Cho a,b,c dương. CMR $\sum \frac{a}{b+c}\leq \sum \frac{a^2}{b^2+c^2}$

Cho a, b nguyên và $am^2+bn^2$ chính phương với mọi m, n nguyên dương. Chứng minh ab=0

Cho a,b,c không âm, CMR $(a+b+c)^2+2abc+4 \geq 3(ab+bc+ca)+2(a+b+c)$

Cho a, b nguyên và $am^2+bn^2$ chính phương với mọi m, n nguyên dương. Chứng minh ab=0

Rõ ràng ta phải có $a,b\geq 0$. Giả sử $a,b>0$.

Cho $m=n=1$ ta có $a+b$ là số chính phương. Cho $m=b,n=a$ ta có $ab$ là một số chính phương.

Giờ, ta chứng minh $d=(a,b)$ cũng là một số chính phương.

Thật vậy, giả sử phản chứng. Khi đó $a,b$ có một ước nguyên tố chung $p$ (nếu không có thì $d=1$, là số chính phương). 

Trong hai số $a,b$ phải có một số chia đúng cho một lũy thừa bậc lẻ của $p$. Giả sử là $a$. Khi đó chọn $m=1$ và $n$ là một lũy thừa bậc đủ lớn của $p$ ta có ngay mâu thuẫn.

Như thế, $d$ là một số chính phương. Suy ra cả $a$ và $b$ là số chính phương. Giờ cho $m=b,n=1$ ta có $ab+1$ là số chính phương, mâu thuẫn với sự kiện $ab$ là một số chính phương.

Vậy trong $a,b$ phải có số bằng $0$. Bài toán kết thúc. $\square$

Cảm ơn bạn.
Bạn giúp mình bài BĐT này với
CMR $\sum \frac{a}{b+c}\leq \sum \frac{a^2}{b^2+c^2}$ với mọi a,b,c dương 

Cho x,y,z không âm, có tổng bằng 3.

Tìm GTNN của $P=\sqrt{x(y+3)}+\sqrt{y(z+3)}+\sqrt{z(x+3)}$

Cho tam giác ABC. Đường tròn (I) nội tiếp, tiếp xúc BC tại D. Đường cao AH. M là trung điểm AH. Đường tròn tâm K bàng tiếp trong góc A. Chứng minh M, D, K thẳng hàng.

Cho a,b nguyên dương sao cho $a+b^3\vdots a^2+3ab+3b^2-1$

CMR $a^2+3ab+3b^2-1$ chia hết cho lập phương của một số nguyên lớn hơn 1.

Cho a,b,c là ba số nguyên dương đôi một nguyên tố cùng nhau sao cho $\frac{a^2+b^2-c^2}{a+b-c};\frac{b^2+c^2-a^2}{b+c-a};\frac{c^2+a^2-b^2}{c+a-b}\in \mathbb{Z}$

Chứng minh $\left | (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \right |$ là số chính phương

Cho a,b nguyên dương sao cho $a+b^3\vdots a^2+3ab+3b^2-1$

CMR $a^2+3ab+3b^2-1$ chia hết cho lập phương của một số nguyên lớn hơn 1.

CMR nếu chia tập S = {1;2;...;9} thành 2 tập khác rỗng và rời nhau một cách tùy ý, thì luôn tồn tại 3 phần tử a,b,c thuộc cùng một tập sao cho a + c = 2b

Cho x, y là hai số hữu tỉ không nguyên phân biệt. CMR tồn tại n nguyên dương để $x^n - y^n \notin \mathbb{Z}$

Như mình đã nói phía trên. Việc phân chia thành hai tập hợp là tương đương với việc tô mỗi số bằng một trong hai màu, chẳng hạn xanh đỏ.

Bây giờ chỉ cần xét tập $Y$ từ $1$ đến $8$. Nếu trong cách tô màu (phân hoạch) mà có 3 số trong $Y$ cùng màu tạo thành CSC thì số $9$ cuối cùng tô màu gì cũng không quan trọng.

Ta xét trường hợp còn lại: có cách tô màu $Y$ để không có 3 số cùng màu nào tạo thành CSC.

Sẽ có 7 cách tất cả như thế (bạn tham khảo https://datagenetics...2017/index.html )

Với mỗi cách này, khi thêm số 9 vào cuối, bất kể bạn chọn màu nào, thì cũng sẽ tạo thành một CSC (có số 9 tận cùng).

Ý tưởng của bạn chưa rõ ràng lắm nhỉ, bạn có thể nói cụ thể tại sao thêm số 9 vào thì tạo thành CSC không ạ?

