@ noproof: Lời giải đúng rồi đấy. Ông thầy đó thực ra không làm được bài này (Bật mí: ông này là tác giả cuốn Fields and Galois Theory )

@ vinhspiderman: Cái tớ không cần cậu giải thích thì cậu giải thích, còn cái tớ cần cậu giải thích thì cậu lại không giải thích . Đây này

"từ cấm"yxyx*x*=x*yyyx,suy ra ngay xxyxyx*=yyy

Đi tu xong về nghĩ tiếp nhá

@ vinhspiderman:

1) Cậu giải thích rõ hơn điều này xem nào

"từ cấm"yxyx*x*=x*yyyx-->xxyxyx*=yyy

2) Chịu khó gõ Tex đi chứ. Cậu sang bên box THCS mà xem mấy em lớp 6 lớp 7 đang gõ Tex ầm ầm kia kìa.

3) Biết gõ xong Tex rồi thì quay lại sửa cái bài cậu viết về nhóm Sylow cho nó thật hoành tráng vào, mọi người sẽ đọc dễ hơn

Như vậy nhóm http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?<x,y>=\{e,x,x^{-1}\}

mathsbeginner bỏ rơi mấy cái lũy thừa của à

@ vinhspiderman: cậu lại thi triển bài Lăng Ba Vi Bộ để tránh câu hỏi của noproof đấy hả. Câu hỏi đây cơ mà

x*x*x*yx*yxx=x*yyyx rút gọn đi ta được
x*(x*yx*y)x=e

@ noproof: yeap, đúng là Pat Morandi. Ông này có tiếng là thao tác nhanh và thông minh, không hiểu sao gặp bài này lại bó tay

Đề nghị với Nhóm quản lý: Cho thêm nhóm CTV3 được điều hành box Du học-học bổng, và tha cho việc "dọn rác" ở Quán phim.

Nghe được bài này trong phim "Witness" (1985, Harrison Ford). Thấy cũng vui vui.


Lyrics

Don't know much about history
Don't know much biology
Don't know much about a science book
Don't know much about the French I took

But I do know that I love you
And I know that if you love me too
What a wonderful world this would be

Don't know much about geography
Don't know much trigonometry
Don't know much about algebra
Don't know what a slide rule is for.

But I do know that one and one is two,
And if this one could be with you,
What a wonderful world this would be.

Now i don't claim to be an "A" student,
But I'm trying to be.
So maybe by being an "A" student baby
I can win your love for me.

Don't know much about history
Don't know much biology
Don't know much about a science book
Don't know much about the French I took.

But I do know that I love you,
And I know that if you love me too,
What a wonderful world this would be.

Latatatatatatahuwaah (history)
Oehwoewoe (biology)
Latatatatatatahuwaah (science book)
Oehwoewoe (French I took)

But I do know that I love you,
And I know that if you love me too,
What a wonderful world this would be.

Chú nhờ giúp thì chú nói rõ là nhờ, chứ cách post bài của chú làm cho mọi người (ít nhất là tớ) nghĩ là chú mang ra thách đố để góp vui.

Hóa ra việc tìm ví dụ một nhóm có tập các commutator không làm thành nhóm con không phải là tầm thường. Định đặt bút tính thử mấy cái commutators của vài nhóm đối xứng, may mà phát hiện ra cách đây nửa thế kỷ Ore đã chứng minh được tập các commutators của nhóm đối xứng http://dientuvietnam...mimetex.cgi?S_n chính bằng nhóm thay phiên http://dientuvietnam...imetex.cgi?A_n.

Chú có thể download bài báo (2005) sau đây

http://faculty.evans...tatorsurvey.pdf

Trong này có tổng hợp lại các loại nhóm mà các commutators của chúng không làm thành nhóm con. Chí có điều vì là survey nên không có các chứng minh chi tiết. Chắc có thể nhìn vào reference để tìm chứng minh.

Ví dụ đó được cho dưới dạng bài tập, như sau:

"Chúng minh rằng nhóm sinh bởi các phần tử

http://dientuvietnam...mimetex.cgi?(ik)(jl)(mo)(np).

Ví dụ này cũng được nhắc đến trong bài báo trên kia, tr. 11-12.

