Bài 2. Tìm tất cả các hàm $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn: 

$$f(x-1)f(y^2)=yf(xy)-yf(y), \forall x,y \in \mathbb{R}$$

Bài 1. Tìm tất cả các hàm $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn: 

 $$f(f(xy-x))+2f(x+y)=2yf(x)+2f(y), \forall x,y \in \mathbb{R}$$

Xin chào các bạn, mình định lập topic này để mọi người đưa ra các bài tập liên quan đến phương trình hàm để cùng luyện tập. Mong được các bạn hưởng ứng.

Về kết quả này, em thấy nó khá có ích. Và đi thi cũng không phải chứng minh.

Cho đa thức $P(x)$ hệ số thực, có bậc không nhỏ hơn $1$. 

a) Khi đó $\forall \varepsilon >0$, chứng minh tồn tại $c$ sao cho $|P(x)| > c, \forall |x| > c$. 

b) Chứng minh tồn tại số thực $c > 0$ sao cho $P(x)$ đơn điệu trên $(−∞, −c)$ và $(c, +∞)$

Ta xét 2 TH sau:

+) TH1: $P'(x)$ không có nghiệm thực suy ra đpcm.

+) TH2: $P'(x)$ có nghiệm thực. Rõ ràng số nghiệm của $P'(x)$ phải hữu hạn vì $P(x)$ là đa thức. Khi đó, ta chọn số $c$ dương đủ lớn sao cho mọi nghiệm của $P'(x)$ thuộc đoạn $[-c,c]$. Khi ây, $P'(x)$ không đổi dấu trên 2 khoảng $(-\infty,-c) , (c,+\infty)$. Do đó $P(x)$ đơn điệu trên mỗi khoảng đó.

 

 

 Tìm tất cả các hàm số $f:(0; +\infty )\rightarrow (0; +\infty )$ thỏa mãn: 

  $f(xy+f(x))=xf(y)+f(x),  \forall x, y\in (0; +\infty ).$

 

 

Kết quả: $f(x)=x, \forall x>0$ . 

 

 Tìm tất cả các hàm số $f:(0; +\infty )\rightarrow (0; +\infty )$ thỏa mãn: 

  $f(xy+f(x))=xf(y)+f(x),  \forall x, y\in (0; +\infty ).$

Không biết sao nó sang mục Dãy số và giới hạn, mong các MOD sửa giùm e với ạ,

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn: $ a^2+b^2+c^2=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$ P= \frac{a^2}{b+c} +\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b} +\frac{3abc}{2(ab+bc+ca)}$

Cho 3 số thực x; y; z không âm sao cho không có 2 số nào cùng = 0. Chứng minh rằng:
$(x+y+z)^2(\frac{1}{2}+\frac{1}{x^2y+y^2z+z^2x}) +\frac{36}{x+y+z+1} \geq \frac{63}{4}$

Bài này không biết ổn không, dấu bằng tại tâm $x=y=z$ không xảy ra, và khi 1 biến bằng 0 cũng không được (!!!)

Schur cũng khá gọn nhưng để chứng minh Schur và hệ quả của nó trong phòng thi thì không được thực dụng lắm.

Bdt Schur được dùng thẳng nhé. Còn nếu chứng minh thì 2 dòng.

Cho ba số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z\geq \frac{1}{4}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$.

Tìm GTLN của biểu thức $P(x,y,z)=\frac{1}{(2x+y+z)^{2}}+\frac{1}{(x+2y+z)^{2}}+\frac{1}{(x+y+2z)^{2}}$

Ta có: $P(x,y,z)=\sum \frac{1}{[(x+y)+(x+z)]^{2}}$

Theo bđt AM-GM thì $(x+y)+(y+z) \ge 2 \sqrt{(x+y)(x+z)}$. Thiết lập các bđt tương tự, ta được:

$P \le \frac{x+y+z}{2(x+y)(y+z)(z+x)}$. Chú ý: $(x+y)(y+z)(z+x) \ge \frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+zx)$

Như vậy $P \le \frac{9}{16(xy+yz+zx)}$. Từ GT, ta được $4xyz(x+y+z) \ge xy+yz+zx$. Mà $(xy+yz+zx)^2 \ge 3(x+y+z)xyz$. 

Do đó: $xy+yz+zx \ge \frac{3}{4}$. Như vậy $P \le \frac{3}{4}$. Đẳng thức xảy ra $\iff x=y=z=\frac{1}{2}$.

P/S: Mình mới tham gia diễn đàn nên chưa quen gõ Latex!!!

Câu 3.2
Idea của em sẽ là đánh giá tích $(a+3)(b+3)(c+3) \ge 64$

đưa về $p,q,r$ tức ta cần chứng minh $r+9p \ge 28$. Công việc này khá đơn giản ta chỉ việc xét $\frac{28}{9} \ge p \ge 3$.

Chú ý bđt $r \ge \frac{p(4q-p^2)}{9}$ .Tiếp theo là biến đổi tương đương là xong