2)

Xét x=2 =>loại

Xét x=3 => T/m

Xét x>3 => x lẻ =>$2^{x}\equiv 2 (mod 3)$

$x^{2}\equiv 1 (mod3)$

=> $2^{x} +x^{2} \equiv 0 (mod 3)(Vô lý)$

Vậy x=3 

link bài 4 http://diendantoanho...1-sqrt1-sqrtx2/

Vì $VT\geq 0 => x\geq 0$

Đặt $\sqrt{4+x}=a(a\geq 0)$

$=>4=a^{2}-x =>Pt<=>\sqrt{a^2-x+a}=x

<=>$a^{2}-x+a=x^{2}$

<=>$a^{2}+a=x^{2}+x$

Xét $a>x\geq 0=>$a^{2}+a>x^{2}+x$(Mâu thuẫn)

Tương tự a<x (loại)

=>a=x hay $\sqrt{4+x}=x$

Tiếp theo bạn tự tìm x nhé.

Có ở đây nè bạn http://diendantoanho...endmatrixright/

có ở đây nha bạn http://k2pi.net.vn/s...frac-7-2x-2-6-x

$x^{2}y= (6-ý)^{2}ý= (ý^{3}-12y^{2}+36)<=32<=> (y-2)^{2}(y-8)<=0 (luôn đúng do y<8). Dấu"=" xảy ra.....$

Ta có : $\sqrt{x^{2}+1}=\sqrt{x^{2}+xy+yz+xz}=\sqrt{(x+y)(x+z)}$

=>$\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}=\sqrt{\frac{x^{2}}{(x+y)(x+z)}}$

$\sqrt{\frac{x^{2}}{(x+y)(y+z)}}=\sqrt{\frac{x}{x+y}}.\sqrt{\frac{x}{x+z}}$$\leq \frac{x}{2(x+y)}+ \frac{x}{2(x+z)}$

Tương tự : $\frac{y}{\sqrt{y^{2}+1}}\leq$$\frac{y}{2(y+x)}+\frac{y}{2(y+z)}$

$\sqrt{\frac{z}{z^{2}+1}}\leq \frac{z}{2(x+z)}+ \frac{z}{2(z+y)}$

Cộng lại ta được điều phải chứng minh

CM: $\vee$ a,b,c là các số thực ta có: 

a. $(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\geq 3(a+b+c)^{2}$

 

Ta có :$(b^{2}+2)(c^{2}+2)\geq (3+3/2(b+c)^2)(biến đổi tương đương)$

$(a^{2}+2)(b{2}+2)(c^{2}+2)\geq (a^{2}+2)(3+3(b+c)^2/2) \geq 3(a^2+2)(1+(b+c)^2/2)). Mà (a^2+2)(1+(b+c)^2/2)\geq (a+b+c)^{2}(BUNHIACOPXKI) Đpcm$

Đã giải ở đây http://diendantoanhoc.net/topic/66794-cmr-n%E1%BA%BFu-ab-th%E1%BB%8Fa-man-a2-3ab2b2a-ba2-2abb2-5a7b0-thi-ab-12a15b0/

Với các số dương $a,b,c$ thỏa $a+b+c= 1$

Liệu ta có thể có được $ab+bc+ca \geq \frac{1}{4}$

Thay a=5/6 ; b=1/12; c=1/12 vào là thấy không được liền 

Áp dụng định lý fermat nhỏ ta có:

$a^{6}\equiv 1 (mod 7) do (a,7)=1$

=>$(a^{6})^{10}\equiv 1 (mod 7)=>a^{60}-1\equiv 0(mod 7)$(1)

$a^{10}\equiv 1(mod 11)=>(a^{10})^{6}-1\equiv 0(mod 11)$(2)

$Từ (1)$ và $(2)$=>ĐPCM

BĐT<=>$(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}\geq a^{2}b^{2}c^{2}$

Mà $(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}\geq 3(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})$

