Giải phương trình $\sqrt{4x+6}-\sqrt[3]{x^{3}+5x^{2}+12x+10}=x^{2}-2$
Sangnguyen3 nội dung
Có 224 mục bởi Sangnguyen3 (Tìm giới hạn từ 06-06-2020)
#733601 $\sqrt{4x+6}-\sqrt[3]{x^{3}+5x^{...
Đã gửi bởi Sangnguyen3 on 07-06-2022 - 21:08 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
#733557 Tìm gtnn và gtln của $P=3a+2b+c$ biết $a^{2}+b^...
Đã gửi bởi Sangnguyen3 on 30-05-2022 - 23:18 trong Bất đẳng thức và cực trị
$a,b,c \geq 0: \, a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc=4$.Tìm gtnn và gtln của $P=3a+2b+c$
#733535 $\sqrt{1+2a^2} + \sqrt{1+2b^2} = 6$....
Đã gửi bởi Sangnguyen3 on 27-05-2022 - 11:48 trong Bất đẳng thức và cực trị
$Max: \left (2b^{2}+1 \right )(4+4+1)=(b^{2}+b^{2}+1)(4+4+1)\geq (2b+2b+1)^{2} . => \sqrt{2b^{2}+1}\geq \frac{4b+1}{3}. =>6\geq \frac{4(a+b)+2}{3} =>a+b\leq 4 . Min:36=2+2(a^{2}+b^{2}) + 2\sqrt{(1+2a^{2})(1+2b^{2})}= 2+2(a^{2}+b^{2}) + 2\sqrt{1+2(a^{2}+b^{2})+4a^{2}b^{2}}\leq 2+2(a+b)^{2}+2\sqrt{1+2(a+b)^{2}}. Dat: a+b=S => 36\leq 2+2S^{2}+2{\sqrt{1+2S^{2}}} \leq 2+2S^{2}+ \frac{1}{5}(2S^{2}+26)=>S^{2} \geq 12 => S\geq 2\sqrt{3}$
#733530 xy+yz+zx=3. Tìm GTLN của $P=\frac{x}{x^4+8x+7}+...
Đã gửi bởi Sangnguyen3 on 25-05-2022 - 22:48 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho mình hỏi chút kết quả cuối cùng là P ≤ 3/16 chứ bạn nhỉ?
đúng r bạn ạ, mình gõ nhầm cảm ơn bạn nhé
#733515 Chứng minh rằng PM luôn vuông góc với 1 đường thẳng cố định
Đã gửi bởi Sangnguyen3 on 23-05-2022 - 22:29 trong Hình học
Cho đường tròn (O) và dây AC không phải là đường kính, B là điểm chuyển động trên (O), D là điểm chính giữa cung AC không chứa B.Tiếp tuyến tại C với đường tròn (O) cắt AB tại M, MD cắt (O) tại N ( N khác D), tiếp tuyến tại N với (O) cắt BC tại P.Chứng minh rằng PM luôn vuông góc với 1 đường thẳng cố định.
#733506 xy+yz+zx=3. Tìm GTLN của $P=\frac{x}{x^4+8x+7}+...
Đã gửi bởi Sangnguyen3 on 23-05-2022 - 11:03 trong Bất đẳng thức và cực trị
$x^{4}+1\geq 2x^{2}=> x^{4}+8x+7\geq 2x^{2}+8x+6 =>\frac{x}{x^{4}+8x+7}\leq \frac{x}{2x^{2}+8x+6}\leq \frac{1}{4}\left (\frac{x}{2x^{2}+6}+\frac{x}{8x}\right)=\frac{1}{4}\left ( \frac{x}{2(x^{2}+3)}+\frac{1}{8} \right )=\frac{1}{4}\left ( \frac{x}{2(x+y)(x+z)}+\frac{1}{8} \right ) => P \leq \frac{1}{4}\left ( \sum \frac{x}{2(x+y)(x+z)}+\frac{3}{8} \right ).We have : \sum \frac{x}{(x+y)(x+z)}=\frac{2\sum xy}{(x+y)(y+z)(z+x)} \leq \frac{2\sum xy}{\frac{8}{9}(xy+yz+xz)(x+y+z)}\leq \frac{3}{4} =>P\leq 3/16 .The equality occurs when x=y=z=1$
#733500 CMR tâm ngoại tiếp tam giác DEF nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC
Đã gửi bởi Sangnguyen3 on 22-05-2022 - 17:36 trong Hình học
#733499 CMR K luôn thuộc 1 đường tròn cố định khi P di chuyển
Đã gửi bởi Sangnguyen3 on 22-05-2022 - 17:30 trong Hình học
#733498 CMR QR vuông góc với AH
Đã gửi bởi Sangnguyen3 on 22-05-2022 - 17:25 trong Hình học
a) CMR QR vuông góc với AH
b)Đường thẳng đối xứng với HM qua phân giác trong góc BHC cắt đoạn thẳng BC tại I.Gọi K là hình chiếu của A trên HJ.CMR đường tròn ngoại tiếp tam giác MIK tiếp xúc với (O)
#733480 Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH, D thuộc tam giác AHC sao cho AH đi...
