Bạn có thể nêu rõ cách làm bài này của bạn được không?Bài này nó chính là định lí Pascal suy biến thành tiếp tuyến.
MHN nội dung
Có 217 mục bởi MHN (Tìm giới hạn từ 04-06-2020)
#744752 Chứng minh rằng PF, QE, AO đồng quy.
Đã gửi bởi MHN on 30-04-2024 - 16:25 trong Hình học
Kẻ đường kính $AI$ của đường tròn $(O)$ cắt $BE$ tại $A_{1}$.Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có đường cao $AD,$ $BE,$ $CF$ và trực tâm $H.$ Trên tia đối của $ED$ và $FD$ lấy $P$ và $Q$ sao cho $PE=EF=FQ.$
a) Chứng minh rằng $PF, QE, AO$ đồng quy.
Ta có:$\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^o \Rightarrow BCEF$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{AEF}=\widehat{ABC}$
$\widehat{ABC}=\widehat{AIC}=\frac{1}{2}$sđ$\mathop {AC}^{\displaystyle\frown} \Rightarrow \widehat{AEF}=\widehat{AIC}$
Mà: $BE//CI \Rightarrow \widehat{AIC}=\widehat{AA_{1}E} \Rightarrow \widehat{AEF}=\widehat{AA_{1}E} \Rightarrow OA\bot EF$
$\widehat{AFE}=\widehat{ACB}$ ($BCEF$ nội tiếp)
$\Delta BAD \sim \Delta BCF \Rightarrow \frac{BA}{BC}=\frac{BD}{BF}$; $\widehat{ABC}$ chung $\Rightarrow \Delta ABC \sim \Delta DBF$
$\Rightarrow \widehat{ACB}=\widehat{BFD}=\widehat{QFA} \Rightarrow \widehat{QFA}=\widehat{AFE}$
$\Rightarrow FA$ là phân giác $\widehat{QFE} \Rightarrow FA\bot QE$
CMTT cũng có :$FP\bot AE$
Xét $\Delta AEF$ có $OA\bot EF;FP\bot AE;EQ\bot AF \Rightarrow PF;OA;QE$ đồng quy.
P/s: Vì chưa thể giải hết tất cả các câu để thống nhất các đường phụ, có thể mình gọi khác các bạn nên mong các bạn thông cảm.
Câu a dễ nhất nên mình xin giải trước
#744723 Chứng minh$M,N,O$ thẳng hàng
Đã gửi bởi MHN on 29-04-2024 - 17:13 trong Hình học
Theo định lí $Thales$ ta có: $CP//DL$ $\Rightarrow \frac{ID}{IP}=\frac{IL}{IC}$
$BG//KD$ $\Rightarrow \frac{ID}{IG}=\frac{IK}{IB}$
$KL//BC$ $\Rightarrow \frac{IK}{IC}=\frac{IL}{IC}$ $\Rightarrow \frac{ID}{IG}=\frac{ID}{IP}$ $\Rightarrow IP=IG$ $\Rightarrow P\equiv G$
$\Rightarrow \widehat{ABG}=\widehat{ACG}=90^o$ $\Rightarrow ABGC$ nội tiếp $\Rightarrow AG$ là đường kính đường tròn $(O)$.
Mà: $N;M;O$ là trung điểm $AI;AD;AG$ và $I;D;G$ thẳng hàng $\Rightarrow N;M;O$ thẳng hàng.
#744722 Chứng minh$M,N,O$ thẳng hàng
Đã gửi bởi MHN on 29-04-2024 - 16:05 trong Hình học
Câu a;b trước vậy.cho $\Delta ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn tâm $(O)$. đường cao $AD(D\in BC)$. gọi $E,F$ lần lượt là hình chiếu của $D$ lên $AB,AC$. gọi $I$ là giao điểm của $BF$ và $CE$
a, cm tam giác $BIC$ và tam giác $EIF$ đồng dạng
b, gọi $K$ là giao điểm của $BF$ và $DE$ . gọi $L$ là giao điểm của $CE$ và $DF$.cmr: $KL||BC$
c, gọi $M,N$ là trung điểm của $AD,AI$ cmr $M,N,O$ thẳng hàng
a; Ta có:$\widehat{AED}+\widehat{AFD}=180^o$$\Rightarrow AEDF$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{AEF}=\widehat{ADF}=\frac{1}{2}$sđ$\mathop {AF}^{\displaystyle\frown}$.