Mà $3(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})\geq 3abc(a+b+c)\geq 3a^{2}b^{2}c^{2}$

$\geq a^{2}b^{2}c^{2}$

Dấu"=" xảy ra khi a=b=c=0

Bài này có rùi: http://diendantoanho...n-la-số-nguyen/

Cái này biến đổi tương đương thui

Pt<=>$\frac{(a-b)^{2}}{3}.\frac{a+b}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq 0 (luôn đúng do a,b \geq 0)$

Tiếc là bạn đã hiểu sai ý mình

Mình dùng bất đẳng thức $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\geq \frac{8}{(a+b)^2}$ chứ không phải $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}$

Cái bất đẳng thức của bạn sẽ đúng với $b^{2}+4ab+a^{2}\geq 0$ nhưng ở đây bạn chưa chỉ ra cái gì cả. 

Có 

$P=\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{4}{(b+2)^2}=\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{1}{(\frac{b}{2}+1)^2}\geq \frac{8}{(a+\frac{b}{2}+2)^2}$

 

Ngược dấu rồi bạn ơi .

Ta có :$(a-b+1)^{2}\geq 0=>a^{2}+b^{2}+1\geq 2ab+2b-2a=>3b\geq 2ab+2b-2a$

=>$2a+b\geq 2ab$(1)

Mà $2a+b\leq 4$(Chứng minh như bạn trên)

Ta có:A= $\frac{1}{(a+1)^{2}}+ \frac{4}{(b+2)^{2}}\geq \frac{4}{(a+1)(b+2)}$=$\frac{4}{ab+b+2a+2}$

Mà $2ab\leq 2a+b$=> $ab+b+2a+2\leq \frac{b+2a}{2}+b+2a+2\leq 8$

=>$A\geq \frac{1}{2}$

Dấu"="xảy ra khi a=1 ; b=2.

Bạn xem lại đi, chỗ đó đúng rồi

Với cả đề bài yêu cầu tìm Min sao bạn lại tìm Max?

Mình đánh nhầm đã chữa

Ở chỗ mình chỉ ra hình như bạn định dùng bđt : $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}$

Ở mẫu sẽ được là : $(a+1)^{2}+(\frac{b}{2}+1)^{2}$ $\geq (a+\frac{b}{2}+2)^{2}$/2 nhưng lại ngược dấu

$\begin{cases} (x+2)\sqrt{x^2+8}+(y-2)\sqrt{y^2-8}=10\\ (y-x-1)^2+(xy-2)^2=2 \end{cases}$

$pt (1)<=> 2(x+2)\sqrt{x^2+8} + 2(y-2)\sqrt{y^2-8}=20$

Áp dụng bđt 2ab$\leq a^{2}+b^{2}$ ta được :

$2(x+2)\sqrt{x^{2}+8}\leq (x+2)^{2}+(x^{2}+8)=2x^{2}+4x+12$

$2(y-2)\sqrt{y^{2}-8}\leq (y^{2}-4y+4+y^{2}-8)=2y^{2}-4y-4$

=>$20\leq (2x^{2}+4x+12+2y^{2}-4y-4)$

=>$10\leq (x^{2}+y^{2}+2x-2y+4)$

=>7-2xy$\leq (x^{2}+y^{2}+1+2x-2y-2xy)$

=>7-2xy$\leq (x-y+1)^2=(y-x-1)^2$

=>$2=(y-x-1)^{2}+(xy-2)^2\geq 7-2xy+x^{2}y^{2}-4xy+4$

=>(xy-3)$^{2}\leq 0$.