Đã gửi bởi Sangnguyen3 on 19-05-2022 - 22:36 trong Hình học
Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH, D là điểm thuộc trong tam giác AHC sao cho AH đi qua trung điểm BD,CD cắt AH tại E.Qua E kẻ đường thẳng tiếp xúc với với nửa đường tròn đường kính DC về phía bờ AC tại M.Chứng minh BD và AM cắt nhau tại một điểm nằm trên nửa đường tròn đường kính DC
#733402 $\sqrt[3]{\frac{a}{b(b+2c)}} +...
Đã gửi bởi Sangnguyen3 on 09-05-2022 - 12:06 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn ab+bc+ca=3.Chứng minh rằng:
$\sqrt[3]{\frac{a}{b(b+2c)}} + \sqrt[3]{\frac{b}{c(c+2a)}} + \sqrt[3]{\frac{c}{a(a+2b)}} \geq \frac{3}{\sqrt[3]{3}}$
#733401 $\sum\sqrt[3]{\frac{a}{b(b+2c)}} \geq \frac{3}{...
Đã gửi bởi Sangnguyen3 on 09-05-2022 - 12:01 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn ab+bc+ca=3.Chứng minh rằng:
$\sqrt[3]{\frac{a}{b(b+2c)}} + \sqrt[3]{\frac{b}{c(c+2a)}} + \sqrt[3]{\frac{c}{a(a+2b)}} \geq \frac{3}{\sqrt[3]{3}}$
#733387 Tứ giác ABCD có I là giao hai đường chéo , (O) tiếp xúc AB,CD tại A,C.Chứng m...
Đã gửi bởi Sangnguyen3 on 05-05-2022 - 23:11 trong Hình học
anh cho em xin link sách được không ạ, em cảm ợn ạ
#733375 Tứ giác ABCD có I là giao hai đường chéo , (O) tiếp xúc AB,CD tại A,C.Chứng m...
Đã gửi bởi Sangnguyen3 on 04-05-2022 - 19:58 trong Hình học
Mọi người có ý tưởng cho bài này không ạ, em cảm ơn ạ
#733284 $\frac{x}{2x^2+y^2+5}+\frac{2y}...
Đã gửi bởi Sangnguyen3 on 18-04-2022 - 21:06 trong Bất đẳng thức và cực trị
#733274 Tứ giác ABCD có I là giao hai đường chéo , (O) tiếp xúc AB,CD tại A,C.Chứng m...
Đã gửi bởi Sangnguyen3 on 16-04-2022 - 22:01 trong Hình học
#733270 $\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+2b}\geq 1+...
Đã gửi bởi Sangnguyen3 on 16-04-2022 - 07:30 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh
$\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+2b}\geq 1+\frac{(b-c)^{2}}{3(b+c)^{2}}$
#733213 Cho hình thang ABCD (AB // CD).Chứng minh rằng: EP = FQ
Đã gửi bởi Sangnguyen3 on 12-04-2022 - 22:48 trong Hình học
#733210 BẤT ĐẲNG THỨC HƯỚNG TỚI KÌ THI CHUYÊN TOÁN 2021-2022
Đã gửi bởi Sangnguyen3 on 12-04-2022 - 21:24 trong Bất đẳng thức và cực trị
Mình sẽ phân tích một chút bài $74$ này, cũng là đề của tỉnh mình. Đây là lần đầu mình bình luận một bài bất đẳng thức nên có gì sai sót mong các bạn thông cảm!
Bài này nhìn vào hình thức thì các bạn sẽ có một ý tưởng là cộng mẫu luôn, như vậy thì cái mẫu sẽ có biểu thức $2b\sqrt{a}+2c\sqrt{b}+2a\sqrt{c}+3(a^2+b^2+c^2)$ rất cồng kềnh, chúng ta cần đánh giá nó dựa và đại lượng $a+b+c=3$, tức là ta cố gắng đánh giá $2b\sqrt{a}+2c\sqrt{b}+2a\sqrt{c}+3(a^2+b^2+c^2)\leqslant k(a+b+c)^2+(a+b+c)$ kiểu vậy, nhưng kết quả sẽ hoàn toàn ngược vì thí dụ như ta đánh giá kiểu: $2b\sqrt{a}\leqslant ab+a$ nhằm xuất hiện $a+b+c$, nhưng sẽ thất bại vì đại lượng $3(a^2+b^2+c^2)$, tất cả đánh giá sẽ không đủ để bù đắp "số 3" quá lớn của đại lượng này.