Giả thiết rằng mathun đang làm việc trên vành giao hoán.

i) Câu trả lời là có. Đó là hệ quả của bài toán bạn nêu ra trong topic Homological Dimension.

ii) Câu trả lời cũng là có. Nó được suy ra từ hai bài toán sau:

1) Nếu http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?M là flat thì http://dientuvietnam...mimetex.cgi?i>0, với mọi môđun http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?N. (Suy ra từ định nghĩa của flatness).
2) Nếu http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?R là vành địa phương với trường residue http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?M là hữu hạn sinh thì chiều xạ ảnh của http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?M trên http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?R http://dientuvietnam...i?Tor_{d 1}(M,k)=0. (Dùng kỹ thuật tương tự như anh CXR đã đưa ra cho bài toán về http://dientuvietnam...imetex.cgi?Ext.)

Nếu mathun muốn có một lời giải không dùng nhiều đến các kỹ thuật của Đại số giao hoán như ở trên thì đọc trong sách của Weibel . Trong đó có chứng minh sử dụng đối ngẫu Pontrjagin, và chỉ cần giả thiết môđun http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?M là finitely presented flat, vành http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?R không nhất thiết là giao hoán.

Nếu http://dientuvietnam...cgi?m=p_1...p_k thì từ http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?x để http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?x là bội của http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?m, do vậy là phần tử 0 trong vành http://dientuvietnam...mimetex.cgi?Z_m nên không thể là phần tử lũy linh.

"lũy linh" ="nilpotent".

Vành http://dientuvietnam...mimetex.cgi?Z_m có phần tử lũy linh tức là tồn tại http://dientuvietnam...metex.cgi?x^n=0, (hiển nhiên http://dientuvietnam...mimetex.cgi?n>1). Tương đưong với tồn tại http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?m thành tích các lũy thừa của số nguyên tố http://dientuvietnam..._1}...p_k^{r_k} rồi lập luận rằng nếu một trong các http://dientuvietnam...mimetex.cgi?r_i lớn hơn 1 thì http://dientuvietnam...cgi?x=p_1...p_k là phần tử lũy linh, còn nếu tất cả các http://dientuvietnam...mimetex.cgi?r_i đều bằng 1 thì không có phần tử lũy linh nào.

Mình không thạo với các mấy cái phần mềm chuyên dụng cho Đại số giao hoán lắm, mặc dù cũng có đôi lúc phải dùng đến . Mình đã thử chạy bằng Macaulay2. Nếu không có gì nhầm lẫn thì Macaulay2 làm việc được với ideal mà bạn đưa ra. Thứ tự đơn thức mà mình đã dùng là graded reverse lexicographic order (thứ tự mặc định của Macaulay2).

Hình như chỉ có 8 phần tử trong cái reduced groebner basis, nhưng rất phức tạp.

Trang web của Macaulay2

http://www.math.uiuc.edu/Macaulay2/

Hãy thử tìm cách xây dựng một http://dientuvietnam...etex.cgi?p-nhóm con Sylow của http://dientuvietnam...tex.cgi?S_{p^2} xem sao đã. Lấy ý tưởng từ cách xây dựng 2-nhóm con Sylow của nhóm http://dientuvietnam...mimetex.cgi?S_4 của bác bupbebe trong đây http://diendantoanho...?showtopic=2335

Trước hết ta dùng ký hiệuhttp://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S_{p^2}, trong đó mỗi http://dientuvietnam...mimetex.cgi?A_i là một khối gồm http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?p phần tử. Gọi http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?H là tập con của http://dientuvietnam...tex.cgi?S_{p^2} bao gồm:

1) Các hoán vị http://dientuvietnam...mimetex.cgi?A_i là một hoán vị vòng quanh của http://dientuvietnam...imetex.cgi?A_i.

Có thể chứng minh được:

i) http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?H là một nhóm con của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S_{p^2}.

ii) http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?H gồm http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p^{p+1} phần tử.

Vậyhttp://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p-nhóm con Sylow của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S_{p^2}.

Ghi chú: Gọi một hoán vị vòng quanh của một tập có thứ tự, chẳng hạn, {1,2,3} là một trong các tập {1,2,3}, {2,3,1}, {3,1,2}.

