có thể
$a_n=\dfrac{6n+9.(-1)^n+11}{4}$
tuan101293 nội dung
Có 316 mục bởi tuan101293 (Tìm giới hạn từ 09-06-2020)
#266485 Bài đơn giản
Đã gửi bởi
on 25-06-2011 - 20:56
trong
Số học
Với p=3,thay n=1 ta thấy vô lýBài Toán :
Tìm số nguyên tố lẻ nhỏ nhất $p$ thoả mãn tính chất :
$ 2^{n+1} | \leftfloor[ (3 + \sqrt{p} )^{2n} \rightfloor] +1 \ \ \forall n \in \mathbb{N}$
suy ra $p\ge 5$
Ta sẽ CMR với p=5 thì thỏa mãn
thật vậy
do $(3+\sqrt{5})^{2n}+(3-\sqrt{5})^{2n}\in Z_{+}$ và $0<3- \sqrt{5}<1$
suy ra $[(3+\sqrt{5})^{2n}]+1=(3+\sqrt{5})^{2n}+(3-\sqrt{5})^{2n}=x_n$
XD công thức truy hồi $x_{n+1}=28x_{n}-16x_{n-1}$
quy nạp ta có ngay p=5 thỏa mãn
#227526 BĐT lượng
Đã gửi bởi
on 27-01-2010 - 22:53
trong
Bất đẳng thức - Cực trị
ta có $sin\alpha=\dfrac{a}{2R}$
thay vào ta có bdt tương đương $\sum \dfrac{a^2b^2}{c^2}\ge 9R^2$
mà $R=\dfrac{abc}{4S}=\dfrac{abc}{\sqrt{p\prod(p-a}}$
nên bdt tương đương $\sum \dfrac{2}{a^4}\ge \dfrac{9}{(a+b+c)\prod(a+b-c)}$
đặt a^2=x,b^2=y,c^2=z ta phải CM:
$(\sum \dfrac{1}{x^2})(2\sum xy-\sum x^2)\ge 9$
$\sum_{cyc}(\dfrac{2}{xy}-\dfrac{1}{z^2})(x-y)^2\ge 0$
giả sử $x\ge y\ge z$
suy ra $S_{a}\ge 0$
ta chỉ cần CM
$b^2S_{b}+c^2S_{c}\ge 0$
tương đương $b^3+c^3\ge abc$
đúng vì $b^3+c^3\ge (b+c)bc>abc$
ĐPCM
thay vào ta có bdt tương đương $\sum \dfrac{a^2b^2}{c^2}\ge 9R^2$
mà $R=\dfrac{abc}{4S}=\dfrac{abc}{\sqrt{p\prod(p-a}}$
nên bdt tương đương $\sum \dfrac{2}{a^4}\ge \dfrac{9}{(a+b+c)\prod(a+b-c)}$
đặt a^2=x,b^2=y,c^2=z ta phải CM:
$(\sum \dfrac{1}{x^2})(2\sum xy-\sum x^2)\ge 9$
$\sum_{cyc}(\dfrac{2}{xy}-\dfrac{1}{z^2})(x-y)^2\ge 0$
giả sử $x\ge y\ge z$
suy ra $S_{a}\ge 0$
ta chỉ cần CM
$b^2S_{b}+c^2S_{c}\ge 0$
tương đương $b^3+c^3\ge abc$
đúng vì $b^3+c^3\ge (b+c)bc>abc$
ĐPCM
#301616 Tồn tại vô số cặp số nguyên dương $(a;b)$
Đã gửi bởi
on 29-02-2012 - 21:29
trong
Số học
lâu lâu vào làm thử 1 bài @@
$a+b|ab+1$ nên $a+b|b(a+b)-ab-1=b^2-1$
tương tự ta có $a-b|b^2-1$, chú ý $(a+b,a-b)|2$ do (a,b)=1 suy ra $a^2-b^2|2(b^2-1)$
