Bài 84:Tìm k để trong 10 số tự nhiên liên tiếp k+1;k+2;...;k+10 có nhiều số nguyên tố nhất 

 

* Xét k = 1 thì  trong dãy các số đó có 5 số nguyên tố (2,3,5,7,11)

* Xét k > 1 trong trong dãy có 5 số chẵn khác 2 (không có số nguyên tố nào trong 5 số chẵn) và năm số lẻ, trong 5 số lẻ đó tồn tại ít nhất 1 số chia hết cho 3 là hợp số nên số số nguyên tố sẽ bé hơn 5

Vậy k = 1  thì trong 10 số tự nhiên liên tiếp k + 1; k + 2; ...; k + 10 có nhiều số nguyên tố nhất

Vì ab + bc+ ca = 1 nên ta có: $\frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}=\frac{a}{(a+b)(a+c)}+\frac{b}{(b+a)(b+c)}=\frac{a(b+c)+b(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{ab+1}{(a^2+1)(b+c)}\leqslant \frac{\sqrt{(a^2+1)(b^2+1)}}{(a^2+1)(b+c)} =\frac{\sqrt{b^2+1}}{(b+c)\sqrt{a^2+1}}=\frac{\sqrt{(b+a)(b+c)}}{(b+c)\sqrt{(a+b)(a+c)}}=\frac{1}{\sqrt{(b+c)(a+c)}}=\frac{1}{\sqrt{c^2+1}}$

Đến đây, ta cần chứng minh: $\frac{3c+1}{\sqrt{c^2+1}}\leqslant \sqrt{10} \Leftrightarrow (c-3)^2\geqslant 0$ *đúng*

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=\sqrt{10}-3;c=3$

Dành cho các mem ôn thi HSG toán 8 như mình

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \ge \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+1$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học

Chứng minh: $\dfrac{1}{1-xy}+\dfrac{1}{1-yz}+\dfrac{1}{1-zx}\leq \dfrac{27}{8}$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học

Còn min thì dễ rồi

Đặt $(\sqrt{a^2+b^2},\sqrt{b^2+c^2},\sqrt{c^2+a^2})\rightarrow (x,y,z)$ thì x + y + z = $\sqrt{2013}$ và $a^2=\frac{z^2+x^2-y^2}{2}, b^2 = \frac{x^2+y^2-z^2}{2},c^2=\frac{y^2+z^2-x^2}{2}$

Ta có: $\sum \frac{a^2}{b+c}\geqslant \sum \frac{a^2}{\sqrt{2(b^2+c^2)}} =\sum \frac{z^2+x^2-y^2}{2\sqrt{2}y}\geqslant \frac{1}{2\sqrt{2}} (x+y+z)=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2013}{2}}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{\sqrt{2013}}{3\sqrt{2}}$

$\frac{x^2+1}{y^2+1}+\frac{y^2+1}{z^2+1}+\frac{z^2+1}{x^2+1}\leq \frac{7}{2}$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học

Bài toán 1.
Ch0 các số thực dương $a,b,c$ thỏa $ab+bc+ca=1$.Chứng minh rằng:
$$\frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}+\frac{3c}{\sqrt{1+c^2}}\leq \sqrt{10}$$
 

Cách giải đại số

Tìm max của $\frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}+\frac{3c}{\sqrt{1+c^2}}$. - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học

Áp dụng bất đẳng thức phụ: $2a+\frac{1}{a}\geqslant \frac{a^2+5}{2} \Leftrightarrow \frac{(2-a)(a-1)^2}{2a}\geqslant 0$

Tương tự rồi cộng lại ta có Q.E.D

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

$\frac{a^2}{b^2+1}+\frac{b^2}{c^2+1}+\frac{c^2}{a^2+1}-\frac{3}{2}=\sum_{cyc}^{cyc}(a-b)^2(\frac{89}{1053}ab^3+\frac{1666}{351}ac+\frac{2177}{3159}a^2b^2+\frac{64}{351}a^2c^2+\frac{1147}{3159}a^3b+\frac{179}{1053}a^3c+\frac{23}{3159}b^3c+\frac{53} {243}abc^2+\frac{50}{243}b^4)\geqslant 0$ 

Ta dễ có: $\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2+1}}-\frac{2}{(a+1)(b+1)(c+1)}\leqslant \frac{2}{a+b+c+1} -\frac{54}{(a+b+c+3)^3}$

Đặt a + b + c = x thì ta cần tìm GTLN của $\frac{2}{x+1}-\frac{54}{(x+3)^3}$

Xét $\frac{2}{x+1}-\frac{54}{(x+3)^3}-\frac{1}{4} =\frac{-(x-3)^2(x^2+8x+3)}{4(x+1)(x+3)^3}\leqslant 0\Rightarrow  \frac{2}{x+1}-\frac{54}{(x+3)^3}\leqslant \frac{1}{4} $ *đúng do x > 0*