Dấu "=' xảy ra khi : $\left\{\begin{matrix} xy=3\\ (x+2)^{2}=x^2+8\\ (y-2)^{2}=y^2-8\end{matrix}\right.$

Cách khác: Điều kiện : $x\geq \frac{2}{\sqrt[3]{3}}$

Pt<=> $4x^{3}+4x-8=2(2x)\sqrt{3x^{3}-8}$

Mà 2(2x)($\sqrt{3x^{3}-8})\leq (4x^{2}+3x^{3}-8)$

=>$4x^{3}+4x-8\leq 4x^{2}+3x^{3}-8$

=>$x^{3}-4x^{2}+4x\leq 0$(1)

Mà $x^{3}+4x\geq 2\sqrt{x^{3}.4x}=4x^{2}$ =>$x^{3}-4x^{2}+4x\geq 0$(Mâu thuẫn với 1)

=> Dấu"="xảy ra khi x=2

Bạn xem đây nhé : http://diendan.hocma...ad.php?t=311385

Cách khác: Theo nguyên tắc Đi-rích-lê trong 3 số a-1;b-1;c-1 luôn tồn tại 2 số có tích không âm.

Giả sử (a-1)(b-1)$\geq 0$

=>(a-1)(b-1)c$\geq 0$

<=>$abc-bc-ac+c\geq 0$

<=>$abc\geq ac+bc-c$

=>A=$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ac+bc-c)+1$

Mà $a^{2}+b^{2}\geq 2ab;c^{2}-2c+1=(c-1)^{2}\geq 0$

=>$A\geq 2(ab+bc+ac)$

Đề thiếu a,b,c>0 nha.

Bạn ơi tại sao ở phương trình 1 bạn biết là đặt ẩn y+3 ?

 

Đặt$\sqrt{4x+7}=a+n=>4x+7 =a^{2}+2an+n^{2}$ =>

$a^{2}= 4x-2an-(n^{2}-7)$

Và $x^{2}+4x+8 =2(a+n) hay x^{2}= 2a-4x-(-2n+8)$

Ta đoán rằng để đưa về hệ pt đối xứng loại 2 thì 

$-2n+8= n^{2}-7$ hay $(n-3)(n+5)=0$

<=>$n=3 hoặc n=-5$. Cả hai n đều thoả mãn

Giải phương trình (bằng cách đặt ẩn phụ đưa về hệ đối xứng loại hai):

 

$1/ x^{2} + 4x + 8 = 2\sqrt{4x+7}$

 

Mấy bạn lưu ý đây là cách đặt ẩn phụ rồi đưa ra hệ phương trình đối xứng loại 2 nha .

Giải phương trình (bằng cách đặt ẩn phụ đưa về hệ đối xứng loại hai):

 

$3/ (x-1)^{2} = 3\sqrt{x-3}$

Đặt $\sqrt{x-3}=(a-1)(a\geq 1) => x-3=a^{2}-2a+1=> a^{2}=x+2a-4$

Và :$x^{2}-2x+1=3(a-1)hay x^{2}=3a+2x-4$

Ta có hệ phương trình :

$\left\{\begin{matrix} a^{2}=x+2a-4(1) & \\x^{2} =3a+2x-4(2) & \end{matrix}\right.$

Lấy (1)-(2) ta được : $(a-x)(a+x)=-(a+x) <=>(a+x)(a-x+1)=0$

=>......

$Ta có : (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2\geq 3(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac})$

=>$\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac} \leq \frac{1}{3}$ (1)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz ta có: 

$\frac{a^{2}}{a+bc}+ \frac{b^{2}}{b+ac}+ \frac{c^{2}}{c+ab}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{a+b+c+ab+bc+ac}$

Ta đưa về chứng minh: 

$\frac{(a+b+c)^{2}}{a+b+c+ab+bc+ac}\geq \frac{a+b+c}{4}$

hay chứng minh: $\frac{a+b+c}{a+b+c+ab+bc+ac}\geq \frac{1}{4}$

<=>$3(a+b+c)\geq ab+bc+ac$

Mà $\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}=1$=> ab+bc+ac=abc

=>C/m: $\frac{a+b+c}{abc}\geq \frac{1}{3}$

hay $\frac{1}{bc}+ \frac{1}{ab}+ \frac{1}{ac}$ $\geq \frac{1}{3}$( C/m ở 1 )

=> ĐPCM