xài cái bất pt ở dưới, ta suy ra luôn phải chọn (a,b) để $a^2-b^2=2b^2-2$ hay là $a^2=3b^2-2$ (có nghiệm (1,1) nên hiển nhiên vô số nghiệm). Ta chỉ cần kiểm tra xem (a,b) có t/m 2 đk đầu ko
đến đây ta có a,b đồng dư mod 2 hay tồn tại (x,y) để
$a=x+y, b=x-y$ suy ra $x^2+y^2-4xy=1$ nên ta có ngay 2 đk ban đầu t/m
ĐPCM
(làm vội nên ko chắc)
$a+b|ab+1$ nên $a+b|b(a+b)-ab-1=b^2-1$
tương tự ta có $a-b|b^2-1$, chú ý $(a+b,a-b)|2$ do (a,b)=1 suy ra $a^2-b^2|2(b^2-1)$
xài cái bất pt ở dưới, ta suy ra luôn phải chọn (a,b) để $a^2-b^2=2b^2-2$ hay là $a^2=3b^2-2$ (có nghiệm (1,1) nên hiển nhiên vô số nghiệm). Ta chỉ cần kiểm tra xem (a,b) có t/m 2 đk đầu ko
đến đây ta có a,b đồng dư mod 2 hay tồn tại (x,y) để
$a=x+y, b=x-y$ suy ra $x^2+y^2-4xy=1$ nên ta có ngay 2 đk ban đầu t/m
ĐPCM
(làm vội nên ko chắc)
#226859 lại trigonometric
Đã gửi bởi
on 22-01-2010 - 17:24
trong
Bất đẳng thức - Cực trị
ta có $\dfrac{(cosA)^2}{(cosB)^2}+\dfrac{(cosA)^2}{(cosB)^2}+\dfrac{(cosB)^2}{(cosC)^2}\ge 3\dfrac{(cosA)^2}{\sqrt[3]{\prod (cosA)^2}}\ge 12(cosA)^2$
lấy sigma 2 vế suy ra
$VT\ge 4(\sum (cosA)^2+2\prod cosA)=4$
ĐPCM
lấy sigma 2 vế suy ra
$VT\ge 4(\sum (cosA)^2+2\prod cosA)=4$
ĐPCM
#221138 bài viết thứ 100
Đã gửi bởi
on 21-11-2009 - 23:33
trong
Bất đẳng thức và cực trị
ý tưởng chỉ là côsi thôi mà em:
$\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+b\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{a^2b}{4}}=3\sqrt[3]{\dfrac{1}{4}}$
cái sau thì tương tự nha
$\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+b\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{a^2b}{4}}=3\sqrt[3]{\dfrac{1}{4}}$
cái sau thì tương tự nha
#221417 Đề thi học sinh giỏi đây
Đã gửi bởi
on 24-11-2009 - 18:40
trong
Bất đẳng thức và cực trị
Câu sau là đề thi TP vừa rồi mà.
đặt pt đường thẳng đó là y=ax+b (d)
d tiếp xúc đồ thị tại 2 điềm phân biệt tương đương pt
$ax+b=(x-1)(x^3+x^2+1)$
đến đây em dùng viét là ra.
đặt pt đường thẳng đó là y=ax+b (d)
d tiếp xúc đồ thị tại 2 điềm phân biệt tương đương pt
$ax+b=(x-1)(x^3+x^2+1)$
đến đây em dùng viét là ra.
#230461 Hệ hay......
