Liệu diendan có thực hiện tiếp chủ đề bài toán trong tuần ko nhỉ.

em thấy bài hình đã từ năm 2017 rồi í 

 yeu-to-it-nhat-Can.pdf   252.85K   89 Số lần tải

Tham khảo cái này xem đc ko nhỉ

hmm lâu wa không có ai giải nên mình đưa ra ví dụ bài 1:
Ta sẽ chứng minh $a^{13}+b^{13}\geq a^8b^5+a^5b^8$ 

nó đúng với AmGm 13 số, hay

$(8a^{13}+5b^{13})+(5a^{13}+8b^{13})\geq 13(a^8b^5+a^5b^8)$

Nên với $abc=1$ thì

$\sum \frac{a^2b^2}{a^{13}+b^{13}+a^2b^2}\leq \sum \frac{a^2b^2}{a^5b^5(a^3+b^3)+a^2b^2}=\sum \frac{1}{a^3b^3(a^3+b^3+c^3)}=1$

Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$. Chứng minh rằng 

$\sum \frac{a^2b^2}{a^{13}+b^{13}+a^2b^2}\leq 1$

p.s: mặc dù số mũ khủng nhưng giải khá đơn giản

Một số bài tương tự 

Cùng giả thiết. cmr

$\sum \frac{ab}{a^4+b^4+ab}\leq 1$

$\sum \frac{1}{a^5+b^5+1}\leq 1$

P.s: Nếu ai có thời gian thì cho thêm ví dụ nữa nhé

Simple AmGm

$a^4+a^4+a^4+1\geq 4a^3$

Tương tự rồi Holder 

Cho $ a+b+c=6$ chứng minh rằng

$1.T=\frac{a}{\sqrt{b^{3}+b^{2}+4}}+\frac{b}{\sqrt{c^{3}+c^{2}+4}}+\frac{c}{\sqrt{a^{3}+a^{2}+4}}\geq \frac{3}{2}$

$2.\sum \frac{x}{\sqrt{2(y^{4}+z^{4})+7yz}}\geq \frac{1}{6}$

1/

Để í mẫu phân tích được

$2\sqrt{b^3+b^2+4}=2\sqrt{(b+2)(b^2-b+2)}\leq b^2+4$

Sau đó AmGm ngược

cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $(x+y)(y+z)(z+x)= 1$ chứng minh rằng

$\sum \frac{\sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}}{\sqrt{xy}+1}\geq \sqrt{3}$

Dễ đánh giá AmGm trên tử r đưa về bđt quen thuộc

$\frac{a}{a+2}+\frac{b}{b+2}+\frac{c}{c+2}\geq 1$ với $a=x+y$

$b=y+z$

$c=z+x$

cho $abc=1$

cmr :

$\frac{1}{a^3+b+c}+\frac{1}{b^3+c+a}+\frac{1}{c^3+a+b}\leq \frac{a+b+c}{3}$

Dễ thấy $VP\geq 1$

CM $VT\leq 1$

Áp dụng CS

$\sum \frac{1}{a^3+b+c}=\sum \frac{bc+b+c}{(a^3+b+c)(bc+b+c)}\leq \sum \frac{bc+b+c}{(a+b+c)^2}\leq \frac{t^2+6t}{3t^2}\leq 1$ 

Với $t=a+b+c$ 

tương đương $t\geq 3$ đúng

cho $a,b,c>0$ và $a^2+b^2+c^2=3$. chứng minh rằng $(a^5-2a+4)(b^5-2b+4)(c^5-2c+4) \ge 9(ab+bc+ac)$

Ý tưởng khá quen thuộc 

B1: Chứng minh $VP\leq (a+b+c)^3$

Thật vậy với AmGm 3 số

$VP^2=27.(a^2+b^2+c^2).(ab+bc+ac)^2\leq (a+b+c)^6$

B2: Chứng minh $VT\geq (a+b+c)^3$

AmGm 5 số có

$a^5-2a+4=\frac{1}{5}(a^5+a^5+1+1+1)-2a+1+\frac{1}{5}(a^5+a^5+a^5+1+1+10)\geq (a-1)^2+\frac{1}{5}(5a^3+10)\geq a^3+2$

