Vì vai trò của $\alpha$ và $\beta$ là như nhau nên giả sử:

$\left\{\begin{matrix} \alpha =1/2+\sqrt{-3}/2 \\ \beta =1/2-\sqrt{-3}/2 \end{matrix}\right.$

Ta có: $S=\alpha ^{2012}+\beta ^{2012}=\frac{\alpha ^{2048}}{\alpha ^{36}}+\frac{\beta ^{2048}}{\beta ^{36}}=\frac{(1/2+\sqrt{-3}/2)^{2048}}{(1/2+\sqrt{-3}/2)^{36}}+\frac{(1/2-\sqrt{-3}/2)^{2048}}{(1/2-\sqrt{-3}/2)^{36}}$

Nhận thấy: $\alpha^3=\beta ^3=-1$ nên:

$S=(1/2+\sqrt{-3}/2)^{2048}+(1/2-\sqrt{-3}/2)^{2048}=(1/2+\sqrt{-3}/2)^{1024}+(1/2-\sqrt{-3}/2)^{1024}=...=(1/2+\sqrt{-3}/2)^2+(1/2-\sqrt{-3}/2)^2=-1$

tìm n $\in N$ biết  $1+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}=1136275$

n=150

1) Cho $a,b>0$ và $a+b=6$. Tìm Min $3a+2b+\frac{6}{a}+\frac{8}{b}$

2) Cho $a,b,c>0$ và $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 27$. Tìm Min $a^{3}+b^{3}+c^{3}$

1)Ta có: $3a+2b+6/a+8/b=2(a+b)+a+6/a+8/b=a+12+6/a+\frac{8}{6-a}=\frac{3}{2}a+6/a+\frac{1}{2}(6-a)+\frac{8}{6-a}+9\geq 19$

Đẳng thức xảy ra khi $a=2$ và $b=4$

2) Theo BDT Holder:

$(\sum (a^2)^{3/2})^{2/3}(3)^{1/3}\geq \sum a^2\Leftrightarrow (\sum (a^2)^{3/2})^2\geq \frac{(\sum a^2)^3}{3}\geq 6561\Leftrightarrow \sum a^3=\sum (a^2)^{3/2}\geq 81$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=3$

sai rồi đáp án là -0,8

Ta có:$\sum |ab|\leq \frac{3(a+b+c+d)^2}{8}$ (dễ dàng CM bằng biến đổi tương đương)

Vậy: $F=(\sum a)^2-\sum ab+\sum a\geq (\sum a)^2-\sum |ab|+\sum a\geq \frac{5(\sum a)^2}{8}+\sum a\geq -0,4$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=d=-0,2$

(Vậy đáp án là -0,4 nhé)

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 

y =$\frac{\sqrt{x-2016}}{x+2}+\frac{\sqrt{x-2017}}{x}$

Đặt $y=f(x)$

$f'(x)=0\Leftrightarrow x=4034$

Ta có: $f''(4034)<0$$\Rightarrow f(x)\leq f(4034)=\frac{\sqrt{2018}}{4036}+\frac{\sqrt{2017}}{4034}$

đoạn màu đỏ là sao bạn . mình không hiểu ? bạn có thể làm cách khác không ?

Đầu tiên, ta chứng minh được:$\sum_{x=1}^{n}a_{x}^2\geq \frac{(\sum_{x=1}^{n}a_{x})^2}{n} (\forall n\in\mathbb{N}^*)$ bằng quy nạp.

Áp dụng vào bài toán với n=2014, ta có:

$2014^3+1\geq \sum_{x=1}^{2014}a_{x}^2\geq \frac{(\sum_{x=1}^{2014}a_{x})^2}{2014}\geq 2014^3$

Vậy ta có 3 TH:

TH1:$\sum_{x=1}^{2014}a_{x}^2=\frac{(\sum_{x=1}^{2014}a_{x})^2}{2014}=2014^3\Leftrightarrow a_{1}=a_{2}=...=a_{2014}=2014$

TH2:$\sum_{x=1}^{2014}a_{x}^2=\frac{(\sum_{x=1}^{2014}a_{x})^2}{2014}=2014^3+1\Leftrightarrow a_{1}=a_{2}=...=a_{2014}=\sqrt{2014^2+1/2014}$(loại)

TH3:$\left\{\begin{matrix} \sum_{x=1}^{2014}a_{x}^2=2014^3+1\\ \frac{(\sum_{x=1}^{2014}a_{x})^2}{2014}=2014^3 \end{matrix}\right.$

Ta thấy hệ này không có nghiệm nguyên dương.

