Số các số chia hết cho 3 là : $[\dfrac{N}{3}]$ (phần nguyên)
Tương tự cho 5, 7
Đề bài trở thành tìm N lớn nhất thỏa :
$[\dfrac{N}{3}] = [\dfrac{N}{5}] + [\dfrac{N}{7}]$ (1)

N=35k + t với 0 t<35
$VT (1)= 12k + [\dfrac{t-k}{3}]$
$VP (1)= 12k + [\dfrac{t}{5}] + [\dfrac{t}{7}]$
Suy ra được k t<35 và :
$[\dfrac{t-k}{3}] = [\dfrac{t}{5}] + [\dfrac{t}{7}]$

Bây giờ tới phần trâu bò , kẻ bảng ( tớ chỉ nói phải làm gì thôi, chứ tớ ko có ngồi gõ cái bảng ấy vào đâu !)
Cái bảng này gồm 3 cột :
Cột 1 : giá trị N từ 34 đến 0
Cột 2 : giá trị VT
Cột 3 : giá trị VP

Tới đây , dựa vào bảng có thể nhận thấy k 4, và t lớn nhất là 34.
Vậy N=35.4+34=174

Ta có :
$e^x = 1+ x+\dfrac{x^2}{2!}+...+\dfrac{x^n}{n!} +x^n \varepsilon(x) , \varepsilon \longrightarrow_{ x\to 0} 0 $
$\Rightarrow e^x - 1 \sim_{0} x \Rightarrow e^{x^2} - 1 \sim_{0} x^2$
$\Rightarrow \dfrac { e^{x^2} -1}{x^2} \sim_0 1$
$ \Rightarrow \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac { e^{x^2} -1}{x^2} =1$

Mình có cách khác :
Gọi 36 số là a1, a2,... a36
Đặt P1=a1.a2.a3.a4.a5
tương tự cho đến
P7= a31.a32.a33.a34.a35
Vì P1 <0, nên trong 5 số a1...a5, ít nhất có 1 số <0, giả sử là a5 =>a1.a2.a3.a4 >0 (i)
Đặt P8=a1.a2.a3.a4.a36
Gọi P là tích của 36 số
Do cách đặt P1,P2,...P8, cộng với giả thiết đề cho , ta có P1 , P2,...P8 <0
Suy ra P1.P2.P3.P4.P5.P6.P7.P8 > 0 (tích 8 số âm thì dương)
Mà VT=P.(a1.a2.a3.a4) > 0 , thêm vào (i) , ta có P > 0.

Bài 7 :
$\dfrac{x+\sqrt{1-x^2}}{1-2x^2} =1$
$ \Leftrightarrow \dfrac{(\sqrt{1-x^2}+x)(\sqrt{1-x^2}-x)}{1-2x^2}=\sqrt{1-x^2} -x$
$(\sqrt{1-x^2} -x \neq 0 $ vì $1-2x^2 \neq 0)$
$ \Leftrightarrow 1=\sqrt{1-x^2} -x$
Chuyển vế bình phương, giải được x=0, x=-1

Bài 10:
DK : $4x+1 \geq 0$
$2VT=4x^2+4x+2 =(2x+1)^2+1 \geq 2(2x+1) =(4x+1) +1 \geq 2\sqrt{4x+1} = 2VP$

Dấu = xảy ra khi x=0.
Vạy pt có nghiệm x=0

Tình Hình là thế này: hồi đầu năm em học đội tuyển HSG toán.Nhưng dạo ấy mới đầu năm mà lịch học kín mít nên em cũng hơi xì-trét đã thế hồi hè em cũng chỉ đi học ôn lại lớp 7 mà không học trc trương trình lớp 8 nên học cũng hơi nản.Rồi cô sử lại nói cô dạy đt k chọn em vào đt chính thức đâu.=> đi học sử cho cô vs bị cô sử ép quá => em nhảy xang học sử. hôm sau hôm em đi học đt sử cô dạy toán lại hỏi em sao lại bỏ đt toán. thế là em trình bày lại đầy đủ và chi tiết cho cô. Thế là đến h` em mí biết là k phải em k đc chọn vào đt toán. Chiều thứ 4 tuần sau đt toán kiểm tra còn em ngồi trên lớp học sử và...khóc
em muốn đi học toán lắm. Thế r` k biết vô tình hay cố ý mà cô dạy toán lại đổi lịch đt toán => em lại có thể đi học toán. Vậy theo mọi ng em có lên tiếp tục đi học toán hay k? đã vậy em nghỉ đt toán đc gần 1 tháng r` mà tuần nào chúng nó cũng học 3 buổi đt h` đi học lại k biết có theo đc hay không.Nếu em tiếp tục đi học thì theo mọi ng em nên làm ntn để có thể "bật" đc trong 1 tg ngắn nhất.
Mong các bậc tiền bối cho em xin ý kiến góp ý vs ạ.Giúp em vs

