Cho tam giác ABC có AB = a, AC = 3, BC = 4, G là trọng tâm. Tích vô hướng $\overrightarrow{AG}.\overrightarrow{BC}$

 Gọi M là trung điểm BC$\Rightarrow AG=\frac{2}{3}AM$

Ta có: $\overrightarrow{AG}\cdot \overrightarrow{BC}= \frac{2}{3}\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BC}= \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})= \frac{1}{3}(AC^{2}-AB^{2})= \frac{9-a^{2}}{3}$

Giải Phương Trình Và Hệ Phương Trình Sau

Câu 15,16 nhé các bạn.

toan1a.jpg

Câu 16:     ĐK: x$\geq -2$

 Ta có: Pt$\Leftrightarrow (x^{2}-2x+4)-\sqrt{x^{3}+8}+(x-10)+\frac{72}{x+7}= 0\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}-2x+4}\frac{x^{2}-3x+2}{\sqrt{x^{2}-2x+4}+\sqrt{x+2}}+\frac{x^{2}-3x+2}{x+7}= 0\Leftrightarrow x^{2}-3x+2=0\Leftrightarrow x=1or2$ (thỏa)

  Vậy pt có 2 nghiệm x=1 hoặc 2

Giải phương trình nghiệm nguyên $x^{2}+2y^{2}+2xy+3x-4=0$

Pt$\Leftrightarrow x^{2}+(2y+3)x+2y^{2}-4=0$ (*)
Pt đã cho có nghiệm $\Leftrightarrow$ Pt (*) có nghiệm$\Leftrightarrow \Delta \geq 0\Leftrightarrow (2y+3)^{2}-4(2y^{2}-4)\geq 0\Leftrightarrow -4y^{2}+12y+25\geq 0\Leftrightarrow -1,4\leq y\leq 4,4$
Mà y nguyên suy ra y=-1; 0; 1; 2; 3; 4
+Nếu y=-1 thì x²+x-2=0$\Leftrightarrow$x=1 hoặc -2
+Nếu y=0 thì x²+3x-4=0$\Leftrightarrow$x=1 hoặc -4
+Nếu y=1 thì x²+5x-2=0 (vô lí)
+Nếu y=2 thì x²+7x+4=0 (vô lí)
+Nếu y=3 thì x²+9x+14=0 »x=-2 hoặc -7
+Nếu y=4 thì x²+11x+28=0 (vô lí)
Vậy (x;y)$\in${(1;-1);(-2;-1);(1;0);(-4;0);(-2;3);(-7;3)}

$2(x+3)\sqrt{3x+1}-(3x+1)\sqrt{6x+1}=12x+9$

Đặt $a=\sqrt{3x+1}$ và $b=\sqrt{6x+1}$

 Lúc này $2a^2-b^2=1$

PT trở thành:$10a^2+ab-1=0$

Hay $7a^2+(a^2+ab+b^2)=0$

Phương trình có nghiệm khi $a=b=0$ nhưng dấu = không xảy ra đồng thời lên pt vô nghiệm 

  Sr mk chép nhầm đề, mk sửa lại rồi đấy@@

  $2(3x+5)\sqrt{3x+1}-(3x+1)\sqrt{6x+1}=12x+9$

Cho $x,y,z$ thuộc $R/ xy+ 2yz+ 3zx=11$
Chứng minh $14x^2 + 10y^2 + 5z^2 \geq 44$

   Nhận thấy dấu đẳng thức xảy ra tại x=y=+-1 ; z=+-2

 Thiết lập các bđt :  $2x^{2}+2y^{2}\geq 4xy;12x^{2}+3z^{2}\geq 12zx;8y^{2}+2z^{2}\geq 8yz$  (chú ý đây không phải là bđt Cauchy vì x,y,z thuộc R)

 Cộng các bất lại ta có: 14x²+10y²+5z²$\geq 4(xy+2yz+3zx)= 44$

 Dấu = xảy ra khi 2x=2y=z$\Leftrightarrow x=y=1;z=2hoacx=y=-1;z=-2$

P/S: Mong các bác chỉ giúp cách làm tổng quát những bài dạng này chứ ngồi mò ra dấu bằng thì lâu lắm!