Đã gửi bởi
on 28-02-2010 - 18:10
trong
Phương trình - Hệ phương trình - Bất phương trình
Nếu có điều kiện x,y,z>0 ,Th còn lại mình chưa xét
thì Bài này giải = hình học là đẹp nhất
Ý giải thế này nhé (TH x,y,z>0)
Viết lại 2 pt đầu $x^2+2x*\dfrac{y}{\sqrt{3}}+(\dfrac{y}{\sqrt{3}})^2=5^2$ suy ra x và $\dfrac{y}{\sqrt{3}}$ là 2 cạnh 1 tam giác,có góc xen giữa là 150,cạnh đối diện góc này là 5
$z^2+(\dfrac{y}{\sqrt{3}})^2=3^2$ suy ra z và $\dfrac{y}{\sqrt{3}}$ là 2 cạnh tam giác có góc xen giữa là 90 ,cạnh đối diện là 3
từ pt cuối suy ra x,z là 2 cạnh 1 tam giác có góc xen giữa là 120 ,cạnh đối diện góc này là 4
Từ đó bạn dựng tam giác vuông có ABC có AB=3,AC=4,BC=5 và bạn dựng điểm M có tính chất: góc BMA=90,góc CMA=120 thì góc BMC=150
suy ra $MB=\dfrac{y}{\sqrt{3}},MC=x,MA=z$
Bạn tính tổng sau $6=S(ABC)=S(MAB)+S(MBC)+S(MCA)=\dfrac{xy+2yz+3zx}{4\sqrt{3}}$
suy ra $xy+2yz+3zx=24\sqrt{3}$
thì Bài này giải = hình học là đẹp nhất
Ý giải thế này nhé (TH x,y,z>0)
Viết lại 2 pt đầu $x^2+2x*\dfrac{y}{\sqrt{3}}+(\dfrac{y}{\sqrt{3}})^2=5^2$ suy ra x và $\dfrac{y}{\sqrt{3}}$ là 2 cạnh 1 tam giác,có góc xen giữa là 150,cạnh đối diện góc này là 5
$z^2+(\dfrac{y}{\sqrt{3}})^2=3^2$ suy ra z và $\dfrac{y}{\sqrt{3}}$ là 2 cạnh tam giác có góc xen giữa là 90 ,cạnh đối diện là 3
từ pt cuối suy ra x,z là 2 cạnh 1 tam giác có góc xen giữa là 120 ,cạnh đối diện góc này là 4
Từ đó bạn dựng tam giác vuông có ABC có AB=3,AC=4,BC=5 và bạn dựng điểm M có tính chất: góc BMA=90,góc CMA=120 thì góc BMC=150
suy ra $MB=\dfrac{y}{\sqrt{3}},MC=x,MA=z$
Bạn tính tổng sau $6=S(ABC)=S(MAB)+S(MBC)+S(MCA)=\dfrac{xy+2yz+3zx}{4\sqrt{3}}$
suy ra $xy+2yz+3zx=24\sqrt{3}$
#222436 Đa thức
Đã gửi bởi
on 06-12-2009 - 19:38
trong
Phương trình - Hệ phương trình - Bất phương trình
CMR với mọi $f(x)\in Z[x]$ với $deg f\ge 1 $ thì tồn tại $g(x)\in Z[x]$ mà f(g(x)) là đa thức khả quy trong Z[x]
#238174 giúp em gấp 2 bài
Đã gửi bởi
on 25-08-2010 - 21:08
trong
Số học
b1,phân tích suy ra $y=\dfrac{x-40}{2x}$,ta cần tìm x sao cho cái này nguyên là ok. ($x|40$)B1. 5/x+ y/4 =1/8 tìm x;y nguyên
B2. CM:
1/2!+ 2/3! +3/4!+......+99/100! <1
CM nhỏ hơn 1,5 thì dễ mà cm nhỏ hơn 1 thì khó ế
b2,$VT=\dfrac{2-1}{2!}+\dfrac{3-1}{3!}+....+\dfrac{100-1}{100!}=1-\dfrac{1}{2!}+...+\dfrac{1}{99!}-\dfrac{1}{100!}=1-\dfrac{1}{100!}<1$
#245267 PT ngiem nguyen!