Vậy thì đã sao, nếu muốn thì cứ đi học thôi.
Nhớ hồi anh học CT, HK1 còn học lớp thường , sang HK2 mới thì vào CT, sau các bạn 1 học kỳ, thế mà cuối cùng vẫn học được và tốt nữa . Quan trọng là do mình thôi.

@quanganhct: tách đúng mà bạn

Thế này :
Đặt $u'=x^2 , v=lnx \Rightarrow u=\dfrac{x^3}{3} , v'= \dfrac{1}{x}$
$ \int\limits_{0}^{1} x^2 lnxdx = [\dfrac{x^3}{3} lnx ]^1_0 - \int\limits_{0}^{1} \dfrac{x^2}{3} dx$

Tính : $[\dfrac{x^3}{3} lnx ]^1_0$
Tại điểm 1 ra giá trị 0 .
Tại lân cận 0 : $1< |lnx| < \dfrac{1}{x}$ ( cái này dùng khảo sát hàm là ra ).
$\Rightarrow x^3< x^3|lnx|<x^2$
$\Rightarrow lim_{x \to 0^+} x^3 \leq lim_{x \to 0^+} x^3|lnx| \leq lim_{x \to 0^+} x^2$
$\Rightarrow lim_{x \to 0^+} x^3|lnx| =0$
$\Rightarrow [\dfrac{x^3}{3} lnx ]^1_0 =0$

Tích phân từng phần thử xem .
$ \int\limits_{0}^{1} x^2(1-x^2)^n dx = [-x\dfrac{(1-x^2)^{n+1}}{2(n+1)}]_{0}^{1} +\int\limits_{0}^{1}\dfrac{(1-x^2)^{n+1}}{2(n+1)}dx=\int\limits_{0}^{1}\dfrac{(1-x^2)^{n+1}}{2(n+1)}dx$
( vì $[-x\dfrac{(1-x^2)^{n+1}}{2(n+1)}]_{0}^{1} =0$)
Đặt $I_n = \int\limits_{0}^{1} (1-x^2)^ndx$ . Ta cần tính ra $I_n$ .
$I_{n+1}=\int\limits_{0}^{1} (1-x^2)^{n+1}dx = \int\limits_{0}^{1}(1-x^2)^{n}dx -\int\limits_{0}^{1} x^2(1-x^2)^n dx = \int\limits_{0}^{1}(1-x^2)^{n}dx -\int\limits_{0}^{1}\dfrac{(1-x^2)^{n+1}}{2(n+1)}dx$
$\Rightarrow I_{n+1} =I_n-\dfrac{I_{n+1}}{2(n+1)} \Rightarrow I_{n+1}=\dfrac{2n+2}{2n+3} I_n$
$\Rightarrow I_{n+1} =\dfrac{(2n+2)(2n)...4}{(2n+3)(2n+1)...5} I_1=\dfrac{(2n+2)(2n)...4.2}{(2n+3)(2n+1)...5.3}$ (vì $I_1=\dfrac{2}{3}$ )
$\Rightarrow I_{n+1}=\dfrac{2^{2n+2} ((n+1)!)^2}{(2n+3)!}$
Vậy :
$\int\limits_{0}^{1} x^2(1-x^2)^n dx =\dfrac{I_{n+1}}{2(n+1)}=\dfrac{2^{2n+2} ((n+1)!)^2}{(2n+3)!} \dfrac{1}{2(n+1)}$

Ack ! Ai ra đề này ác thật , tớ mất những 20 phút để làm ! Kinh . Ra thi gặp bài này là chết .

mình tuy đã qua tuổi THCS nhưng thấy bạn bảo cần vài bài tập nên xin post một bài:

số học: Chứng minh rằng:
$12^{10^{10^{2011}}}} + 2012^{2^{9^{2012}}} \vdots 11$

Mình thì lại thấy nó ko chia hết cho 11.