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^{3}+y^{3}=x^{2}+y^{2}+(x-y)^{2} & & \\ \frac{x^{2}-3y+10}{x+1}=2\sqrt{5-y} & & \end{matrix}\right.$

      ĐKXĐ: $x\neq -1;y\leq 5$

PT1 khá đẹp:   

           $x^{3}+y^{3}=x^{2}+y^{2}+(x-y)^{2}\Leftrightarrow (x+y-2)(x^{2}-xy+y^{2})=0\Leftrightarrow (x+y-2)[(x-\frac{y}{2})^{2}+\frac{3y^{2}}{4}]=0\Leftrightarrow x+y=2hoacx=y=0$

•   Nếu x=y=0 thay vào pt2 thấy vô lí        
•   Nếu x+y=2$\Leftrightarrow y=2-x$ thay vào pt2 có:

                   $\frac{x^{2}+3x+4}{x+1}=2\sqrt{x+3}\Leftrightarrow (x+1-\sqrt{x+3})^{2}=0\Leftrightarrow x=1hoacx=-2$

          Với x=1 thì y=1  (thỏa)

          Với x=-2 thì y=4 (thỏa)

Giải phương trình $\sqrt{x-\frac{1}{2}}+\frac{x+1}{4}=\sqrt{2x-1+\frac{(x+1)^{2}}{8}}.$

     ĐKXĐ: $x\geq \frac{1}{2}$

 Đặt $\sqrt{x-\frac{1}{2}}=a;\frac{x+1}{4}=b\Rightarrow 2(a^{2}+b^{2})=2x-1+\frac{(x+1)^{2}}{8}$

   Khi đó pt trở thành:

            $a+b=\sqrt{2(a^{2}+b^{2})}$

   Với $x\geq \frac{1}{2}$ thì a, b$\geq 0$ nên dễ có $a+b\leq \sqrt{2(a^{2}+b^{2})}$

 Dấu = xảy ra khi:    a=b$\Leftrightarrow \sqrt{x-\frac{1}{2}}=\frac{x+1}{4}$$\Leftrightarrow x=7+2\sqrt{10}$ hoặc x=$7-2\sqrt{10}$ (thỏa)

2, $ x-\sqrt{y+1}=\frac{5}{2} $

    $ y+2(x-3)\sqrt{x+1}=-\frac{3}{4} $

4, $ x+3=2\sqrt{(3y-x)(y+1)} $

    $ \sqrt{3y-2} -\sqrt{\frac{x+5}{2}}=xy-2y-2 $

    Làm trước 2 bài đã

 2. Nhận thấy phương trình 2 không làm được gì nên ta đi xử lí phương trình 1

 PT1$\Leftrightarrow 2x-5= 2\sqrt{y+1}\Rightarrow (2x-5)^{2}=4(y+1)\Leftrightarrow y=\frac{4x^{2}-20x+21}{4}$

     Thay vào pt2 ta có: 

               $\frac{4x^{2}-20x+21}{4}+2(x-3)\sqrt{x+1}=\frac{-3}{4}\Leftrightarrow 4x^{2}-20x+24+8(x-3)\sqrt{x+1}=0\Leftrightarrow 4(x-3)(x-2+2\sqrt{x+1})=0$

      Phần còn lại thì dễ rồi...