Đã gửi bởi
on 25-10-2010 - 18:58
trong
Số học
Xài cái này
$x^2+y^2\equiv 0 (mod p)$ với p là số nguyên tố có dạng 4k+3
thì $p|x,p|y$
***
áp dụng với 2011 (số nguyên tố có dạng 4k+3)
Đặt $1995^k+1=2t$ suy ra $x^2=2011^t*x_1,y^2=2011^t*y_1$
nên ${x_1}^2+{y_1}^2=10-z$
thử vào suy ra nghiệm $(x_1,y_1)=(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),$ và hoán vị
nhân thêm... suy ra nghiệm
$x^2+y^2\equiv 0 (mod p)$ với p là số nguyên tố có dạng 4k+3
thì $p|x,p|y$
***
áp dụng với 2011 (số nguyên tố có dạng 4k+3)
Đặt $1995^k+1=2t$ suy ra $x^2=2011^t*x_1,y^2=2011^t*y_1$
nên ${x_1}^2+{y_1}^2=10-z$
thử vào suy ra nghiệm $(x_1,y_1)=(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),$ và hoán vị
nhân thêm... suy ra nghiệm
#454173 Chứng minh rằng $x=a$
Đã gửi bởi
on 30-09-2013 - 00:38
trong
Số học
Bài này là IranMO 1998 có lời giải trong quyển number theory structure của titu nhé
#256271 BDT chuối
Đã gửi bởi
on 27-03-2011 - 22:49
trong
Bất đẳng thức và cực trị
ta CM $xy+xz-2\ge 2\sqrt{x^2+1}$ tương đương $(xy-xz)^2\ge 0$ ĐúngCho $\ x,y,z $ là các số thực dương sao cho $\ x+y+z=xyz $ . cmr
$\ xy+yz+xz \ge 3+ \sum \sqrt{x^2+1}$
làm tương tự.cộng dọc ta có ĐPCM
(chú ý $xy,yz,zx>1$
#258545 Nhờ giúp một BĐT
Đã gửi bởi
on 20-04-2011 - 07:19
trong
Bất đẳng thức - Cực trị
*********1. Cho $p_1 = 2,p_2 = 3,p_3 = 5,...,p_n $ là n số nguyên tố đầu tiên, với n
3. CMR:
$\dfrac{1}{{p_1^2 }} + \dfrac{1}{{p_2^2 }} + \dfrac{1}{{p_3^2 }} + ... + \dfrac{1}{{p_n^2 }} + \dfrac{1}{{p_1 p_2 ...p_n }} < \dfrac{1}{2}$
LG:
có $p_n\ge 2n-1$ với mọi n (do trong 2 số liên tiếp ta chỉ có nhiều nhất 1 số nguyên tố (1 chẵn 1 lẻ ))
và do $p_1p_2...p_n>2*3*5*7$ với n>4
nên ta có
$VT=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{5^2}+\dfrac{1}{7^2}+\dfrac{1}{p_5^2}+....+\dfrac{1}{p_n^2}+\dfrac{1}{p_1....p_n}<\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{5^2}+\dfrac{1}{7^2}+(\dfrac{1}{9^2}+....+\dfrac{1}{(2n-1)^2})+\dfrac{1}{2*3*5*7}<\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{5^2}+\dfrac{1}{7^2}+(\dfrac{1}{7*9}+....+\dfrac{1}{(2n-3)(2n-1)})+\dfrac{1}{2*3*5*7}=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{5^2}+\dfrac{1}{7^2}+\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{9}+....+\dfrac{1}{2n-3}-\dfrac{1}{(2n-1)})+\dfrac{1}{2*3*5*7}<\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{5^2}+\dfrac{1}{7^2}+\dfrac{1}{2*7}+\dfrac{1}{2*3*5*7}<\dfrac{1}{2}$
ĐPCM