Vậy ta có được bộ số tư nhiên duy nhất thỏa mãn đề bài là $a_{1}=a_{2}=...=a_{2014}=2014$

tìm $lim\sqrt[n]{2}$

$lim\sqrt[n]{2}=lim2^{1/n}=lime^{\frac{1}{n}ln2}=1$

Cho dãy số {$a_{n}$}: $a_{1}$ =3; $a_{n}$ = $a_{n-1}$  +3$n^{2}$ +5. Tính $a_{2012}$, $a_{2013}$. Nêu rõ quy trình ấn phím    

Ta có:

$a_{2012}=a_{2011}+3.2012^2+5=a_{2010}+3(2012^2+2011^2)+2.5=...=a_{1}+3(\sum_{x=1}^{2012}(x^2)-1^2)+2011.5=3+3(\frac{2012(2012+1)(2.2012+1)}{6}-1)+2011.5=1006.2013.4025+2011.5$

Tương tự:$a_{2013}=3\sum_{x=1}^{2013}(x^2)+2012.5=2013.1007.4027+2012.5$

(Ủa có cần dùng máy tính đâu nhỉ?)

An bỏ một lượng bi vào hộp theo nguyên tắc: ngày thứ nhất bỏ vào 1 viên bi, ngày thứ 2 bỏ vào 2 viên bi, từ ngày thứ 3 trở đi mỗi ngày bỏ vào số bi bằng tổng số bi đã bỏ vào 2 ngày trước đó. Hỏi sau 2 tháng (60 ngày) trong hộp của An có bao nhiêu viên bi?   Trình bày cụ thể

Theo đề bài, số viên bi bỏ vào hộp trong ngày thứ n là số hạng thứ n+1 trong dãy Fibonacci vì vậy số bi có trong hộp sau n ngày là:

$S_{n}=\sum_{x=1}^{n}\frac{\varphi^{x+1}-(1-\varphi)^{x+1}}{\sqrt{5}}$

Số viên bi có trong hộp sau 60 ngày: $S_{60}=\sum_{x=1}^{60}\frac{\varphi^{x+1}-(1-\varphi)^{x+1}}{\sqrt{5}}=\frac{\varphi^2(1-\varphi^{60})}{(1-\varphi)\sqrt{5}}-\frac{(1-\varphi)^2(1-(1-\varphi)^{60})}{\sqrt{5}\varphi}=6557470319840$

Câu hỏi phụ: $S_{n}\geq 10^9\Leftrightarrow \frac{\varphi^2(1-\varphi^{n})}{(1-\varphi)\sqrt{5}}-\frac{(1-\varphi)^2(1-(1-\varphi)^{n})}{\sqrt{5}\varphi}\geq 10^9\Leftrightarrow \varphi^{n+3}\geq 2236067982$$\Leftrightarrow n\geq log_{\varphi}(2236067982)-3\simeq 42$

Vậy An có hơn 1 tỷ viên bi sau 42 ngày.

Nhập biểu thức vào máy tính : 

$X=X+1:A=\frac{1}{\sqrt{5}}\left ( \left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )^{X+1}-\left ( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right )^{X+1} \right )$

Ấn CALC : X?0 . Ấn bằng liên tiếp cho đến X=60 thì giá trị của A là KQ cần tìm.

 

#Câu hỏi phụ : Nhập biểu thức như trên. ấn bằng liên tiếp bao giờ A lớn hơn hoặc bằng 1 tỉ thì X chính là số ngày cần tìm

Cách này sai nhé bởi vì nó chỉ tìm được số viên bi bỏ vào hộp trong ngày thứ x chứ không phải số viên bi có trong hộp.

