$(x+3y+4z+t)^{2}\leq (1+9+16+1)(x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2})=27(x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2})$

Dấu " = " tại $x=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=t$

Tới đây thế vào pt(2) theo một ẩn rồi tính

2a) $\Leftrightarrow 3x(x^{4}+x^{2}+1)-(x^{2}+x+1)=0$

$\Leftrightarrow 3x[(x^{2}+1)^{2}-x^{2}]-(x^{2}+x+1)=0$

$\Leftrightarrow 3x(x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1)-(x^{2}+x+1)=0$

$\Leftrightarrow (x^{2}+x+1)(3x^{3}-3x^{2}+3x-1)=0$

$\Leftrightarrow 3x^{2}-3x^{2}+3x-1=0$

$\Leftrightarrow (x-1)^{3}=-2x^{3}$

$\Leftrightarrow x-1=x\sqrt[3]{-2}$

$\Leftrightarrow x=\frac{1}{1+\sqrt[3]{2}}$

$x(1+\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}})=2\sqrt{2}$

$\Rightarrow$ ĐK: $x> 1$

$x+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}.1}\geq x+\frac{2x}{x^{2}}=x+\frac{2}{x}\geq 2\sqrt{2}$

Dấu " = " tại $x=\sqrt{2}$

Vậy $x=\sqrt{2}$

4) cách dùng AM-GM:

$4a+4b+4c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-3(a+b+c)\geq 6\sqrt[6]{4^{3}}-3.\frac{3}{2}=\frac{15}{2}$

1) $\left\{\begin{matrix} x-1=(y-1)(y^{2}+2y+3) & & \\ y-1=(z-1)(z^{2}+2z+3) & & \\ z-1=(x-1)(x^{2}+2x+3) & & \end{matrix}\right.$

Xét x=y=z=1 là nghiệm của hpt

Xét x=y=z$\neq 1$

Nhân (1), (2), (3), rút gọn ta được:

$[(x+1)^{2}+2][(y+1)^{2}+2][(z+1)^{2}+2]=1\geq 8$ ( vô lí) 

Vậy x=y=z=1

$\sum \frac{ab}{a+2b}\leq\sum \frac{ab}{9}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b})=\frac{a+b+c}{3}$

1b) Bổ đề: $3(ab+bc+ac)\leq (a+b+c)^{2}$

$\sum \frac{a}{b+2c}=\frac{a^{2}}{ab+2ac}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{3(ab+bc+ac)}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{(a+b+c)^{2}}=1$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

$\sum \frac{1}{2a+1}\geq \frac{9}{7}$

Thật vậy: $\sum \frac{1}{2a+1}\geq \frac{9}{2(a+b+c)+3}=\frac{9}{7}$

$(1)\Leftrightarrow x^{3}+x=(y+1)^{3}+y+1$

Xét $f(t)=t^{3}+t$

Hàm đồng biến trên $\mathbb{R}$

Nên $x=y+1$

Thế vào (2) ta được:

$\left |\sqrt{x+2}-2 \right |+\left | \sqrt{x+2}-3 \right |=1$

..................

$n\vdots p\Rightarrow n=pk(k\in \mathbb{N})$

$2^{n}-1=(2^{p})^{k}-1^{k}=(2^{p}-1)(2^{p-1}+...+1)$$\vdots 2^{p}-1$

2) Đk: $y\geq \frac{1}{3};x+2y-1\geq 0$

$(1)\Leftrightarrow y(x-y)+\sqrt{x+2y-1}-\sqrt{3y-1}=0$

$\Leftrightarrow (x-y)(y+\frac{1}{\sqrt{x+2y-1}+\sqrt{3y-1}})=0$

$\Leftrightarrow x-y=0$ (trong ngoặc luôn dương với y>$\frac{1}{3}$)

$\Leftrightarrow x=y$

...................