 4. Bài này hướng cũng giống bài 2, ta xử lí pt1

     Từ ĐKXĐ dễ thấy y+1>0, từ đó 3y-x$\geq$

   Đặt $\sqrt{3y-x}=a; \sqrt{y+1}=b\Rightarrow 3b^{2}-a^{2}=x+3$

 Khi đó pt2 trở thành:

          $3b^{2}-a^{2}=2ab\Leftrightarrow (b-a)(3b+a)= 0\Leftrightarrow (\sqrt{y+1}-\sqrt{3y-x})(3\sqrt{y+1}+\sqrt{3y-x})=0\Leftrightarrow \sqrt{y+1}=\sqrt{3y-x}\Leftrightarrow x=2y-1$ 

      Thế vào pt2, giải pt 1 ẩn là được

Cho $x=\frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{2}+\frac{1}{8}}-\frac{1}{8}\sqrt{2}$

Tính giá trị biểu thức: $A=x^2+\sqrt{x^4+x+1}$

 Ta có: $x=\frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{2}+\frac{1}{8}}-\frac{1}{8}\sqrt{2}\Rightarrow (x+\frac{1}{8}\sqrt{2})^{2}=\frac{1}{4}(\sqrt{2}+\frac{1}{8})\Rightarrow x^{2}+\frac{\sqrt{2}}{4}x=\frac{\sqrt{2}}{4}\Rightarrow\left\{\begin{matrix} x^{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}(1-x) & \\ x^{4}=\frac{1}{8}(1-x)^{2} & \end{matrix}\right.$

 Thay vào A có: A=$\frac{\sqrt{2}}{4}(1-x)+\sqrt{\frac{1}{8}(1-x)^{2}+x+1}= \frac{\sqrt{2}}{4}(1-x)+\sqrt{\frac{1}{2}(\frac{x+3}{2})^{2}}= \frac{\sqrt{2}}{4}(1-x)+\frac{x+3}{2\sqrt{2}}= \sqrt{2}$

Giải pt:  $6(x+2)^{3}=\sqrt{2x^{2}-3x}(x^{2}-7x-4)$

 Pt$\Leftrightarrow 6(x+2)^{3}=\sqrt{2x^{2}-3x}\cdot [(2x^{2}-3x)-(x+2)^{2}]$

Đặt x+2=a; $\sqrt{2x^{2}-3x}=b$ thì pt trở thành:

       6a³=b(b²-a²)$\Leftrightarrow (2a-b)(3a^{2}+2ab+b^{2})=0\Leftrightarrow 2a=b$

 Khi đó:2(x+2)=$\sqrt{2x^{2}-3x}\Leftrightarrow 4(x+2)^{2}=2x^{2}-3x\Leftrightarrow 2x^{2}+19x+16=0$

Giải HPT:$\left\{\begin{matrix} x^2+y+x+\sqrt{y+1}-1=2(x\sqrt{y+1}+\sqrt{x-1}.\sqrt{\sqrt{y+1}-1}) & \\ (\sqrt{x^2+5}+\sqrt{y+2})(\sqrt{2x^2-3}-3)=4 & \end{matrix}\right.$

    Bài làm

        ĐKXĐ:$y\geq 0$; $x\geq \sqrt{\frac{3}{2}}$

Pt1$\Leftrightarrow (x-\sqrt{y+1})^{2}+(\sqrt{x-1}-\sqrt{\sqrt{y+1}-1})^{2}=0$

Xét thấy VT$\geq 0$.Dấu = xảy ra khi và chỉ khi:

                    $\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{y+1} & \\ \sqrt{x-1}=\sqrt{\sqrt{y+1}-1} & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x^{2}=y+1$

  Thay x²=y+1 vào pt2 ta có:

             $(\sqrt{y+6}+\sqrt{y+2})(\sqrt{2y-1}-3)=4\Leftrightarrow \frac{4}{\sqrt{y+6}-\sqrt{y+2}}\cdot (\sqrt{2y-1}-3)=4\Leftrightarrow \sqrt{2y-1}-3=\sqrt{y+6}-\sqrt{y+2}\Rightarrow 2y+8-6\sqrt{2y-1}=2y+8-2\sqrt{(y+6)(y+2)}\Rightarrow 3\sqrt{2y-1}=\sqrt{y^{2}+8y+12}\Rightarrow 18y-9=y^{2}+8y+12\Rightarrow y=3hoacy=7$