Sửa lại tí ti. Trong (2) phải là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\delta\tau\delta^{-1}=\sigma^m\tau^n. Đồng thời cần phải giả sử http://dientuvietnam...etex.cgi?S_{np} với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{(np)!}{n!&#091;p(p-1)]^n}.

Với nhóm http://dientuvietnam...tex.cgi?S_{p^2} thì http://dientuvietnam...etex.cgi?p-nhóm con Sylow sẽ có http://dientuvietnam...tex.cgi?p^{p 1} phần tử, nên cách làm sẽ khác chăng?

Lời giải của noproof hơi bị súc tích nhỉ .

Có thể giải bài này bằng cách khác, dài hơn và mang dáng dấp của đại số nhiều hơn là tổ hợp. Ý tưởng giống như cách tính số các http://dientuvietnam...etex.cgi?p-nhóm con Sylow của nhóm http://dientuvietnam...etex.cgi?p-nhóm con Sylow của một nhóm G bằng cấp của nhóm thương http://dientuvietnam...metex.cgi?G/N(H), trong đó http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?H là một http://dientuvietnam...etex.cgi?p-nhóm con Sylow bất kỳ và http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?H.

Lấy http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?H là một http://dientuvietnam...etex.cgi?p-nhóm con Sylow (cấp http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?p) của http://dientuvietnam...mimetex.cgi?S_p sinh bởi xích (cycle) http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?N(H) của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?H, tức là số các hoán vị http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?&#091;0,p-1].

Viết cụ thể với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?N(H) bằng số các hoán vị http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?k nào đó thuộc http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?k=0 không cho một hoán vị nào như vậy.

Với mỗi giá trị của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?k từ 1 tới http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p-1, http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p, tương ứng cho ta http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p hoán vị http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?N(H) là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p(p-1). Do đó số các http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p-nhóm con Sylow của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S_p bằng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?|G/N(H)|=p!/p(p-1)=(p-2)!.

Ai rỗi rãi thử tính số các http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p-nhóm con Sylow của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S_{2p} xem sao. Biết đâu lại suy ra được Định lý lớn Fermat

Định lý Wilson trong số học phát biểu rằng nếu http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?p là số nguyên tố thì http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?p). Có thể suy ra được định lý này từ việc đếm số các http://dientuvietnam...etex.cgi?p-nhóm con Sylow của nhóm đối xứng http://dientuvietnam...imetex.cgi?S_p. Bạn hãy thử giải thích xem tại sao?

Hoan hô thủ môn Quang Huy đã xuất sắc cản phá được quả đá phạt như trái phá của đội bạn, cứu cho đội nhà khỏi phải chấp nhận thua với tỉ số truyền thống 4-0

Theo các đồng chí thì ai là hoa khôi của đội tuyển nữ VN Tớ không có điều kiện xem các trận đấu của đội tuyển nữ nhưng cũng có ngó trộm chị em trong mấy cái clips được đưa lên trên web, và tớ chấm cho Văn Thị Thanh :rose

Vừa rồi xem lại mấy pha trong trận chung kết VN-Myanmar, nếu không có chú thích ở đấy thì cứ tưởng đội nữ VN đang đá với đội nam của Myanmar cơ đấy. Nhìn các chị em của chúng ta trông vẫn rất nữ tính và đáng yêu, đến nỗi sút bóng vào cầu môn bỏ trống mà cũng còn tạo dáng, khiến đội bạn phá ra được. Tiếc quá

Ý tưởng của chứng minh bài tập trên (trong sách của Suzuki) là dùng quy nạp. Nếu ta chỉ ra được nhóm http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?N, thì ta có thể áp dụng giả thiết quy nạp cho nhóm thương http://dientuvietnam...imetex.cgi?G/N.

Vấn đề là ở chỗ chứng minh sự tồn tại nhóm con chuẩn tắc này. Trong sách có hướng dẫn chứng minh bằng phản chứng. Giả sử nhóm http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?G là nhóm đơn, không abel và có tất cả các nhóm con cực đại đều abel. Khi đó sẽ tìm ra được mâu thuẫn với câu c) một bài tập trước đó như sau:

Bài tập. Cho http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?G là một nhóm hữu hạn, http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?H là một nhóm con có tính chất

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?K là một nhóm cũng có tính chất giống như http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?H, thì tồn tại sao cho
d)...........................