Nếu không được dùng log thì làm thế nào vậy

được dùng máy tính cầm tay không bạn

Được dùng máy tính cầm tay chứ. không dùng sao tính ra nổi 

Nếu được thì bạn lập bảng cho n chạy từ 1 đến ... khi nào thấy hơn 1 tỷ viên là xong.

Vậy sau 50 ngày An có bao nhiêu viên bi?

có $\frac{\varphi^2(1-\varphi^{50})}{(1-\varphi)\sqrt{5}}-\frac{(1-\varphi)^2(1-(1-\varphi)^{50})}{\sqrt{5}\varphi}=53316291171$ bạn nhé.

Tìm GTNN của:

$f(x)=\frac{\sqrt{a^2+x^2}}{d}+\frac{\sqrt{(c-x)^2+b^2}}{f}(x\in \mathbb{R}^+)$

Trong đó a,b,c,d,f là các tham số thực dương và $d\neq f$

(*Không sử dụng đạo hàm)

Giải pt: $\frac{1}{x^{2}-x+1}+\frac{1}{x^{2}-x+2}+\frac{1}{x^{2}-x+3}+...+\frac{1}{x^{2}-x+2017}=2017$

 

$x^2-x\geq -1/4\Rightarrow \sum_{i=1}^{2017}\frac{1}{x^2-x+i}\leq \sum_{i=1}^{2017}\frac{1}{i-1/4}= \sum_{i=1}^{2017}\frac{4}{4i-1}< 4H_{8067}< 4ln(8067)+4< 2017\Rightarrow$ PT vô nghiệm

1, $x^{2}+\sqrt{(1-x^{2})^{3}} =2x\sqrt{1-x^{2}}$

2, $\sqrt{1+\sqrt{1-x^{2}}}.\left ( \sqrt{(1-x)^{3}}- \right\sqrt{(1+x)^{3}} ) =2+\sqrt{1-x^{2}}$

3, $\sqrt{1-x}-2x\sqrt{1-x^{2}}-2x^{2}+1=0$

4, $64x^{6}-112x^{4}+56x^{2}-7=2\sqrt{1-x^{2}}$

5, $x+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}=\frac{35}{12}$

6, $(x-3)(x+1)+4(x-3)\sqrt{\frac{x+1}{x-3}}=-3$

Câu 4:Do ĐK: $-1\leq x\leq 1$ nên ta có thể đặt: $x=\cos a$ với $a \in [0;\pi]$

PT $\Leftrightarrow 2(32\cos ^6a-48\cos^4a+18\cos^2a-1)-2(8\cos^4a-8\cos^2a+1)+2(2\cos^2a-1)-1=2\sin a$

$\Leftrightarrow 2\cos 6a-2\cos 4a+2\cos 2a-1=2\sin a$

$\Leftrightarrow \cos 6a -1/2=\cos 4a -\cos 2a + \sin a$

$\Leftrightarrow 2(1/4-\sin^2 3a)=\sin a(1-2\sin 3a)$

$\Leftrightarrow (1-2\sin 3a)(1/2+\sin 3a)=\sin a(1-2\sin 3a)$

hoặc $\sin 3a =1/2\Leftrightarrow a \in {\pi/18;5\pi/18;13\pi/18;17\pi/18}$

hoặc $4\sin^3 a -2\sin a-1=0\Rightarrow a \in {3\pi/10;7\pi/10}$

Vậy  phương trình đầu có 6 nghiệm:

$x=\pm \cos(3\pi/10)=\pm \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$

$x=\pm \cos (\pi/18)$

$x=\pm \cos(5\pi/18)$

mk học lớp 8

Ta có:$S=\sum_{n=2017+1}^{2.2017}1/n+\sum_{x=2.2017+1}^{3.2017+1}1/x> \frac{2017^2}{\sum_{n=2017+1}^{2.2017}n}+\frac{2018^2}{\sum_{x=2.2017+1}^{3.2017+1}x}$(BDT Cauchy-Schwarz)