$\sum \sqrt{x^{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})+y^{2}z^{2}}=\sum \sqrt{(x^{2}+y^{2})(x^{2}+z^{2})}\geq \sum (x^{2}+yz)=xy+yz+xz+1$

$(x-y;y-z;z-x)\rightarrow (a;b;c)$

Ta có a+b+c=0

Chỉ cần chứng minh $a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc$ là ok

a) Đặt $a=x^{2}+1;b=y^{2}(a\geq 1;b\geq 0)$

pt đã cho trở thành:

$(a+b)^{2}-5a-4b=0$

$\Leftrightarrow a^{2}+a(2b-5)+b^{2}-4b=0$

$\Delta =25-4b$

để pt có nghiệm nguyên thì delta>0 và là một số chính phương

từ đk của b $\Rightarrow$ $b\in \begin{Bmatrix} 0;4 \end{Bmatrix}$

Từ đây tìm ra được y, tìm ra được x

 

1/ Cho a,b,c>0 và t/m: abc=1
CMR: a, $\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{b^3}{(1+a)(1+c)}+\frac{c^3}{(1+b)(1+a)}\geq \frac{3}{4}$
b, $\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(b+a)}\geq \frac{3}{2}$
2/ Cho a,b,c>0 và a+b+c=1
CMR: $\sqrt{a^2+ab+b^2}+\sqrt{b^2+bc+c^2}+\sqrt{c^2+ac+c^2}+\geq \sqrt{3}$
3/ Cho a,b,c >0 thỏa mãn: a+b+c=1. CMR: $(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c})\geq 64$
4/ Cho a,b,c,x,y,z>0 thỏa mãn: x+y+z=1 và $\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}=\frac{1}{a+b+c}$

CMR: $\frac{x^4}{a^3}+\frac{y^4}{b^3}+\frac{z^4}{c^3}=\frac{1}{(a+b+c)^3}$

 

1b) $\sum \frac{1}{a^{3}(b+c)}=\sum \frac{abc}{a^{3}(b+c)}=\sum \frac{\frac{1}{a^{2}}}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}$

$(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c})\rightarrow (x;y;z)$; ta có: $xyz=1$

$\sum \frac{x^{2}}{y+z}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{2(x+y+z)}=\frac{x+y+z}{2}\geq \frac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}=\frac{3}{2}$

 

1/ Cho a,b,c>0 và t/m: abc=1
CMR: a, $\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{b^3}{(1+a)(1+c)}+\frac{c^3}{(1+b)(1+a)}\geq \frac{3}{4}$
b, $\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(b+a)}\geq \frac{3}{2}$
2/ Cho a,b,c>0 và a+b+c=1
CMR: $\sqrt{a^2+ab+b^2}+\sqrt{b^2+bc+c^2}+\sqrt{c^2+ac+c^2}+\geq \sqrt{3}$
3/ Cho a,b,c >0 thỏa mãn: a+b+c=1. CMR: $(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c})\geq 64$
4/ Cho a,b,c,x,y,z>0 thỏa mãn: x+y+z=1 và $\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}=\frac{1}{a+b+c}$

CMR: $\frac{x^4}{a^3}+\frac{y^4}{b^3}+\frac{z^4}{c^3}=\frac{1}{(a+b+c)^3}$

 

2) $\sum \sqrt{a^{2}+ab+b^{2}}=\sum \sqrt{\frac{3}{4}(a+b)^{2}+\frac{(a-b)^{2}}{4}}\geq \sum \sqrt{\frac{3}{4}(a+b)^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.2(a+b+c)=\sqrt{3}$

Dấu " = " tại $a=b=c=\frac{1}{3}$

$(\sqrt{x},\sqrt{y},\sqrt{z})\rightarrow (a,b,c)$

Theo đề ta có: $a+b+c=3$

$P=\sum \frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}}=\sum (a-\frac{ab^{2}}{a^{2}+b^{2}})\geq \sum (a-\frac{ab^{2}}{2ab})=\sum a-\sum \frac{b}{2}=\sum a=3/2$

Dấu " = " tại $a=b=c=1\Leftrightarrow x=y=z=1$

1) $\frac{1}{a+1}\geq 1-\frac{1}{b+1}+1-\frac{1}{c+1}=\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\geq 2\sqrt{\frac{bc}{(b+1)(c+1)}}$

Tương tự có: $\frac{1}{b+1}\geq 2\sqrt{\frac{ac}{(a+1)(c+1)}};\frac{1}{c+1}\geq 2\sqrt{\frac{ab}{(a+1)(b+1)}}$

Nhân 3 vế lại với nhau, biến đổi ta có đpcm

Bạn tự vẽ hình nha.

Dựng hình bình hành ACIB. $AI\cap FK={H}$.