#230450 Phương trình hàm liên tục
Đã gửi bởi
on 28-02-2010 - 17:22
trong
Phương trình - Hệ phương trình - Bất phương trình
x=y=0 thì f(0)=0
CM quy nạp CT sau:f(nx)=nf(x) với mọi x thuộc đoạn [0;1/n]
suy ra f(p/q)=a*p/q
đến đây chọn hai dãy con thì ta có f(x)=ax là xong
CM quy nạp CT sau:f(nx)=nf(x) với mọi x thuộc đoạn [0;1/n]
suy ra f(p/q)=a*p/q
đến đây chọn hai dãy con thì ta có f(x)=ax là xong
#219824 TRỨNG CHỌI ĐÁ
Đã gửi bởi
on 08-11-2009 - 12:07
trong
Phương trình - Hệ phương trình - Bất phương trình
$(a,b,c,d)=(a,1-a,1-a(1-a),1-a(1-a)(1-a(1-a)))$
#226773 trigonometric''
Đã gửi bởi
on 21-01-2010 - 18:33
trong
Bất đẳng thức - Cực trị
Làm tiếp ý của bạn hiếu thế này
ta đặt tan(A/2)=a suy ra
ab+bc+ca=1
và ta phải CM:$\prod(\dfrac{\sqrt{3}(1+a^2)}{2a}-1)\ge 1$
tương đương $\prod(\sqrt{3}(1+a^2)-2a)\ge 8abc$
mà $\sqrt{3}a^2+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\ge 2a$
nên $\sqrt{3}(1+a^2)-2a\ge \dfrac{2}{\sqrt{3}}$,làm tt 3 bdt nữa rồi nhân lại với nhau
chú ý $8abc\le \dfrac{8}{3\sqrt{3}}$
suy ra đpcm
ta đặt tan(A/2)=a suy ra
ab+bc+ca=1
và ta phải CM:$\prod(\dfrac{\sqrt{3}(1+a^2)}{2a}-1)\ge 1$
tương đương $\prod(\sqrt{3}(1+a^2)-2a)\ge 8abc$
mà $\sqrt{3}a^2+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\ge 2a$
nên $\sqrt{3}(1+a^2)-2a\ge \dfrac{2}{\sqrt{3}}$,làm tt 3 bdt nữa rồi nhân lại với nhau
chú ý $8abc\le \dfrac{8}{3\sqrt{3}}$
suy ra đpcm
#454593 Cho n là số nguyên dương
Đã gửi bởi
on 02-10-2013 - 00:18
trong
Số học
ký hiệu $[n\sqrt{3}] = m$ và $a={n\sqrt{3}}=n\sqrt{3}-m$
ta có $3n^2-m^2>0$ nên $3n^2\ge m^2+2$ ($m^2+1$ không chia hết cho 3)
suy ra $3n^2-m^2\ge 2$ nên $a*(n\sqrt{3}+m) \ge 2$ suy ra $a\ge \frac{2}{n\sqrt{3}+m}>\frac{1}{n\sqrt{3}}$
q.e.d
#264374 giai giup tui cai ni voi iiiiiiiiiiiiiii
Đã gửi bởi
on 10-06-2011 - 23:09
trong
Các bài toán Đại số khác
anh xét trên N thôi
$2^x=1+y^z$
suy ra y lẻ
+, nếu z chẵn suy ra $1+y^z\equiv 2 (mod 8)$ hay x=1,y tùy ý ,z=0
+, nếu z lẻ suy ra $2^x=(y+1)(y^{z-1}+...+1)$
hiển nhiên $y^{z-1}+...+1$ là số lẻ suy ra z=1 suy ra $y=2^x-1$ với x tùy ý
$2^x=1+y^z$
suy ra y lẻ
+, nếu z chẵn suy ra $1+y^z\equiv 2 (mod 8)$ hay x=1,y tùy ý ,z=0
+, nếu z lẻ suy ra $2^x=(y+1)(y^{z-1}+...+1)$
hiển nhiên $y^{z-1}+...+1$ là số lẻ suy ra z=1 suy ra $y=2^x-1$ với x tùy ý
#264491 Chia hết 7^{n+2}
Đã gửi bởi
on 11-06-2011 - 23:06
trong
Số học
n=1 hiển nhiên đúng
Bài Toán :
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ ; ta có :