 Nếu y=3 thì x=2 (thỏa) hoặc x=-2 (loại)

 Nếu y=7 thì x=$2\sqrt{2}$ (thỏa) hoặc x=-$2\sqrt{2}$ (loại)

Vậy hpt có nghiệm (x;y)$\in \begin{Bmatrix} (2;3);(2\sqrt{2};7) & \end{Bmatrix}$

Cho x, y, z>0 và x+y+z=3:

CMR: $\frac{1}{x+3y}+\frac{1}{y+3z}+\frac{1}{z+3x}\geq \frac{1}{x+3}+\frac{1}{y+3}+\frac{1}{z+3}$

  Áp dụng C-S ta có: $\frac{1}{x+3y}+\frac{1}{z+3}\geq \frac{4}{x+3y+z+3}= \frac{2}{y+3}$  (vì a+b+c=3)

 Tương tự:$\frac{1}{y+3z}+\frac{1}{x+3}\geq \frac{2}{z+3}$

                 $\frac{1}{z+3x}+\frac{1}{y+3}\geq \frac{2}{x+3}$

Cộng 3 bđt theo vế ta có đpcm

Giải phương trình:

$\sqrt{x} + \sqrt{x-5} + x + \sqrt{x^2-5x} = 20$

  ĐKXĐ: x$\geq 5$

Đặt $\sqrt{x}+\sqrt{x-5}=a\Rightarrow 2x-5+2\sqrt{x^{2}-5x}=a^{2}\Rightarrow x+\sqrt{x^{2}-5x}=\frac{a^{2}+5}{2}$

 Pt trở thành: $a+\frac{a^{2}+5}{2}=20\Leftrightarrow (a+7)(a-5)=0\Leftrightarrow a=5$ (vì a>0 nên a+7>0)

Khi đó: $\sqrt{x}+\sqrt{x-5}=5\Leftrightarrow (\sqrt{x}-3)+(\sqrt{x-5}-2)=0\Leftrightarrow (x-9)(\frac{1}{\sqrt{x}+3}+\frac{1}{\sqrt{x-5}+2})=0\Leftrightarrow x=9$ (thỏa)

       Bài làm

 Ta có: S=$\sum \frac{a^{4}}{ab+2ac}\geq \frac{(\sum a^{2})^{2}}{3(\sum ab)}\geq \frac{(\sum a^{2})^{2}}{3(\sum a^{2})}= \frac{1}{3}$

 Dấu = xảy ra khi a=b=c=$\frac{\sqrt{3}}{3}$

giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x(2\sqrt{y-1}-x)+y(2\sqrt{x-1}-y)=0\\ x^{3}+y^{3}=16 \end{matrix}\right.$

    ĐKXĐ:$x,y\geq 1$

Xét pt1$\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}-2x\sqrt{y-1}-2y\sqrt{x-1}=0\Leftrightarrow \frac{1}{2}\cdot [(x-2\sqrt{y-1})^{2}+(y-2\sqrt{x-1})^{2}+(x-2)^{2}+(y-2)^{2}]=0$

 Dễ dàng nhận thấy VT$\geq 0$

 Dấu = xảy ra khi:$\left\{\begin{matrix} (x-2\sqrt{y-1})^{2} =0& \\ (y-2\sqrt{x-1})^{2}=0& \\ (x-2)^{2}=0& \\ (y-2)^{2}=0& \\ x^{3}+y^{3}=16& \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=2$ (thỏa)

 Vậy hpt có nghiệm (x;y)=(2;2)

Cho $P=1^{2017}+2^{2017}+3^{2017}+...+2016^{2017}$ ,$Q=1+2+3+...+2016$. Chứng minh $P$ chia hết cho $Q$