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

$\frac{1}{a^{2}}$ + $\frac{1}{b^{2}}$ + $\frac{1}{c^{2}}$ $\geq$ $a^2 + b^2 +c^2$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học

 

3) Tìm max:
P=$\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}+1} -\frac{2}{(a+1)(b+1)(c+1)}$

Tìm GTLN của $P=\Sigma\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2+1}}$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học

$\frac{x^2+1}{y^2+1}+\frac{y^2+1}{z^2+1}+\frac{z^2+1}{x^2+1}\leq \frac{7}{2}$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học

$PT\Leftrightarrow (x^2-10x+6)(x^2+6x-2)=0$

Tìm được 4 nghiệm là $5+\sqrt{19},5-\sqrt{19},-3+\sqrt{11},-3-\sqrt{11}$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta được: $(\sum_{cyc}^{cyc}a\sqrt{b+c} )^2\leqslant 2(\sum_{cyc}^{cyc}a )(\sum_{cyc}^{cyc}a^2)=\prod_{cyc}^{cyc}a(\sum_{cyc}^{cyc}a )(\sum_{cyc}^{cyc}a^2)\leqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2}{3} \leqslant \frac{(a+b+c)^6}{3^4}$

$\Rightarrow \sum_{cyc}^{cyc}a\sqrt{b+c}\leq \frac{(a+b+c)^3}{3^2}\leqslant a^3+b^3+c^3$ 

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\sqrt[3]{2}$

Ta có: $P\leqslant \sqrt{3(\sum \frac{ab}{2a^2+3b^2+7})} \leqslant  \sqrt{3(\sum \frac{ab}{4a+6b+2})}\leqslant \sqrt{3(\sum (\frac{ab}{4}(\frac{1}{6b}+\frac{1}{4a+2})))} \leqslant \sqrt{3(\frac{a+b+c}{24} +\frac{a+b+c}{36}+\frac{ab+bc+ca}{72} )}\leq \frac{\sqrt{3}}{2} $

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

 

Bài 12. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=2$

 

Chứng minh rằng: $\frac{1}{8a^{2}+1}+\frac{1}{8b^{2}+1}+\frac{1}{8c^{2}+1}\geq 1$

Áp dụng bất đẳng thức: $\frac{1}{8a^2+1}\geqslant \frac{2}{a+1}-1\Leftrightarrow \frac{2a(2a-1)^2}{(8a^2+1)(a+1)}\geqslant 0$ 

Tương tự rồi cộng lại, ta được điều phải chứng minh

$\sum \frac{a}{b}\geqslant \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+1$ - Các bài toán và vấn đề về Bất đẳng thức - Diễn đàn Toán học

Điều kiện là dư thừa

$VT-VP=(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)\sum_{cyc}\frac{bc(b-c)^2}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)(a+b)(a+c)} \geqslant 0$ 

Well ,That problem is easy, u try to solve this problem by S.O.S & Schur (It 's solved by S.O.S very beautiful)
Let a,b,c be positive real numbers Prove that:
$ \dfrac{a^2}{b^2+c^2}+\dfrac{b^2}{c^2+a^2}+\dfrac{c^2}{a^2+b^2} \geq \dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b} $


---------------------You should finish $\dfrac{3}{4} $ ur subject in order to exchange by everyone----------Thanks...I 'll take the problems for u trying solve....

$\sum \frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}\geq \sum \frac{a}{b+c}$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học

$\frac{1}{a^{2}}$ + $\frac{1}{b^{2}}$ + $\frac{1}{c^{2}}$ $\geq$ $a^2 + b^2 +c^2$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học

Điều kiện là 0 < a, b, c, d < 1 thì đúng hơn.

Ta có: $2(1-a)(1-b)=2-2(a+b)+2ab=a^2+b^2+c^2+d^2+1-2a-2b+2ab-2cd+2cd=(a+b-1)^2+(c-d)^2+2cd\geqslant 2cd$ 

Tương tự: $2(1-c)(1-d)\geqslant 2ab$ 

Từ đó suy ra $(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)\geqslant abcd$ hay $\frac{abcd}{(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)}\leqslant 1$ 

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=d=\frac{1}{2}$

Đặt $(\frac{c^2}{ab},\frac{a^2}{bc},\frac{b^2}{ca})\rightarrow (x,y,z)$ thì xyz = 1 và ta cần chứng minh: $\frac{1}{x+8}+\frac{1}{y+8}+\frac{1}{z+8}\leqslant \frac{1}{3}\Leftrightarrow 5(xy+yz+zx)+16(x+y+z)\geqslant 63$ 

Bất đẳng thức cuối luôn đúng nên ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1 hay a = b = c 

Ta có: $\sum_{cyc}\frac{a}{a+b}-\frac{3}{2}=\frac{(a-b)(b-c)(a-c)}{2(a+b)(b+c)(c+a)}\geqslant 0$ 

Qua phân tích trên, nó chứng tỏ rằng bất đẳng thức chỉ đúng khi $a\geqslant b \geqslant c$