$=\frac{2.2017^2}{(3.2017+1).2017}+\frac{2.2018^2}{(5.2017+2).2018}=\frac{2.2017}{3.2017+1}+\frac{2.2018}{5.2017+2}$

$=4036/10087+2017/3026>1$

CMR: S=1/(2017+1)+1/(2017+2)+...+1/(3.2017+1)>1

 

Giúp e vs mn ơi   

Ta có: $S=\sum_{n=2017+1}^{3.2017+1}1/n> \int_{2017+1}^{3.2017+1}dx/x=ln(\frac{3.2017+1}{2017+1})> ln(e)=1$

CMR: $\frac{3}{5}<\frac{1}{2004}+\frac{1}{2005}+\frac{1}{2006}+..+\frac{1}{4006}<\frac{3}{4}$

Ta có: $\sum_{x=2004}^{4006}1/x> \frac{2003^2}{\sum_{x=2004}^{4006}x}=\frac{2003^2}{\sum_{x=1}^{4006}x-\sum_{x=1}^{2003}x}=\frac{2003^2}{\frac{4006.4007}{2}-\frac{2003.2004}{2}}=\frac{2003^2}{2003.4007-2003.1002}=\frac{2003}{3005}> 3/5$

Ta lại có: $\sum_{x=2004}^{4006}1/x=H_{4006}-H_{2003}< ln(4006)-ln(2003)+\frac{1}{2.4006}=ln(2)+\frac{1}{2.4006}<3/4$

Đặt $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d(a \in \mathbb{N}^*)$

Ta có: $f(5)-f(3)=98a+16b+2c=2015$

$\Rightarrow f(7)-f(1)=342a+48b+6c=3(f(5)-f(3))+48a=3.2015+48a=3.(2015+16a)$

Vì a là số nguyên dương nên $2015+16a$ cũng là số nguyên dương.

$\Rightarrow$ Điều phải chứng minh.

 

Cho góc xOy có số đo góc là 30^o, người ta sắp xếp các hình vuông vào góc xOy sao cho góc trên, bên trái của các hình vuông phải tiếp xúc với tia Ox và các hình vuông phải liên tiếp nhau, không chồng chéo (như hình vẽ dưới). Biết rằng hình vuông nhỏ nhất H1 có độ dài cạnh là 1. Hình vuông H2 gần hình vuông H₁, hình vuông H₃ gần hình vuông H₂…  Hỏi hình vuông thứ 2017 H₂₀₁₇ có độ dài cạnh là bao nhiêu?

 

Hình vuông thứ 2 có cạnh là:

$a_{2}=a_{1}+a_{1}.tan(\pi/6)$

Tương tự hình vuông thứ 3 và hình vuông thứ n có cạnh là:

$a_{3}=a_{2}+a_{2}tan(\pi/6)$

$a_{n}=a_{n-1}+a_{n-1}tan(\pi/6)=(1+tan(\pi/6))^{n-1}a_{1}=(1+tan(\pi/6))^{n-1}$

Vậy hình vuông thứ 2017 có cạnh là:

$(1+tan(\pi/6))^{2016}=\frac{(3+\sqrt{3})^{2016}}{3^{2016}}$

m có thể khác n đc mà bạn

Nhưng đề bài chỉ hỏi có hay không thôi chứ đâu có yêu cầu tìm m hay n thỏa mãn

Cho 3 số: $A=\underset{2n chu so 4}{\underbrace{444....444}};B=\underset{2n+1 chu so 2}{\underbrace{222....222}};C=\underset{n chu so 8}{\underbrace{888....888}}$

CMR A+B+C+7 là số chính phương.

Bạn xem lại bài này được không chứ 8+44+222+7 đâu có chính phương

Cho $m,n \in \mathbb{N}$ sao cho mn=1991¹⁹⁹². Hỏi m+n có chia hết cho 1992 không?

Giả sử $m=n\Rightarrow m+n=2.1991^{996}\Rightarrow \frac{m+n}{1992}=\frac{1991^{996}}{996}$

Vì $1991^{996}\equiv 1(mod 10)\Rightarrow$ 1991^(996) không chia hết cho 996

Vậy giả thiết đề bài sai.