  Dễ có: Q=1008.2017

Vì (1008;2017)=1 nên ta sẽ đi chứng minh P chia hết cho 1008 và 2017

 Áp dụng:Với mọi a,b,n nguyên dương và n lẻ ta luôn có: aⁿ+bⁿ$\vdots a+b$

 P=$(1^{2017}+2016^{2017})+(2^{2017}+2015^{2017})+...+(1008^{2017}+1009^{2017})\vdots 2017$ (vì mỗi ngoặc đều chia hết cho 2017)  (1)

 P=$(1^{2017}+2015^{2017})+(2^{2017}+2014^{2017})+...+(1007^{2017}+1009^{2017})+1008^{2017}+2016^{2017}\vdots 1008$  (2)

  Từ (1) và (2) suy ra $P\vdots Q$

giai pt 

 $\sqrt{x+1}+\sqrt{x^2+4x+3}=\sqrt{(x+2)^3}$

  ĐKXĐ:x$x\geq -1$

 Pt$\Leftrightarrow \sqrt{x+1}(\sqrt{x+3}+1)=(x+2)\sqrt{x+2}\Leftrightarrow \sqrt{x+1}\cdot \frac{x+2}{\sqrt{x+3}-1}= (x+2)\sqrt{x+2}$  (*) (vì với x$x\geq -1$ thì $\sqrt{x+3}-1> 0$)

 Khi đó (*)$\Leftrightarrow (x+2)(\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+3}-1}-\sqrt{x+2})=0\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+3}-1}-\sqrt{x+2}=0\Leftrightarrow \sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}=\sqrt{(x+2)(x+3)}\Leftrightarrow 2\sqrt{(x+1)(x+2)}=x^{2}+3x+3\Leftrightarrow [\sqrt{(x+1)(x+2)}-1]^{2}=0$

  Đến đây thì dễ rồi...

Giải hệ phương trình sau:

$\left\{\begin{matrix} x^3=2y^3+6 & \\ x^2-2xy=3-3y & \end{matrix}\right.$

  Hệ$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{3}=2y^{3}+6 & \\ x^{2}-2xy=3-3y & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x-2y)(x^{2}+2xy+4y^{2})=6(1-y)(1+y+y^{2}) & \\ x(x-2y)=3(1-y) & \end{matrix}\right.$

• Nếu x-2y=0 thì thế vào hệ$\rightarrow (x;y)$
• Nếu 1-y=0$\Leftrightarrow y=1$. Thay vào hệ ta được x=2
• Nếu x=0$\rightarrow$thế vào hệ$\rightarrow$vô nghiệm
• Nếu $x-2y\neq 0;1-y\neq 0;x\neq 0$:chia 2 pt của hệ theo vế ta có:

                     $\frac{x^{2}+2xy+4y^{2}}{x}=2(1+y+y^{2})\Leftrightarrow x^{2}+4y^{2}=2x+2xy^{2}\Leftrightarrow (x-2)(x-2y^{2})=0$

    Tới đây thì dễ rồi...

cho x la nghiệm dương của phương trình: 4x²+$\sqrt{2}x-\sqrt{2}$=0

tính A=$\frac{x+1}{\sqrt{x^{4}+x+1}-x^{2}}$

  Ta có: A=$\frac{4(x+1)}{\sqrt{16(x^{4}+x+1)}-4x^{2}}$

 Từ gt $4x^{2}+\sqrt{2}x-\sqrt{2}=0\Rightarrow 16(x^{4}+x+1)=2(x+3)^{2}\Rightarrow \sqrt{16(x^{4}+x+1)}=\sqrt{2}(x+3)$ (vì x dương)

 Cũng từ gt$\Rightarrow 4x^{2}=\sqrt{2}(1-x)$

 Từ đó: A=$\frac{4(x+1)}{\sqrt{2}(x+3)-\sqrt{2}(1-x)}= \frac{4(x+1)}{2\sqrt{2}(x+1)}= \sqrt{2}$

4. x⁴+2x³+2x²-2x+1=(x³+x)$\sqrt{\frac{1-x^{2}}{x}}$

 Pt$\Leftrightarrow [x(x+1)]^{2}+(1-x)^{2}=x(x^{2}+1)\sqrt{\frac{1-x^{2}}{x}}$  (*)