Ta thấy $\angle FAK+\angle BAC=180^{\circ},\angle BAC+\angle ACI=180^{\circ}\Rightarrow \angle FAK=\angle ACI$

Chứng minh $\bigtriangleup ACI=\bigtriangleup KAF$ (c-g-c)

$\Rightarrow \angle IAC=\angle HKA$

Mà $\angle HAK+\angle KAC+\angle CAI=180^{\circ}\Rightarrow \angle HAK+\angle CAI=90^{\circ}$

Nên $\angle HAK+\angle HKA=90^{\circ}\Rightarrow$ $\bigtriangleup HKA$ vuông tại H

Vậy $AI\perp FK$

Ta thấy: $AM=\frac{1}{2}AI;AI=FK(\bigtriangleup KAF=\bigtriangleup ACI)$

Suy ra AM=FK/2

1) $\sum \frac{x^{3}}{y}+\sum xy\geq \sum 2x^{2}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{x^{3}}{y}\geq \sum 2x^{2}-(xy+yz+xz)\geq \sum 2x^{2}-\sum x^{2}=x^{2}$ (đpcm)

ĐK: $x\geq \frac{-1}{2}$

Đặt $\sqrt{x+1}=t(t\geq 0)$

$t^{2}=(2t^{2}-1)\sqrt{t+2}$

$\Leftrightarrow t^{4}=(2t^{2}-1)^{2}(t+2)$ $(2t^{2}-1\geq 0)$

$\Leftrightarrow 4t^{5}+7t^{4}-4t^{3}-8t^{2}+t+2=0$

$\Leftrightarrow (t+1)(t^{2}+t-1)(4t^{2}-t-2)=0$

Tới đây giải ra t, đối chiếu ĐK rồi tìm ra được x

$A=\sqrt{5-a^{2}}+2a\leq \sqrt{(5-a^{2}+a^{2})(1^{2}+2^{2})}=5$ (bất đẳng thức B-C-S)

Dấu " = " tại $\sqrt{5-a^{2}}=\frac{a}{2} \Leftrightarrow a=2$

$\sum x^{2}+\sum \frac{1}{x}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{3}+\frac{9}{x+y+z}= \frac{(x+y+z)^{2}}{3}+\frac{9}{8(x+y+z)}+\frac{9}{8(x+y+z)}+\frac{27}{4(x+y+z)}\geq \frac{9}{4}+\frac{27}{4.\frac{3}{2}}=\frac{27}{4}$

Dấu " = " tại x=y=z=1/2

 

Lời giải.

Điều kiện xác định: $x\geq -1$, $x\neq 0$.

Ta có:

$$2y^{2}-9y-\dfrac{4}{x}+2=0$$

$$\Leftrightarrow 2y^{2}-9y+4=\dfrac{4}{x}+2$$

$$\Rightarrow \left ( 2y^{2}-9y+4 \right )^{2}=\left ( \dfrac{4}{x}+2 \right )^{2}$$

$$\Leftrightarrow \left ( 2y^{2}-9y+4 \right )^{2}-4=\dfrac{16}{x^{2}}+\dfrac{16}{x}$$

Vì $x\neq 0$ nên chia hai vế của phương trình thứ hai cho $x\neq 0$ ta được:

$$\dfrac{4}{x}\sqrt{x+1}+y\sqrt{y^{2}+4}=0$$

$$\Leftrightarrow \dfrac{4}{x}\sqrt{x+1}=-y\sqrt{y^{2}+4}$$

$$\Rightarrow \left ( \dfrac{4}{x}\sqrt{x+1} \right )^{2}=\left ( -y\sqrt{y^{2}+4} \right )^{2}$$

$$\Leftrightarrow \dfrac{16}{x^{2}}+\dfrac{16}{x}=y^{2}\left ( y^{2}+4 \right )$$

$$\Leftrightarrow \left ( 2y^{2}-9y+4 \right )^{2}-4=y^{2}\left ( y^{2}+4 \right )$$

$$\Leftrightarrow \left ( 2y^{2}-9y+4 \right )^{2}=\left ( y^{2}+2 \right )^{2}$$

$$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} 2y^{2}-9y+4=y^{2}+2 \\ 2y^{2}-9y+4=-y^{2}-2 \end{array}\right.$$

$$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} y=\dfrac{9+\sqrt{73}}{2} \\ y=\dfrac{9-\sqrt{73}}{2} \\ y=2 \\ y=1 \end{array}\right.$$

Đến đây bạn giải tiếp nhé.

 

dạ cho em biết ý tưởng bài này của chị được không ạ

Bổ đề : $ab+bc+ca\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}$

$\sum \frac{a^{3}}{b+c}+\sum \frac{a(b+c)}{4}\geq a^{2}$

$\Leftrightarrow S\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}-\frac{ab+bc+ac}{2}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}-\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}\geq \frac{1}{2}$