$ 7^{n+2} | 3^{7^{n}} -2^{7^{n}} -1$
ta CM quy nạp
:giả sử
đúng tới n hay ta có $3^{7^{n}} \equiv 2^{7^n}+1 (mod 7^{n+2})$
suy ra $3^{7^{n+1}}\equiv (2^{7^{n}}+1)^7 (mod 7^{n+3})$
suy ra $3^{7^{n+1}}-2^{7^{n+1}}-1\equiv 7*2^{7^{n}}*(2^{7^n}+1)(4^{7^{n}}+2^{7^n}+1)^2 (mod 7^{n+3})$
(do $(a+b)^7-a^7-b^7=7ab(a+b)(a^2+ab+b^2)$)
chú ý rằng $(4^{7^n}+2^{7^n}+1)^2=(\dfrac{8^{7^n}-1}{2^{7^n}-1})^2$ và ta có $7^{n+1}|8^{7^n}-1$
suy ra $(4^{7^n}+2^{7^n}+1) \vdots 7^{2n+2} $
hay
đúng với n+1theo quy nạp ta có ĐPCM
Supermember :
Chỗ này ; để lời giải đầy đủ ; chí tiết thì cần chứng minh ( hoặc có nêu ra ) :
$ ord_{2} (7^n) = 3.7^{n-1}$
#219570 Bài lượng giác
Đã gửi bởi
on 04-11-2009 - 19:34
trong
Các bài toán Đại số khác
Theo mình nếu cos(x)>=0 thi bdt này mới đúng
nếu với mọi x thì thử x=140 độ thì sai
nếu với mọi x thì thử x=140 độ thì sai
#241477 Bài lượng giác
Đã gửi bởi
on 20-09-2010 - 07:16
trong
Bất đẳng thức - Cực trị
Tam giác ABC
CMR:
$-2\le sin(3A)+sin(3B)+sin(3C)\le \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
CMR:
$-2\le sin(3A)+sin(3B)+sin(3C)\le \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
#228361 Một bài dãy số nữa!
Đã gửi bởi
on 07-02-2010 - 20:24
trong
Phương trình - Hệ phương trình - Bất phương trình
Bài này thì bạn quy nạp công thức sau :
$a_{n+1}=3a_{n}+2a_{n-1}$
là xong
$a_{n+1}=3a_{n}+2a_{n-1}$
là xong
#222899 phuong trinh ham kho
Đã gửi bởi
on 15-12-2009 - 13:14
trong
Phương trình - Hệ phương trình - Bất phương trình
Đặt hàm f(x)=g(x)*x
suy ra $g(x)*x-g(y)*y=g(x+y)*(x-y)$
suy ra $(x-y)g(x+y)+(y-z)g(y+z)+(z-x)g(z+x)=0$
suy ra $(x-y)(g(x+y)-g(y+z))=(x-z)(g(x+z)-g(y+z))$
đặt x+y=z,y+z=b,z+x=c suy ra
$\dfrac{g(a)-g(b)}{a-b}=\dfrac{g(b)-g( c )}{b-c}=t$ với t là hăng số
suy ra g(x)=ax+b suy ra $f(x)=ax^2+bx$
suy ra $g(x)*x-g(y)*y=g(x+y)*(x-y)$
suy ra $(x-y)g(x+y)+(y-z)g(y+z)+(z-x)g(z+x)=0$
suy ra $(x-y)(g(x+y)-g(y+z))=(x-z)(g(x+z)-g(y+z))$
đặt x+y=z,y+z=b,z+x=c suy ra
$\dfrac{g(a)-g(b)}{a-b}=\dfrac{g(b)-g( c )}{b-c}=t$ với t là hăng số
suy ra g(x)=ax+b suy ra $f(x)=ax^2+bx$
#238679 cac anh chi giup em
Đã gửi bởi
on 30-08-2010 - 11:43
trong
Số học
olympiad ??????????
$y=\dfrac{4x}{x^2-2x-1}$
Mẫu số >0 nên $x\ge 3$
+,với $x\ge 7$ thì $4x<x^2-2x-1$ nên y<1 vô lý
+,với $3\le x\le 6$,thử trực tiếp ta được x=3,y=6
$y=\dfrac{4x}{x^2-2x-1}$
Mẫu số >0 nên $x\ge 3$
+,với $x\ge 7$ thì $4x<x^2-2x-1$ nên y<1 vô lý
+,với $3\le x\le 6$,thử trực tiếp ta được x=3,y=6