(Câu b) và d) không quan trọng).

Việc chứng minh bài tập này có thể nhìn thấy được, tuy nhiên suy ra được mối liên hệ với của nó với bài toán ta đang quan tâm thì tớ chưa nhìn ra.

Mọi người cùng nghĩ xem sao.

Cho $A=G$ và chú ý rằng mọi nhóm tâm đều giao hoán ==> chẳng còn gì để chứng minh.

Định nghĩa của http://dientuvietnam...metex.cgi?N_G(S) và http://dientuvietnam...metex.cgi?C_G(S) mà Ham_Toan đưa ra có hạn chế http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?S là tập con thực sự của http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?G. Do vậy trong bài toán này http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?A được ngầm hiểu là nhóm con thực sự.

Nhân tiện nhắn Mr Stoke: Để dùng được Tex bạn gõ công thức trước rồi bôi đen và nhấp vào lựa chọn Tex ở trên, chứ không dùng ký hiệu $. Các bác Admin không thích tiền

Một bài tập (7, (b), tr. 113) trong quyển Lý thuyết nhóm của Suzuki nói rằng:

Nếu tất cả các nhóm con cực đại của một nhóm hữu hạn là abel thì ít nhất một trong chúng là chuẩn tắc.

Có thể dùng nó để giải quyết bài của bạn như sau. Giả thiết nói rằng nếu http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?x giao hoán với mọi phần tử trong http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?A. Từ đó dễ thấy mọi nhóm con thực sự của http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?G đều là abel.

Theo bài tập trên thì có một nhóm con cực đại http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?H, abel, và chuẩn tắc trong http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?G. Lấy http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?x là một phần tử bất kỳ không thuộc http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?H. Do http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?H chuẩn tắc nên theo giả thiết http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?x giao hoán với mọi phần tử trong http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?H. Mặt khác, nhóm con sinh bởi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?H lớn hơn http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?H, nên bắt buộc phải bằng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?G. Vì http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?H là abel và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x giao hoán với mọi phần tử của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?H nên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?G là abel.

Tuy vậy, chứng minh bài tập trên không dễ lắm. Ai có lời giải nào khác đơn giản thì post lên hộ cái .

Song_ha có thể vào Mathscinet tìm bài báo sau

Alford, W. R.; Granville, Andrew; Pomerance, Carl. There are infinitely many Carmichael numbers. Ann. of Math. (2) 139 (1994), no. 3, 703--722

Khó lắm . Đọc qua cái review thì biết đại khái rằng mấy bác này chứng minh được http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?x đủ lớn, trong đó http://dientuvietnam...mimetex.cgi?C(x) là số các số Carmicheal không vượt quá http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?x.

Có lẽ chỉ hi vọng được các chuyên gia Lý thuyết số trong Diễn đàn nêu qua ý tưởng của chứng minh thôi.

  Hãy kiểm tra tính đúng đắng của khẳng định sau :
 

Khẳng định này không đúng, nên hơi đắng . Phản ví dụ cho nó không phức tạp lắm đâu.

trên vành Noether tổng trực tiếp nội xạ khi mỗi thành phần của nó nội xạ

Điều ngược lại cũng đúng. Tức là:

Một vành http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?R là Noether khi và chỉ khi tổng trực tiếp các http://dientuvietnam...tex.cgi?R-môđun nội xạ là nội xạ.

Đây chính là nội dung của đặc trưng Bass cho vành Noether. Có thể dùng khẳng định này để chứng minh bài toán mà mathun đã nêu ra.

Về chứng minh (không phức tạp lắm) của đặc trưng Bass ở trên có thể được xem tại

Chase, Stephen U. Direct products of modules. Trans. Amer. Math. Soc. 97 1960 457--473.

Bài báo này có phiên bản online trên MathSciNet.

Anh CXR và phu nhân vẫn mạnh khỏe. Bác ấy đang tạm thời tránh bão ở Missouri. Khi nào nước đi, cây xanh trở lại, bác sẽ quay về