$\infty$).Từ (1).(2) hoặc (3) suy ra
$f_({x;y;z})> 0$ vô lý .Vậy PT chỉ có bộ nghiệm dương (x;y;z)=(1;1;1)
Tìm nghiệm dương x , y , z của phương trình $x^{2}+y^{2}+z^{2}+1+2xyz-2xy-2xz-2yz = 0$
ừ PT biến đổi được
$(x-y)^{2}+(z-1)^{2}+2z(1-x)(1-y)=0$ (1)
$(y-z)^{2}+(x-1)^{2}+2x(1-y)(1-z)=0$ (2)
$(z-x)^{2}+(y-1)^{2}+2y(1-z)(1-x)=0$ (3)
Dễ thấy PT có nghiệm (x;y;z)=(1;1;1)
Giả sử PT có bộ nghiệm khác bộ trên lúc đó có ít nhất hai ẩn cùng thuộc tập (0;1) hoặc (1;$\infty$).Từ (1).(2) hoặc (3) suy ra
$f_({x;y;z})> 0$ vô lý .Vậy PT chỉ có bộ nghiệm dương (x;y;z)=(1;1;1)
Posted by QDV on 08-10-2015 - 19:54 in Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
lam sao ra duoc pt T vay ban?
Nhân (1) cho 4 và bình phương hai vế của (2) được
$[(x+3)^{2}-3]^{2}=8(x+3)+12\Rightarrow$ như bài giải trên
Posted by QDV on 08-10-2015 - 19:06 in Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Hệ biến đổi thành$x^{2}(x+y)^{2}=2(x+3)+3$ (1)
$2x(x+y)=(x+3)^{2}-3$ (2)
Từ (1) và (2) bằng cách đặt x+3=t được PT
$t^{4}-6t^{2}-8t-3=0\Leftrightarrow (t+1)^{3}(t-3)=0$
Với t=3 $\Rightarrow x=0$ PT vô nghiệm
Với t=-1 $\Rightarrow x=-4 \Rightarrow y=\frac{17}{4}$
Posted by QDV on 08-10-2015 - 14:12 in Tổ hợp - Xác suất và thống kê - Số phức
kq:10!-2.9!
Tổng cách sắp 10!
Tổng cách sắp để có ít nhất hai học sinh nam kề nhau $9!C_{4}^{2}$
Số cách sắp để không có hai học sinh nam nào kề nhau: 10!-9!6=9!4
Posted by QDV on 08-10-2015 - 08:15 in Tổ hợp và rời rạc
mình từng gặp 1 bài như sau , cho tập{ a1 ;a2 .....;an} mà a1=1 và a_i <=a_i+1 <= 2a_i tổng các a_i là số chẵn cmr có thể chia thành 2 tập sao cho tổng các phần tử của mỗi tập bằng nhau
Thực hiện phép chia thành hai nhóm A và B như sau:
1. Chia các phần tử theo thứ tự giảm dần
2. Chia $a_{i}$ vào A hoặc B nếu nhóm nào có tổng các phần tử không lớn hơn tổng các phần tử của nhóm kia
Gọi (A),(B) là tổng các phần tử của nhóm A và nhóm B. Ta CMR ở lượt chia thứ n-i +1 tức chia phần tử $a_{i}$ thì
$\left | (A_{i})-(B_{i}) \right |\leq a_{i}$ (ở đây ta ký hiệu $(X_{i})$ là tổng các phần tử của nhóm X sau khi chia phần tử $a_{i}$)
CM bằng quy nạp
Ở lần chia thứ 1 (chia phần tử $a_{n}$).Dễ thấy
$\left | (A_{n})-(B_{n}) \right |=a_{n}\leq a_{n}$
Giả sử BĐT đúng đến lần chia thứ n-k+1 (chia phần tử $a_{k}$ ).Tức là
$\left | (A_{k})-(B_{k}) \right |\leq a_{k}$
Ta cần CM BĐT đúng đến lần chia thứ n-k+2 ( chia phần tử $a_{k-1}$).Tức là
$\left | (A_{k-1})-(B_{k-1}) \right |\leq a_{k-1}$
Thực vậy
$\left | (A_{k-1})-(B_{k-1}) \right |=\left | (A_{k})-(B_{k})) \right |-a_{k-1}\leq a_{k}-a_{k-1}\leq a_{k-1}$ ( theo giả thiết quy nạp và điều kiện bài toán) (Đpcm)
Vậy ở lần chia thứ n ( chia phần tử $a_{1}$). Ta được
$\left | (A_{1})-(B_{1}) \right |\leq a_{1}=1$
Vì tổng các phần tử chẳn nên hiệu I(A)-(B)I cũng là số chẳn $\Rightarrow \left | (A_{1})-(B_{1}) \right |=0$ (đpcm)
Posted by QDV on 07-10-2015 - 09:03 in Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
a)Khi a=2.PT trở thành $(x+1)(x^{2}+3x+1)$.Có các nghiệm $\left \{ -1;\frac{-3-\sqrt{5}}{2};\frac{-3+\sqrt{5}}{2} \right \}$
b) $f_{(x)}^{'}=3x^{2}+4ax+a^{2}=0\Leftrightarrow x=-a/3\cup x=-a$
$f_{(-a/3)}=\frac{-(a+3)(2a-3)^{2}}{27}, f_{(-a)}=a-1$
Để PT có ba nghiệm phân biệt thì $f_{(-a/3)}f_{(-a)}< 0$.Giải BPT dễ dàng suy ra $x\in (-\infty ;-3)\cup (1;3/2)\cup (3/2;+\infty )$
Posted by QDV on 06-10-2015 - 21:08 in Phương trình - Hệ phương trình - Bất phương trình
Từ hệ $\Rightarrow 4(x^{2}+y^{2})(x^{4}+y^{4})=(x+y)^{2}(x^{2}+y^{2})^{2}$.Mà
$(x+y)^{2}\leq 2(x^{2}+y^{2}),(x^{2}+y^{2})^{2}\leq 2(x^{4}+y^{4})$.Dấu"=" khi và chỉ khi x=y.Nên PT có nghiệm x=y.hay vaò dễ dàng tính được (x;y)=(0;0) hoặc (1;1)
Posted by QDV on 06-10-2015 - 18:49 in Số học
Đặt $P_{(x,y)}=10x^{2}-10xy+10y^{2}$.Giả sử d=(x,y)
Vậy $P_{(x,y)}=10d^{2}(x_{1}^{2}-x_{1}y_{1}+y_{1}^{2}) (1), x_{1}=\frac{x}{d}, y_{1}=\frac{y}{d},(x_{1},y_{1})=1$
Từ (1) dễ thấy nếu $P_{(x,y)}$ là số chính phương thì $x_{1},y_{1}$ chẳn ,vô lý.Vậy không tồn tại x,y thỏa mãn đề bài
Posted by QDV on 05-10-2015 - 19:16 in Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
ĐK $x\leq 3$
$f_{(x)}^{'}=12x^{2}+2x+\sqrt{6-2x}-\frac{x-4}{\sqrt{6-2x}}=12x^{2}+2x+\frac{10-3x}{\sqrt{6-2x}}> 0, x\in D$
Hàm đơn điệu trên D nên chỉ có nhiều nhất một nghiệm.Dễ dàng nhận thấy x=1 là nghiệm duy nhất của phương trình
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học