Thử một hướng khác xem, nâng bậc của $a$ ở tử lên bậc 3 để dùng Holder thì lại càng bế tắc vì các căn dưới mẫu, còn bậc $4$ để cộng mẫu thì các đại lượng $3a^2b^2,3b^2c^2,3c^2a^2$ rất khó đánh giá
Thử đột phá ý tưởng thì ta quan sát thật kĩ, thấy biểu thức $a+2b\sqrt{a}+3b^2$ rất lạ nhưng kĩ thêm một chút thì nó rất quen thuộc, vì sao, nếu đặt $a=x^2,b=y$ thì đại lượng trên trở thành $x^2+2xy+3y^2$, thật bất ngờ. Hướng này có vẻ rất khả thi
Tức chúng ta phải đối dấu lại thành tìm giá trị lớn nhất chứ không phải giá trị nhỏ nhất, như vậy ta quy về: $\frac{a(2b\sqrt{a}+3b^2)}{a+2b\sqrt{a}+3b^2}+\frac{b(2c\sqrt{b}+3c^2)}{b+2c\sqrt{b}+3c^2}+\frac{c(2a\sqrt{c}+3a^2)}{c+2a\sqrt{c}+3a^2}\leqslant \frac{5}{2}$
Ta quan tâm đến phân thức: $$\frac{a(2b\sqrt{a}+3b^2)}{a+2b\sqrt{a}+3b^2}=\frac{ab(2\sqrt{a}+3b)}{a+2b\sqrt{a}+3b^2}$$
Như vậy ta cần tìm các số $k,h$ nào đó sao cho: $\frac{2x+3y}{x^2+2xy+3y^2}\leqslant \frac{1}{kx+hy}$. Cho dấu bằng $x=y=1$ thì $k+h=\frac{6}{5}$
Thế $h=\frac{6}{5}-k$ vào biểu thức trên rồi phân tích nhân tử $x-y$ sẽ tìm được các hệ số $k,h$
Tóm lại, ta được: $25(a+2b\sqrt{a}+3b^2)\geqslant (2\sqrt{a}+3b)(8\sqrt{a}+22b)$
Vậy ta cần chứng minh: $\frac{ab}{8\sqrt{a}+22b}+\frac{bc}{8\sqrt{b}+22c}+\frac{ca}{8\sqrt{c}+22a}\leqslant \frac{1}{10}$
Tới đây chúng ta phải đổi dấu lại dưới dạng: $\frac{8a\sqrt{a}}{8\sqrt{a}+22b}+\frac{8b\sqrt{b}}{8\sqrt{b}+22c}+\frac{8c\sqrt{c}}{8\sqrt{c}+22a}\geqslant \frac{4}{5}$
$\Leftrightarrow \frac{8a^2}{8a+22b\sqrt{a}}+\frac{8b^2}{8b+22c\sqrt{b}}+\frac{8c^2}{8c+22a\sqrt{c}}\geqslant \frac{4}{5}$
Cộng mẫu là ý tưởng tốt, ta cần chứng minh: $b\sqrt{a}+c\sqrt{b}+a\sqrt{c}\leqslant 3$
Việc này vô cùng đơn giản, xin nhường cho bạn đọc!