Mà:$\widehat{ADF}=\widehat{ACB}$ (Cùng phụ $\widehat{DAC}$)
$\Rightarrow \widehat{AEF}=\widehat{ACB} \Rightarrow \widehat{ACB}+\widehat{BEF}=180^o$
$\Rightarrow BEFC$ nội tiếp $\Rightarrow \Delta BIC \sim EIF$
b; $BEFC$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{BEC}=\widehat{BFC}=\frac{1}{2}$sđ$\mathop {BC}^{\displaystyle\frown}$
$\Rightarrow \widehat{KEL}=\widehat{BEC}-90^o=\widehat{BFC}-90^o=\widehat{KFL} \Rightarrow EKLF$ nội tiếp.
$\Rightarrow \widehat{IEF}=\widehat{IKL}=\widehat{IBC} \Rightarrow KL//BC$.
#744697 Tính $P=\frac{a}{a+b}+\frac{b}...
Đã gửi bởi MHN on 28-04-2024 - 00:11 trong Đại số
Dễ thấy:$(a+b)(b+c)(c+a)\neq 0$ $\Rightarrow \frac{a-b}{a+b}.\frac{b-c}{b+c}.\frac{c-a}{c+a}=1.$Cho $a;b;c$ phân biệt thoả mãn: $\left ( a-b \right )\left ( b-c \right )\left ( c-a \right )=\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )$
Tính $P=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}$
Đặt: $\frac{a-b}{a+b}=x; \frac{b-c}{b+c}=y;\frac{c-a}{c+a}=z$
$\Rightarrow xyz=1; \left\{\begin{matrix} x+1=\frac{2a}{a+b} & & \\ y+1=\frac{2b}{b+c} & & \\z+1=\frac{2a}{c+a} & & \end{matrix}\right.$
Ta cũng có: $\left\{\begin{matrix} 1-x=\frac{2b}{a+b} & & \\ 1-y=\frac{2c}{b+c} & & \\1-z=\frac{2a}{c+a} & & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow (x+1)(y+1)(z+1)=(1-x)(1-y)(1-z)\Leftrightarrow (xy+x+y+1)(z+1)=(xy-x-y+1)(1-z)$
$\Leftrightarrow xyz+xz+yz+z+xy+x+y+1=xy-x-y+1-xyz+xz+yz-z\Leftrightarrow x+y+z=-xyz=-1$
$\Rightarrow P=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}=\frac{x+1}{2}+\frac{y+1}{2}+\frac{z+1}{2}=\frac{x+y+z+3}{2}=1.$
#744587 Chứng minh PQ.CB=DC.QN và O là trung điểm của PQ.
Đã gửi bởi MHN on 18-04-2024 - 11:16 trong Hình học
Theo tính chất tiếp tuyến cắt nhau ta có: $\left\{\begin{matrix} MA=MB & \\OA=OB & \end{matrix}\right.\Rightarrow MO$ là đường trung trực của $AB$$\Rightarrow MO\bot AB$Cho đường tròn tâm O và điểm M nằm ngoài đường tròn. Từ M vẽ hai tiếp tuyến MA, MB của (O), (A, B là các tiếp điểm). Qua M vẽ đường thẳng cắt đường tròn tại C và D sao cho MC<MD hai điểm A và O khác phía so với đường thẳng MD. Gọi K là trung điểm của dây CD. Vẽ đường kính AN của (O); NC và ND cắt đường thẳng MO lần lượt tại P và Q. Chứng minh PQ.CB=DC.QN và O là trung điểm của PQ.