  Từ (*) suy ra ĐKXĐ:0<x$\leq 1$

 Ta có(*)$\Leftrightarrow [x(x+1)]^{2}+(1-x)^{2}=(x^{2}+1)\cdot \sqrt{x(x+1)}\cdot \sqrt{1-x}$

Đặt $\sqrt{x(x+1)}=a;\sqrt{1-x}=b\Rightarrow x^{2}+1=a^{2}+b^{2}$ (a>0;b$\geq 0$)

 Pt trở thành: (a²+b²)ab=a⁴+b⁴$\Leftrightarrow (a-b)^{2}\cdot (a^{2}+ab+b^{2})=0\Leftrightarrow a=b$

  Khi đó: $\sqrt{x(x+1)}=\sqrt{1-x}$

 Tới đây dễ rồi...

 

Giải hệ pt: 

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{a+b}+\sqrt{a+2}=\frac{b-2}{a}\\ \sqrt{a+b}+\sqrt{a}=a+2 \end{matrix}\right.$

 

  ĐKXĐ:a>0;$a+b\geq 0$

•  Nếu $\sqrt{a+b}-\sqrt{a+2}=0$\sqrt{a+b}- \sqrt{a+2}\neq 0\Leftrightarrow b\neq 2$\Leftrightarrow b=2$.Thay vào hpt ta thấy vô lí
•  Nếu$\sqrt{a+b}-\sqrt{a+2}\neq 0\Leftrightarrow b\neq 2$

             Pt1$\Leftrightarrow \frac{b-2}{\sqrt{a+b}-\sqrt{a+2}}=\frac{b-2}{a}\Leftrightarrow (b-2)(\frac{1}{\sqrt{a+b}-\sqrt{a+2}}-\frac{1}{a})=0\Leftrightarrow a-\sqrt{a+b}+\sqrt{a+2}=0$ (*)

             Lấy pt2+(*) có:  $\sqrt{a}+\sqrt{a+2}=2$

           Tới đây thì dễ rồi.

Cho a= $1+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}$

Tính A= $\frac{\sqrt{a^{3}+a^{2}+13a+15}-8}{\sqrt{a^{3}-2a^{2}-7a+3}}$

  Cách nhanh hơn

 Có:$a(\sqrt[3]{2}-1)=1\Leftrightarrow a\sqrt[3]{2}=a+1\Leftrightarrow 2a^{3}=(a+1)^{3}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^{3}+a^{2}+13a+15=(2a+4)^{2} & \\ a^{3}-2a^{2}-7a+3=(a-2)^{2} & \end{matrix}\right.$

 Thay vào A=$\frac{\sqrt{(2a+4)^{2}}-8}{\sqrt{(a-2)^{2}}}= \frac{2a-4}{a-2}= 2$  (vì a>2)

Tính tổng 

 

$T=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)(k+2)}$   và chỉ ra T < 1/4

Áp dụng:$\frac{1}{a(a+1)(a+2)}=\frac{1}{2}[\frac{1}{a(a+1)}-\frac{1}{(a+1)(a+2)}]$ vào ta có:

 T=$\frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{2}-\frac{1}{(n+1)(n+2)})= \frac{1}{4}-\frac{1}{2(n+1)(n+2)}< \frac{1}{4}$

 

tìm giá trị nhỏ nhất của $A_{x}=(x-1)(x-3)(x-4)(x-6)+10$

 

 $A_{x}=(x-1)(x-3)(x-4)(x-6)+10=(x^{2}-7x+6)(x^{2}-7x+12)+10=(x^{2}-7x+9)^{2}-3^{2}+10=(x^{2}-7x+9)^{2}+1\geq 1$

  Dấu = xảy ra khi: x²-7x+9=0$\Leftrightarrow x\in\begin{Bmatrix} \frac{7+\sqrt{13}}{2};\frac{7-\sqrt{13}}{2} & \end{Bmatrix}$