câu 4: dùng chuẩn hóa

Ông là Nguyễn Thế Anh đúng ko :DDD 

Chuẩn hóa a+b+c =3 rồi U.C.T 

Mình xin giải câu b trước. Kéo dài AO cắt (O) tại F. AH cắt BC tại L.  Ta có $\angle ABC = \angle AFC(= cung AC) \Rightarrow \Delta ABL đồng dạng \Delta AFC nên \angle BAL = \angle FAC \Rightarrow \angle LAK = \angle FAK. Ta lại có:  EM // AF (tự cm) nên \angle FAK = \angle EQA \Rightarrow \Delta EAQ cân \Rightarrow \Delta AQH vuông$ ) 

Áp dụng B.C.S ta có

$\frac{1}{a+b+1}=\frac{a+b+c^{2}}{(a+b+1)(a+b+c^{2})}\leq \frac{a+b+c^{2}}{(a+b+c)^{2}}.$

Tương tự vs ... => $\frac{2(a+b+c)+a^{2}+b^{2}+c^{2}}{(a+b+c)^{2}}\geq 1 \Leftrightarrow 2(a+b+c)\geq 2(ab+ac+bc)\Rightarrow dpcm$

Mong các anh chị cho e ý kiến vs ạ

Cho a,b,c >0 CMR:

$\sqrt{\frac{a+b}{c}}+ \sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{c+a}{b}}\geq 2(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}})$

Từ giả thiết, biến đổi bất đẳng thức đã cho về dạng:

$\frac{\it{a}}{\it{2}\,\it{a}^{\,\it{3}}+ \it{1}}+ \frac{\it{b}}{\it{2}\,\it{b}^{\,\it{3}}+ \it{1}}+ \frac{\it{c}}{\it{2}\,\it{c}^{\,\it{3}}+ \it{1}}\leqq 1$

Ta sẽ chứng minh rằng:

$\frac{\it{2}\,\it{x}}{\it{2}\,\it{x}^{\,\it{3}}+ \it{1}}\leqq \frac{\it{x}^{\,\it{2}}+ 1}{\it{x}^{\,\it{4}}+ \it{x}^{\,\it{2}}+ 1}$

hay:

$\frac{\it{x}^{\,\it{4}}+ \it{x}^{\,\it{2}}+ 1}{\it{2}\,\it{x}^{\,\it{3}}+ 1}- \it{1}\leqq \frac{\it{x}^{\,\it{2}}+ \it{1}}{\it{2}\,\it{\it{x}}}- \it{1}\,\,\Leftrightarrow \,\,\frac{\it{x}^{\,\it{2}}\left ( \it{x}- \it{1} \right )^{\,\it{2}}}{\it{2}\,\it{x}^{\,\it{3}}+ \it{1}}\leqq \frac{\left ( \it{x}- \it{1} \right )^{\,\it{2}}}{\it{2}\,\it{x}}$

Và việc còn lại là chứng minh:

$$\frac{\it{x}^{\,\it{2}}+ 1}{\it{x}^{\,\it{4}}+ \it{x}^{\,\it{2}}+ 1}+ \frac{\it{y}^{\,\it{2}}+ 1}{\it{y}^{\,\it{4}}+ \it{y}^{\,\it{2}}+ 1}+ \frac{\it{z}^{\,\it{2}}+ 1}{\it{z}^{\,\it{4}}+ \it{z}^{\,\it{2}}+ 1}\leqq \it{2}$$

$\lceil$ https://diendantoanh...-2/#entry707567 $\rfloor$

Spoiler

X e m   t h ê m   p h â n   t í c h   b ấ t   đ ẳ n g   t h ứ c   t r ê n   d ư ớ i   d ạ n g   S c h u r   t ạ i   đ â y :

$\lceil$ https://h-a-i-d-a-n-...hatenablog.com/ $\rfloor$

 

[ S C H U R   d e c o m p o s i t i o n ] 

Thanks anh ạ

 

Topic vẫn còn hoạt động không anh ?. Em có một bài muốn đóng góp ạ .

