Phạm Hữu Bảo Chung nội dung

Javascript bị vô hiệu

Javascript bị vô hiệu, một vài chức năng sẽ không hoạt động. Vui lòng bật lại Javascript để sử dụng đầy đủ các chức năng.

Có 549 mục bởi Phạm Hữu Bảo Chung (Tìm giới hạn từ 04-06-2020)

Theo nội dung

Xem thành viên

Trang 18 / 22

Sắp theo

Sắp xếp

#335390 CMR: $c+d>a+b$

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 13-07-2012 - 21:58 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho $a$, $b$, $c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng trong các bất đẳng thức sau có ít nhất một bất đẳng thức sai:
$c+d>a+b$, $ab+cd>(a+b)(c+d)$, $ab(c+d)>(a+b)cd$

Giải

Giả sử cả 3 BĐT đều đúng.
Ta có $(3) \Leftrightarrow ac(b - d) + bd(a - c) > 0$
Dễ thấy:
- Nếu b < d và a < c thì BPT nói trên sai.
- Nếu b > d và a > c thì suy ra $a + b > c + d$. Điều này mâu thuẫn với (1)
Suy ra, $\left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l}b < d\\a > c\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}b > d\\a < c\end{array}\right.\end{array}\right. \Rightarrow (b - d)(a - c) < 0$
$$\Rightarrow ab + cd < bc + ad$$
Khi đó, (2) tương đương:
$$bc + ad > ab + cd > ac + ad + bc + bd \Leftrightarrow ac + bd < 0$$
Với a, b, c dương thì điều này là vô lý. Vậy có ít nhất một bất đẳng thức sai.

#335326 Giải các pt, hệ pt: 2.$\sqrt{2x^{2}+9}+\sq...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 13-07-2012 - 20:19 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Giải phương trình:
$\sqrt{x + 1} + 6\sqrt{9 - x^2} + 6\sqrt{(x + 1)(9 - x^2)} = 38 + 10x - 2x^2 - x^3$

Giải

ĐK:
$\left\{\begin{array}{l}x \geq - 1\\9 - x^2 \geq 0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x \geq -1\\-3 \leq x \leq 3\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow -1 \leq x \leq 3$

Đặt $\left\{\begin{array}{l}a = \sqrt{x + 1} \geq 0\\b = \sqrt{9 - x^2} \geq 0\end{array}\right.$

Ta sẽ biểu diễn VF phương trình ban đầu theo a và b. Ta có:
$38 + 10x - 2x^2 - x^3 = (9x - x^3 + 9 - x^2) + 9 - x^2 + x + 1 + 19$

$= (9 - x^2)(x + 1) + (9 - x^2) + (x + 1) + 19 = a^2b^2 + b^2 + a^2 + 19$

Từ đó suy ra, PT ban đầu tương đương:
$a + 6b + 6ab = a^2b^2 + b^2 + a^2 + 19$

$\Leftrightarrow (a^2b^2 - 6ab + 9) + (a^2 - a + \dfrac{1}{4}) + (b^2 - 6b + 9) + \dfrac{3}{4} = 0$

$\Leftrightarrow (ab - 3)^2 + (a - \dfrac{1}{2})^2 + (b - 3)^2 + \dfrac{3}{4} = 0$
Phương trình nói trên vô nghiệm. Vậy phương trình ban đầu vô nghiệm.

#335027 Giải hệ: $a^{2}=\frac{\sqrt{bc}\...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 12-07-2012 - 22:37 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

$\left\{\begin{array}{l}a^2 = \dfrac{\sqrt{bc}.\sqrt[3]{bcd}}{(b + c)(b + c + d)}\\b^2 = \dfrac{\sqrt{cd}.\sqrt[3]{cda}}{(c + d)(c + d + a)}\\c^2 = \dfrac{\sqrt{da}.\sqrt[3]{dab}}{(d + a)(d + a + b)}\\d^2 = \dfrac{\sqrt{ab}.\sqrt[3]{abc}}{(a + b)(a + b + c)}\end{array}\right.$

Giải

ĐK:
$\left\{\begin{array}{l}bc \geq 0\\cd \geq 0\\da \geq 0\\ab \geq 0\\(b + c)(b + c + d) \neq 0\\(c + d)(c + d + a) \neq 0\\(d + a)(d + a + b) \neq 0\\(a + b)(a + b + c) \neq 0\end{array}\right. $

- Nếu $a = 0 \Rightarrow d^2 = 0 \Leftrightarrow d = 0$
Vậy $a + d = 0$. Không thỏa mãn điều kiện đề bài.

Vậy $a \neq 0$. Tương tự $b, c, d \neq 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l}a > 0\\b > 0\\c > 0\\d > 0\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}a < 0\\b < 0\\c < 0\\d < 0\end{array}\right.\end{array}\right.$

Nhận thấy nếu cả 4 số đều âm thì: $a^2 = \dfrac{\sqrt{bc}.\sqrt[3]{bcd}}{(b + c)(b + c + d)} < 0$. Vô lý. Từ đó suy ra cả 4 số đó đều dương.