$12 \equiv 1 (mod 11) \Rightarrow 12^{10^{10^{2011}}}} \equiv 1 (mod 11)$
$2012 \equiv -1 (mod 11) \Rightarrow 2012^{2^{9^{2012}}} \equiv (-1)^{2^{9^{2012}}} (mod 11) \equiv 1 (mod 11)$
Như vậy số đã cho chia 11 dư 2.
Nếu đổi dấu + thành dấu - thì đề bài sẽ đúng.

Ký hiệu [a] là phần nguyên của số thực a. Ví dụ [5,87]=5

k lớn nhất có thể có là :
k=[1000/7] + [1000/(7^2)] + [1000/(7^3)] + [1000/(7^4)] + ...= 142 + 20 + 2 + 0 +...=164 (phần ... vì nó = 0 nên mình ko viết ra )

em tuong la 1000! ma sao den cho anh bao lai chi con 1000/7 ...?

uh, cái đó là công thức rồi em, không tin thì thử với 50! xem, từ 1 đến 50 có :7,7.2,7.3,7.4,7.5,7.6,7.7 là 8 số 7 nhé. [50/7] + [50/49] = 7+1=8

con bai 1 thi sao ha anh?

Bài 1 dùng quy nạp em à .
2^{4n+k}, k {0,1,2,3}
k=0 thì b=6, k=1 thì b=2, k=2 b=4, k=3 b=8.
Vậy nếu k=0 thì mọi chuyện được giải quyết, nên ta xét trường hợp k 0.
trong mọi trường hợp, b đều là số chẵn, cho nên chỉ cần CM achia hết cho 3 thôi.
trường hợp k=1 đầu tiên là 2^{5}=32, a 3
giả sử 2^{4n+1}=10a+2, a chia hết cho 3, ta CM 2^{4(n+1)+1}=10a'+2, trong đó a' chia hết cho 3.
2^{4(n+1)+1}= 2^{4n+5}=16.2^{4n+1}=16(10a+2)=160a+32=(160a+30)+2.
Vậy a'=160a+30 chia hết cho 3 (a chia hết cho 3, 30 chia hết cho 3)

tương tự các trường hợp còn lại.

$y$ nguyên dương mà anh quanganhct!!!!!!

Ồ, vậy từ đó có thể kết luận là vô nghiệm

Bài 2 :
$y=\sqrt{x+\sqrt{x+...\sqrt{x+\sqrt{x}}}} \geq \sqrt{x+\sqrt{x+...\sqrt{x+\sqrt{0}}}} = \sqrt{x+\sqrt{x+...\sqrt{x}}}=y$

Dấu bằng xảy ra khi x=0

To skyscape :
Em chắc $x-1$ đã dương chưa mà xài BĐT AM-GM???????

Mình thì nghĩ chắc là nó dương, vì có thể tác giả post đề thiếu , vì nếu không, thì x tiến tới 1 (x<1) thì hàm tiến tới - , ko có GTNN

Đặt A=$\dfrac{x}{\sqrt{y}}+\dfrac{y}{\sqrt{z}}+\dfrac{z}{\sqrt{x}}$
$A^2=\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{z}+...$ (... là tự khai triển nhé ! Gõ Latex mệt thật)
Áp dụng Cauchy cho :
$\dfrac{x^2}{y} + \dfrac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}} + \dfrac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}} \geq 3x\sqrt[3]{\dfrac{x}{z}}$
Làm tương tự cho 2 nhóm còn lại.
Vậy $A^2 \geq 3x\sqrt[3]{\dfrac{x}{z}}+...$ (... lại tự tìm tiếp nhá)
Rồi , lại áp dụng cauchy :
$x\sqrt[3]{\dfrac{x}{z}}+x\sqrt[3]{\dfrac{x}{z}}+x\sqrt[3]{\dfrac{x}{z}}+z \geq 4x$
Làm tương tự cho 2 nhóm còn lại

$ \Rightarrow A^2+x+y+z \geq 4(x+y+z) \Rightarrow A^2 \geq 3(x+y+z) \geq 3.12 \Rightarrow A \geq 6$ Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=4

chưng minh rằng :tích của 3 số nguyên liên tiếp, trong đó có số đứng giữa của chúng là lập phương của một số tự nhiên, chia hết cho 504

Tích đã cho là :
$P = (x^3-1) x^3 (x^3 +1) = (x-1)(x+1)x^3 (x^2+x+1)(x^2-x+1)$
Nếu x chẵn thì $x^3 \vdots 2^3 =8$
Nếu x lẻ thì (x-1)(x+1) chia hết cho 2.4=8 (2 số chẵn liên tiếp có 1 số chia hết cho 4)
Vậy P luôn chia hết cho 8.