Mà: $\widehat{ABN}=90^o\Rightarrow BN\bot AB\Rightarrow MO//BN\Rightarrow \widehat{BNC}=\widehat{NPQ}$
Lại có: $\widehat{BNC}=\widehat{BDC}=\frac{1}{2}$sđ$\mathop {BC}^{\displaystyle\frown}$$\Rightarrow \widehat{NPQ}=\widehat{BDC}$
$\widehat{PNQ}=\widehat{DBC}=\frac{1}{2}$sđ$\mathop {CAD}^{\displaystyle\frown}$
$\Rightarrow \Delta PQN\sim \Delta DCB(g-g)\Rightarrow \frac{PQ}{DC}=\frac{QN}{BC}\Rightarrow PQ.BC=QN.DC$
Mặt khác: $\widehat{MBO}=\widehat{MKO}=90^o\Rightarrow MKOB$ nội tiếp.$\widehat{MKB}=\widehat{MOB}=\frac{1}{2}$sđ$\mathop {BM}^{\displaystyle\frown}$
Mà: $\widehat{MOA}=\widehat{MOB};\widehat{MOA}=\widehat{QON}\Rightarrow \widehat{MOB}=\widehat{QON}$
$\Rightarrow \widehat{MKB}=\widehat{QON}$
Kết hợp: $\widehat{OQN}=\widehat{KCB}(\Delta PQN\sim \Delta DCB)$$\Rightarrow \Delta QON\sim \Delta CKB(g-g)\Rightarrow \frac{QO}{CK}=\frac{QN}{BC}$
Mà:$\frac{PQ}{DC}=\frac{QN}{BC}\Rightarrow \frac{QO}{CK}=\frac{PQ}{DC}\Rightarrow \frac{QO}{CK}=\frac{PQ}{2CK}\Rightarrow QO=\frac{PQ}{2}$
$\Rightarrow O$ là trung điểm $PQ$
#744579 Tìm $min$ :$P=a+b+\frac{2024}{a+b}...
Đã gửi bởi MHN on 17-04-2024 - 22:19 trong Bất đẳng thức và cực trị
Ta cũng có thể lập luận như sau đều giống của anh William Nguyen:Phân tích:
Với giả thiết $a^2+4b=8$ và $a, b$ không âm ta có:
$4.(a+b)=4a+8-a^2=12-(a-2)^2 \leq 12 \Rightarrow a+b \leq 3$
Áp dụng BĐT Cô-si ta có: $a^2+4\geq 4a$. Dấu $'='$ xảy ra khi: $a=2$
Kết hợp giả thiết bài toán ta có: $4a+4b\leq 4+a^2+4b=4+8=12$
$\Rightarrow 0<a+b\leq 3$
#744576 Tìm $min$ :$P=a+b+\frac{2024}{a+b}...
Đã gửi bởi MHN on 17-04-2024 - 17:19 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho các số thực $a;b$ không âm thỏa mãn: $a^2+4b=8$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $$P=a+b+\frac{2024}{a+b}.$$
#744535 Chứng minh rằng: $\Delta OEF$ cân.
Đã gửi bởi MHN on 11-04-2024 - 11:49 trong Hình học
#744528 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
Đã gửi bởi MHN on 10-04-2024 - 16:23 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
$PT$ có $2$ nghiệm $x_{1};x_{2}$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m-5\neq 0 & \\ \Delta '=(m-1)^2-m(m-5)\geq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m\neq 5 & \\ \Delta '=m^2-2m+1-m^2+5m=3m+1\geq 0 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m\neq 5& \\ m\geq \frac{-1}{3} & \end{matrix}\right.$Thời gian làm bài: tối đa 30 phút.
Bài tập 4: Cho phương trình $(m-5)x^2+2(m-1)x+m=0 \quad \textbf{(1)}$. Với giá trị nào của $m$ thì $\textbf{(1)}$ có 2 nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_1<2<x_2$.
Theo hệ thức Viète ta có: $\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=-\frac{2(m-1)}{m-5} & \\ x_{1}x_{2}=\frac{m}{m-5} & \end{matrix}\right.$
Ta có:$x_{1}<2<x_{2}\Rightarrow (x_{1}-2)(x_{2}-2)<0\Leftrightarrow x_{1}x_{2}-2(x_{1}+x_{2})+4<0\Rightarrow \frac{m}{m-5}+\frac{4(m-1)}{m-5}+4<0\Leftrightarrow \frac{9m-24}{m-5}<0\Leftrightarrow \frac{8}{3}<m<5$
ĐCĐK: $\frac{8}{3}<m<5$ tm.