Cho x, y, z không âm, có tổng bằng 1. Tìm GTLN của $P=\frac{x^2+1}{y^2+1}+\frac{y^2+1}{z^2+1}+\frac{z^2+1}{x^2+1}$

Trong bàn cờ vuông 33 x 33, tô màu mỗi ô vuông đơn vị bằng 1 trong 3 màu xanh, đỏ, vàng sao cho số ô mỗi màu là bằng nhau. Gọi n là số các cạnh chung của 2 ô vuông khác màu. Tìm GTNN của n

Ý tưởng thì không phải của mình, nhưng cũng dễ hiểu Nếu có một CSC cùng màu trong tập $X' = \{1; 2; ...; 8\}$ thì coi như thỏa đề. Giờ xét trường hợp không có CSC cùng màu nào trong dãy $X'$. Bằng phương pháp vét cạn, V. Chvátal đã tìm ra 7 trường hợp (không kể đổi màu và đối xứng) để $X'$ không có CSC. Trong các trường hợp đó, khi bạn thêm số 9 vào với bất kỳ màu gì, cũng sẽ tìm ra một CSC.

Ví dụ trường hợp này: 1 2 3 4  5 6 7 8 ($X \quad D \quad D \quad X \quad X \quad D \quad D \quad X$). Nếu bạn thêm số 9 màu đỏ thì sẽ có CSC $(3;6;9)$ cùng đỏ, còn nếu màu xanh thì $(1;5;9)$ cùng xanh

Tóm lại bài này phải xây dựng các tập cụ thể chứ không thể dùng nguyên lý Dirichlet để chứng minh

Tìm tất cả x,y nguyên dương thỏa $2.3^x=5^y+1$

Xin lỗi, đúng là tôi đã thiếu sót.
Phải tô sao cho số ô mỗi màu là bằng nhau.

Bạn có chắc là đề đầy đủ không? Nếu tô màu đỏ ở một ô ở góc (trái cùng chẳng hạn), rồi tô vàng tất cả các ô còn lại, thì ta có $n = 2$. Vậy $n_{\min} \le 2$.

Mặt khác, nếu $n=1$ thì sẽ vô lý. Bằng phản chứng, ta lấy một cặp ô vuông khác màu và chung một cạnh, ta gọi hai ô là $T, P$ lần lượt cho trái, phải. Không mất tính tổng quát thì giả sử cặp này nằm ngang. Khi đó, ta sẽ có thêm 2 ô "láng giềng" nằm trên hoặc dưới của cặp này (luôn tồn tại vì độ dài bàn cờ $\ge 2$). Ô láng giềng bên trái sẽ cùng màu với $T$ và ô láng giềng bên phải sẽ cùng màu với $P$, do đó cạnh chung của hai ô láng giềng thỏa điều kiện cần tìm, nhưng ta đã giả sử từ đầu $n=1$, nên dẫn tới vô lý. Vậy $n_{\min} \ge 2$.

Kết luận: $n_{\min} = 2

Trong bàn cờ vuông 33 x 33, tô màu mỗi ô vuông đơn vị bằng 1 trong 3 màu xanh, đỏ, vàng sao cho số ô mỗi màu là bằng nhau. Gọi n là số các cạnh chung của 2 ô vuông khác màu. Tìm GTNN của n

Cho x, y, z không âm, có tổng bằng 1. Tìm GTLN của $P=\frac{x^2+1}{y^2+1}+\frac{y^2+1}{z^2+1}+\frac{z^2+1}{x^2+1}$

Cho a, b, c, d là 4 số dương có tích bằng 1.
Tìm GTLN của $\frac{1}{a+b+2}+\frac{1}{b+c+2}+\frac{1}{c+d+2}+\frac{1}{d+a+2}$

Tìm tất cả x,y nguyên dương và p nguyên tố sao cho $p^3=(x+y^3)(x^3+y)$

Một trường học có 2020 học sinh nam và 2020 học sinh nữ. Trong trường, người ta có tổ chức một số câu lạc bộ, biết rằng mỗi học sinh tham gia không quá 16 câu lạc bộ và mỗi cặp hai học sinh nam và nữ bất kì thì cùng tham gia vào ít nhất 1 câu lạc bộ. Chứng minh rằng có một câu lạc bộ trong trường mà trong đó có ít nhất 64 học sinh nam và 64 học sinh nữ

Tam giác nhọn ABC có 3 đường cao AD, BE, CF. Trực tâm H. P, Q lần lượt đối xứng E, F qua H. Đường tròn (DPQ) cắt lại BE, CF lần lượt tại K và L. CMR KL đi qua trung điểm AC.

Tam giác ABC nội tiếp (O). Đường cao AD, BE, CF. S là giao 2 tiếp tuyến tại B,C của (O). AO cắt BC tại G. I, K thuộc AB, AC sao cho GI // SB và GK // SC. CMR SO, EF, IK đồng quy tại trung điểm J của IK.