Áp dụng Holder 3 số

$VT\geq (a^3+1+1)(b^3+1+1)(c^3+1+1)\geq (a+b+c)^3$

Xảy ra khi $a=b=c=1$

Maple ko làm đc sao

hình như dùng cái bottemma í

Bài này khá quen thuộc, Ta có

$\sqrt{x+2011}+\sqrt{y+2012}+\sqrt{z+2013}=\sqrt{z+2012}+\sqrt{y+2011}+\sqrt{x+2013}$

$$\Leftrightarrow \sqrt{x+2013}-\sqrt{x+2012}+\sqrt{x+2012}-\sqrt{x+2011}=\sqrt{z+2013}-\sqrt{z+2012}+\sqrt{y+2012}-\sqrt{y+2011}\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{x+2013}+\sqrt{x+2012}}+\frac{1}{\sqrt{x+2012}+\sqrt{x+2011}}=\frac{1}{\sqrt{z+2013}+\sqrt{z+2012}}+\frac{1}{\sqrt{y+2012}+\sqrt{y+2011}}$$ 

Vì nó hoán vị nên ta có thể gs x là MAX(x,y,z)

nên $VT\leq VP$

xảy ra khi $x=y=z$

AM-Gm điểm rơi

$a=b=c=1$

Bài toán: Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x,y)$ thỏa mãn đẳng thức $x^3+y^3+3x^2-3y^2-3xy+6x=0$.

Áp dụng đẳng thức quen thuộc $A^3+B^3+C^3-3ABC=...$

Ta có

$x^3+y^3+3x^2-3y^2-3xy+6x=0\Leftrightarrow (x+1)^3+(y-1)^3+3x-3y-3xy=0\Leftrightarrow (x+1)^3+(y-1)^3+1-3(x+1)(y-1)=4\Leftrightarrow ...$

Đưa về phương trình tích xong

Đặt các mẫu bằng

$b+c-a=x$ rồi tương tự. biểu diễn $a,b,c$ theo $x,y,z$ và amgm

P.s: Tại sao master lại đăng nhiều bài vậy?

Em cũng ko biết đúng ko nhưng hình nhu đây là giả thiết catalan

Tìm x,y nguyên dương thỏa mãn $x^y+1=y^x$

Ví dụ $2^3+1=3^2$

cho a,b,c dương

chứng minh

$\sum \frac{1}{a^2+bc}\geq \frac{a+b+c}{2abc}$

giải theo nhiều cách nếu có thể

Ngược dấu bạn

Sửa lại dấu thi là Am-Gm

Cái P3.2 ở đâu vậy anh??

Bài bất í

Dễ chứng minh :$a^{5}+b^5\geq ab(a^3+b^3)$ ( bn cm bằng chuyển vế rồi phân tích ra nhé !)

Ta có : $VT=3-\sum \left ( \frac{c^2}{a^5+b^5+c^2} \right )\geq 3-\sum \left ( \frac{c^2}{ab(a^3+b^3)+c^2} \right )=3-\sum \left ( \frac{c^3}{a^3+b^3+c^3} \right )=2$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 (đpcm)

Một cách cm cái bổ đề

Áp dụng Amgm 5 số

$a^5+a^5+a^5+a^5+b^5\geq 5a^4b$

$a^5+b^5+b^5+b^5+b^5\geq 5ab^4$

Cộng lại

$\textrm{Cho } a,b,c \textrm{ bất kì và thỏa mãn } \dfrac{27a^2}{2}+4b^2+c^2=1-2bc$

$\textrm{Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức } Q=3a+2b+c$

Giả thiết có thể đưa về

$(3a+2b+c)^2+(3a-2b)^2+(3a-c)^2=2$

Nên $Q^2\leq 2$

hay $Q_{min}=-\sqrt{2}$

Dấu bằng xảy ra tại ...

(Albanian National Math Olympiad 2012) Tìm tất cả các số nguyên tố p thỏa mãn p+2 và p2 +2p−8 là các số nguyên tố.

Th1 $p=3,2$ thì $p=3$ thỏa mãn

Xét $p>3$

Th2 p chia 3 dư 1 nên $p+2$ chia hết cho 3

Th3 p chia  3 dư 2 nên $p^2+2p-8$ chia hết cho 3

Vậy $p=3$

Cho x là số dương thỏa mãn $\frac{x^{3}+1}{x}=18\sqrt{x}$

Tính A=$\frac{x^{2}+1}{x}$

có thể giải đc x mà 

Từ pt 2 có

$2y^4(3-x)=3$

Tạo $\sqrt{3}$ ở pt 1 sau đó thể vào có thể rút hết y

Tương tự, ta cũng có 

Cho $a,b,c>0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $a^2=2(b^2+c^2)$. Tìm $GTNN$ của biểu thức: $P= \sum \frac{a}{b+c}$.

 

Ps: Câu trên đều trích trong đề kiểm tra cuối học kì II LỚP 8 

Cách khác đổi biến $x=\frac{b}{a}$ và $y=\frac{c}{a}$ rồi biến đổi tương đương