#744526 Chứng minh rằng với mọi cách điền số như trên đều có: $a_{1}+a...
Đã gửi bởi MHN on 10-04-2024 - 00:57 trong Toán rời rạc
(Nguồn: $TTT2$)
#744457 $(x+1)\sqrt{x^2+4x+7} + x(\sqrt{x^2+3}+1)=...
Đã gửi bởi MHN on 31-03-2024 - 16:23 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Đề này theo mình là: $(x+2)\sqrt{x^2+4x+7} + x(\sqrt{x^2+3}+1)=0$ thì đúng hơn.$(x+1)\sqrt{x^2+4x+7} + x(\sqrt{x^2+3}+1)=0$
giải phương trình
#744451 $m, n$ thỏa mãn $m(m+1)(m+2)=n^2$
Đã gửi bởi MHN on 31-03-2024 - 08:28 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Ta có: $m(m+1)(m+2)=n^2$$\Rightarrow m(m+1)(m+2)\geq 0\Rightarrow \left[\begin{matrix}m\geq 0\\-2\leq m \leq -1\\\end{matrix}\right.$Tìm các số nguyên $m, n$ thỏa mãn $m(m+1)(m+2)=n^2$
Xét: $m\in \left \{ -2;-1;0 \right \}\Rightarrow n=0$
Xét: $m>0\Rightarrow n^2\vdots m\Rightarrow n\vdots m\Rightarrow n=km\left ( k\in \mathbb{N^*} \right )$
$\Rightarrow m(m+1)(m+2)=k^2m^2\Leftrightarrow (m+1)(m+2)=mk^2$
Ta có:$\left ( m;m+1 \right )=1\Rightarrow k^2\vdots (m+1)\Rightarrow k\vdots (m+1)\Rightarrow k=a(m+1)$ với $(a\in \mathbb{N^*})$
$\Rightarrow (m+1)(m+2)=m(m+1)^2a^2\Leftrightarrow m+2=m(m+1)a^2\Leftrightarrow (m+1)(ma^2-1)=1\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m+1=1 & \\ ma^2-1=1 & \end{matrix}\right.$
($PTVN$ vì $m>0$)
Vậy phương trình có nghiệm là: $\left ( m;n \right )\in \left \{ (-2;0);(-1;0);(0;0) \right \}$
#744447 CMR khi $\widehat{EAF}$ quay quanh $A$ thì...
Đã gửi bởi MHN on 30-03-2024 - 19:48 trong Hình học
Bài này là câu hình trong đề thi HSG tỉnh Phú Thọ lớp 9 năm 2013-2014.Cho đường tròn $(O,R)$ và dây $BC$ không qua tâm. $A$ là một điểm chính giữa cung nhỏ $BC$. Góc nội tiếp $EAF$ quay quanh $A$ và có số đo là $\alpha$ không đổi sao cho $E, F$ nằm trên cung lớn $BC.\quad AF, AE$ cắt $BC$ tại $M,N$. Dựng hình bình hành $MNED$. Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle MDF$. CMR khi $\widehat{EAF}$ quay quanh $A$ thì $I$ chuyển động trên đường thẳng cố định.
Đề thi HSG tỉnh Phú Thọ năm 2013-2014.rar 253.44K 105 Số lần tải
#744402 Chứng minh rằng: $$\frac{a}{b}+\frac...
Đã gửi bởi MHN on 27-03-2024 - 17:31 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho các số thực dương $a;b;c$ thỏa mãn $a+b+c=7$. Chứng minh rằng: $$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+abc\geq ab+bc+ca-2$$
#744390 Chứng minh rằng:$$\left ( \frac{b}{a+c...
Đã gửi bởi MHN on 26-03-2024 - 23:24 trong Bất đẳng thức và cực trị
- Diễn đàn Toán học
- → MHN nội dung