$\mathbf{Đề   bài}: Giải pt : \frac{\sqrt{x+2}}{x + \sqrt{x}+1}  =1 $ 

Đặt $t=5x^{2}+2x$

Phương trình trở thành: $\sqrt{t-1}-\sqrt{9-t}=\sqrt{2t-12}$ 

                                       $t-1-9+t-2\sqrt{(t-1)(9-t)}=\sqrt{2t-12}$

                                       $2t-10-2\sqrt{(t-1)(9-t)}=2t-12$

                                       $-2\sqrt{(t-1)(9-t)}=-2$

                                       $\sqrt{(t-1)(9-t)}=1$

                                       $(t-1)(9-t)-1=0$

                            Suy ra $t=5+\sqrt{15}$ hoặc $t=5-\sqrt{15}$

                            Điều kiện bạn tự xét nha   

Cách làm thì đúng r nhưng hÌnh như khúc bình phương lên lần thứ nhất bạn hơi sai ấy :v 

Em xin đóng góp 1 hướng , kết quả cuối cx phân tích như anh Banam như nhanh hơn ý ạ 

Từ gt =>$x + y = x^2 +y^2 -xy \geq \frac{(x+y)^2}{2} - \frac{(x+y)^2}{4}= \frac{(x+y)^2}{4}. => (x+y)(4-x -y)\geq 0 => 4 \geq x + y \geq 0$.

Còn lại y chang anh :>

Cho a,b,c > 0 và abc =1. 

CMR : $\sum \frac{1}{2a^2 +bc} \leq 1$ 

Các anh chị cho e cách giải vs :>> 

Cho a,b,c > 0 . CMR:

$P = a^2 +b^2 +c^2 + \frac{9abc}{a+b+c} -2(ab+ac+bc) \geq 0$

Sao anh có thể khai triển ra cái đống sau gớm quá v @@, có mẹo j ko ạ 

Mong mọi người đóng góp e nhiều cách giải bài này vs ạ

Tim GTLN của A = $\frac{a+b}{(a^2 +3)(b^2 +3)}$ vs a,b là các số thực

Em chưa dự đoán dc ạ, anh full giúp e vs  

$Cho a,b,c > 0 thỏa a+b+c=1 Tìm GTLN của : P = a + \sqrt{ab} + \sqrt[3]{abc}$

Anh ơi như v nếu sử dụng phép thế Ravi thì đều đặt như thế ạ ?  

Với lại dấu hiệu nào để cho mình biết cần dùng Phép thế ravi ạ 

Phép thế Ravi là sao ạ 

Bài 1.Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác bất kì

CMR: $a^3 + b^3 + c^3 < (a+b)(a+c)(b+c)$

Bài 2 Không liên quan đến BĐT lắm ạ  

1 số nguyên dương n được gọi là " đẹp " nếu thõa mãn đồng thời 2 điều kiện sau:

i) n có ít nhất 4 ước nguyên dương

ii) Với mọi a,b là ước số của n sao cho 1<a<b<n thì b -a cx là ước số của n 

a) CMR : n = $2019^{2018}$ ko là số đẹp

b) Tìm tất cả các số n đẹp. 

(Trích đề thi HSG huyện Vĩnh Yên 2018 - 2019) 

Sao giống Bunhia v ạ 

Cho a,b,c >1 thõa mãn : $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} =2$

CMR: $\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}\leq \sqrt{a+b+c}$ 

<=1 ms đúng chứ ạ 

Mình nghĩ thế là ổn bạn ạ , chứ để tìm dc nghiệm -0,7.... khó quá 

Liên hợp tìm dc nghiệm x = 0.

TH x khác 0 : $x+1 = \frac{1}{\sqrt{x+4}+2} <=> (x+1)\sqrt{x+4}+2x+2=1 <=> (x+1)(x^2+x+1)+2x+1=0 <=> x^3 + 2x^2 + 5x + 3 =0.$

Đến đây dùng công thức Cacdano để giải pt bậc 3 là ổn ^^ 

Tìm GTNN của biểu thức B = $\frac{8x^2 + y}{4x }$ + y² ( với x+y$\geq$1 và x$>$0)

B=$2x + \frac{y}{4x} + y^2 = \frac{3x}{2} + \frac{x}{2} + \frac{y}{4x} + y^2\geq \frac{3x}{2} + 3\sqrt[3]{\frac{x.y^3}{8x}} = \frac{3x}{2} + \frac{3y}{2} = \frac{3}{2}.( x+y ) \geq \frac{3}{2}.$

Dấu "=" x = y = $\frac{1}{2}$

nhân liên hợp nhé bạn

Mình thử r mà vẫn bí giá như nó = 3 thì mình tính ra dc x + y = 0 :<<