$\sum \left (\sqrt{b}.\sqrt{ab} \right )\leq \sqrt{(a+b+c).(ab+bc+ca)} \leq \sqrt{3.3}=3$
em nghĩ là vậy ạ
#733207 BẤT ĐẲNG THỨC HƯỚNG TỚI KÌ THI CHUYÊN TOÁN 2021-2022
Đã gửi bởi Sangnguyen3 on 12-04-2022 - 20:30 trong Bất đẳng thức và cực trị
SET BẤT ĐẲNG THỨC TUẦN 5:
Bài 73: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $ab+bc+ca+abc=4$. Chứng minh rằng: $$a^2+b^2+c^2+a^2b+b^2c+c^2a\ge2(ab+bc+ca)$$
Bài 74: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $\frac{2a^2}{a+2b\sqrt{a}+3b^2}+\frac{2b^2}{b+2c\sqrt{b}+3c^2}+\frac{2c^2}{c+2a\sqrt{c}+3a^2}$
Bài 75: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $ \frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}=1 $. Chứng minh rằng: $$ \sqrt{a^2+2a}+\sqrt{b^2+2b}+\sqrt{c^2+2c} \ge \sqrt{a^2+b^2+c^2+24} $$
Bài 76: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng: $\frac{a^3+1}{b^2+c^2}+\frac{b^3+1}{c^2+a^2}+\frac{c^3+1}{a^2+b^2}\geqslant a+b+c$
Bài 77: Tìm giá trị lớn nhất của $\sqrt{x-x^3}+\sqrt{x+x^3}$ với $0\leqslant x\leqslant 1$
Ta có:$a^{2}b+b\geq 2ab=>\sum a^{2}b + \sum a \geq 2(ab+bc+ca). Can c/m \sum a^{2} \geq a+b+c. Mat khac,\sum a^{2}\geq \frac{\left ( \sum a \right )^{2}}{3}. Quyvec/m ,a+b+c\geq 3;Taco ab+bc+ca+abc\leq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{3}+\frac{\left ( a+b+c \right )^{3}}{27}.Datx=a+b+cthibatphuongtrinhtrothanh: x^{3}+9x^{2}-108\geq 0<=>(x-3)(x+6)^{2}\geq 0 <=>x\geq 3 =>dpcm.Dau"="<=>a=b=c=1$
Câu 73 ạ
#733172 Cho tam giác ABC nhọn, hình chữ nhật MNPQ nội tiếp tam giác(M,N thuộc AB,AC;P...
Đã gửi bởi Sangnguyen3 on 08-04-2022 - 23:04 trong Hình học
#733162 Tìm $Min P=a+b$
Đã gửi bởi Sangnguyen3 on 07-04-2022 - 22:27 trong Bất đẳng thức và cực trị
$Từ giả thiết dễ thấy :a>b Từ giả thiết =>ab(a-b)^{2}=(a+b)^{2} .Đặt S=a+b>0,P=ab>0 Giả thiết trở thành : P.(S^{2}-4P)=S^{2} =>4P.(S^{2}-4P)=4S^{2}\leq \frac{S^{4}}{2}=>8S^{2}\leq S^{4} =>S\geq 2\sqrt{2}. Dấu bằng xảy ra khi S^{2}=8P , S=2\sqrt{2}=>P=1.Từ đó dễ dàng tìm được a=\sqrt{2}+1,b=-1+\sqrt{2}$
#733161 $a.b.c=1$. CMR: $\sum \frac{1}{1+a+b...
Đã gửi bởi Sangnguyen3 on 07-04-2022 - 20:57 trong Bất đẳng thức và cực trị
$VT=\frac{\sum [(1+a+c)(1+b+c)]}{\prod [1+a+b]}=\frac{3+4(a+b+c)+3(ab+bc+ca)+a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2(a+b+c)+a^{2}+b^{2}+c^{2}+3(ab+bc+ca)+abc+(a+b)(b+c)(c+a)}.Đặt p=a+b+c,q=ab+bc+ca,r=abc.Ta có r=1,a^{2}+b^{2}+c^{2}=p^{2}-2q,(a+b)(b+c)(c+a)=pq-r=>VT=\frac{3+4p+q+p^{2}}{2+p^{2}+q+pq} .VP=\frac{\sum [(2+b)(2+c)]}{\prod [2+a]}=\frac{12+ab+bc+ca+4(a+b+c)}{8+abc+4(a+b+c)+2(ab+bc+ca)} =>VP=\frac{12+4p+q}{9+2q+4p}.Ta cóVT\leq VP <=>\frac{3+4p+q+p^{2}}{2+p^{2}+q+pq}\leq \frac{12+4p+q}{9+2q+4p} <=>27+24p+3q+q^{2}+5p^{2}\leq 6pq+3p^{2}q +pq^{2}.Ta có:2p^{2}q\geq 6p^{2}\geq 5p^{2}+3q;p^{2}q\geq 27;\frac{1}{3}pq^{2}\geq q^{2};\frac{2}{3}pq^{2}\geq 6p;6pq\geq 18p$
#733139 Tìm GTNN của $C = x + \frac{1}{4x} + \fr...
Đã gửi bởi Sangnguyen3 on 06-04-2022 - 21:43 trong Bất đẳng thức và cực trị
$\ 4C=4x+\frac{1}{x}+\frac{4x}{4x^{2}+4x+1}=4x+\frac{1}{x}+\frac{4}{4x+\frac{1}{x}+4}=4x+\frac{1}{x}+4+\frac{64}{4x+\frac{1}{x}+4}-\frac{60}{4x+\frac{1}{x}+4}-4\geq 16-\frac{60}{4+4}-4=12-7.5=4.5=>C\geq \frac{4.5}{4}$
- Diễn đàn Toán học
- → Sangnguyen3 nội dung