Tiếp theo ta CM P chia hết cho 9
$P = (x-1) x (x+1) x^2 (x^2 + x + 1 ) (x^2 - x +1 )$
(x-1) x (x+1) chia hết cho 3 (tích 3 số nguyên liên tiếp)
Nếu x chia hết cho 3, P đương nhiên chia hết cho 9
Nếu x chia 3 dư 1 , khi đó $x^2+x+1 \vdots \ 3$ nên P chia hết cho 3.3=9
Nếu x chia 3 dư 2 , $x^2-x+1 \vdots \ 3$ nên P chia hết cho 3.3 =9

Vậy P chia hết cho 9

Tiếp theo ta cm P chia hết cho 7
x chia 7 dư 0, hiển nhiên P chia hết cho 7
x chia 7 dư 1 thì x-1 chia hết cho 7, suy ra P chia hết cho 7
x chia 7 dư 6 thì x+1 chia hết cho 7, suy ra P chia hết cho 7
x chia 7 dư 3 hoặc 5 thì $x^2-x+1 \vdots \ 7$, suy ra P chia hết cho 7
x chia 7 dư 2 hoặc 4 thì $x^2+x+1 \vdots \ 7$ suy ra P chia hết cho 7

Vậy P luôn chia hết cho 7

7,8,9 nguyên tố cùng nhau đôi một, suy ra P chia hết cho 7.8.9=504

$ VT \geq \dfrac{4}{x+ \sqrt{1-x^2} } \geq \dfrac{4}{\sqrt{2} \sqrt{ x^2 + 1 - x^2}} = 2 \sqrt{2}$
Dấu = xảy ra khi $x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

Anh quanganhct giải thiếu trường hợp rồi !!!!!!!
BĐT thứ nhất anh sử dụng phài có đk $x>0$ mới áp dụng đc !Trong khi ĐKXĐ của $x$ là $-1 < x < 1 $
x nằm trong khoảng (-1;0) thì ko có BĐT $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \geq \dfrac{4}{x+\sqrt{1-x^2}}$ đâu!!!!!!!

Em xem lại đk nhé dk là 0<x<1

cho nay anh a:
Vì x (x-1) là số chẵn nên a x (x-1) là số nguyên ,

X(x-1) chẵn nên tồn tại k nguyên thỏa X(x-1)=2k
Vậy ax(x-1) = (2a)k
2a nguyên , k nguyên nên ax(x-1) nguyên

cho nay anh a:
Vì x (x-1) là số chẵn nên a x (x-1) là số nguyên ,

x (x-1) chẵn nên tốn tại k nguyên thỏa x (x-1)=2k
Vậy a x (x-1) = (2a)k
2a nguyên , k nguyên nên a x (x-1) nguyên

Câu 2 :

$ax^2 + bx = ax^2 - ax + ax + bx = ax(x-1) + x (a+b)$
Vì x (x-1) là số chẵn nên a x (x-1) là số nguyên , a+b và x nguyên nên x (a+b) nguyên
Vậy ax^2 + bx nguyên , suy ra y nguyên

Vắng mặt 1 thời gian, giờ quay về làm vài bài cho vui

p là số nguyên tố lớn hơn 5, như vậy p có dạng hoặc là 4k+1 hoặc là 4k-1
$p^2$ có dạng 8k+1
$ \Rightarrow p^4 $ có dạng 16k+1
$ \Rightarrow p^4 -1 \ \vdots \ 16$

p là số nguyên tố > 5, vậy p nguyên tố cùng nhau với 3 và 5. Theo định lý Fermat nhỏ :
$p^2 \equiv 1 (mod \ 3) \Rightarrow p^4 \equiv 1 (mod \ 3) \Rightarrow p^4 -1 \ \vdots \ 3$
$p^4 \equiv 1 (mod \ 5) \Rightarrow p^4-1 \ \vdots \ 5$
3,5,16 nguyên tố cùng nhau đôi một, do đó p^4-1 chia hết cho 16.3.5 = 240 (dpcm)

1)cho p là số nguyên tố lớn hơn 5 .Chứng minh $p^4-1 \ \vdots \ 240$.
2)cho a+b,2a và x là số nguyên .CMR $y=ax^2+bx+2009$ là số nguyên .

anh noi ro hon duoc ko?

Rõ hơn chỗ nào ?