- Từ phương trình thứ nhất của hệ, ta có:
$a^2 = \dfrac{\sqrt{bc}.\sqrt[3]{bcd}}{(b + c)(b + c + d)} \leq \dfrac{\dfrac{b + c}{2}.\dfrac{b + c + d}{3}}{(b + c)(b + c + d)} = \dfrac{1}{6} $

Tương tự, ta cũng có: $b^2, c^2, d^2 \leq \dfrac{1}{6}$ kết hợp với $a, b, c > 0$. Suy ra:
$$0 < a, b, c, d \leq \dfrac{1}{\sqrt{6}} \Rightarrow S = a + b + c + d \leq \dfrac{4}{\sqrt{6}}$$

Nhân cả vế theo vế của 4 phương trình, ta được:
$a^2b^2c^2d^2 = \dfrac{\sqrt{a^2b^2c^2d^2}.\sqrt[3]{a^3b^3c^3d^3}}{(b + c)(b + c + d)(c + d)(c + d + a)(d + a)(d + a + b)(a + b)(a + b + c)}$

$\Leftrightarrow 1 = \dfrac{1}{(b + c)(b + c + d)(c + d)(c + d + a)(d + a)(d + a + b)(a + b)(a + b + c)}$

$\Leftrightarrow (b + c)(b + c + d)(c + d)(c + d + a)(d + a)(d + a + b)(a + b)(a + b + c) = 1$

Ta thấy:
$(b + c)(b + c + d)(c + d)(c + d + a)(d + a)(d + a + b)(a + b)(a + b + c)$

$= [(b + c)(c + d)(d + a)(a + b)][(b + c + d)(c + d + a)(d + a + b)(a + b + c)]$

$\leq \dfrac{(2S)^4}{4^4}.\dfrac{(3S)^4}{4^4} = \dfrac{2^4.3^4.S^8}{2^{16}} \leq \dfrac{2^4.3^4.\dfrac{2^{16}}{2^4.3^4}}{2^{16}} = 1 = VF$

Dấu "=" xảy ra khi: $a = b = c = d = \dfrac{1}{\sqrt{6}}$

Vậy hệ có nghiệm $(a; b; c; d) = (\dfrac{1}{\sqrt{6}}; \dfrac{1}{\sqrt{6}}; \dfrac{1}{\sqrt{6}}; \dfrac{1}{\sqrt{6}})$

#334347 Giải PT : $(8sin^{3}x+1)^{3}-162 sinx +27= 0$

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 11-07-2012 - 11:59 trong Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác

Em chưa học Toán 11 nên chưa học phần arc. Nhưng em nghĩ là $\tan{x} = \pm 1 \Rightarrow \sin{x} = \pm \cos{x}$
Thế vào $\cos^2{x} + \sin^2{x} = 1$ thì ta được các nghiệm nói trên

#333985 Giải PT : $(8sin^{3}x+1)^{3}-162 sinx +27= 0$

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 10-07-2012 - 13:48 trong Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác

Bài 2:
$3(1+\frac{\cos{2x}}{\cos^2{x}})^4+ 4\tan^6{x} = 7$

Giải

Phương trình ban đầu tương đương:
$3(1 + \dfrac{\cos^2{x} - \sin^2{x}}{\cos^2{x}})^4 + 4\tan^6{x} = 7$

$\Leftrightarrow 3(2 - \tan^2{x})^4 + 4\tan^6{x} = 7 \,\, (2)$

Đặt $a = \tan^2{x} \geq 0$. Phương trình (2) trở thành:
$3(2 - a)^4 + 4a^3 = 7 \Leftrightarrow 3a^4 - 20a^3 + 72a^2 - 96a + 41 = 0$

$\Leftrightarrow (a - 1)^2(3a^2 - 14a + 41) = 0$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l} a = 1\\3a^2 - 14a + 41 = 0 \,\, (VN)\end{array}\right.$

$\Rightarrow \tan^2{x} = 1 \Leftrightarrow \tan{x} = \pm 1$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l} x = \dfrac{\pm \pi}{4} + 2k\pi\\x = \dfrac{\pm 3\pi}{4} + 2k\pi\end{array}\right.$

#333862 Phương trình lượng giác: $(1+sin^{2}x)cosx+(1+cos^{2}x)sinx=1+sin2x$

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 09-07-2012 - 23:12 trong Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác

Giải phương trình:
$$(1+\sin^2{x})\cos{x}+(1+\cos^2{x})\sin{x}=1+\sin{2x}$$

Giải

Phương trình tương đương:
$\sin{x} + \cos{x} + \sin^2{x}.\cos{x} + \cos^2{x}.\sin{x} = \sin^2{x} +\cos^2{x} + 2\sin{x}.\cos{x}$

$\Leftrightarrow (\sin{x} + \cos{x})( 1 + \sin{x}.\cos{x}) = (\sin{x} + \cos{x})^2$

$\Leftrightarrow (\sin{x} + \cos{x})(\sin{x}.\cos{x} - \sin{x} - \cos{x} - 1) = 0$

$\Leftrightarrow (\sin{x} + \cos{x})(\sin{x} - 1)(\cos{x} - 1) = 0$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l} \sin{x} = -\cos{x}\\\sin{x} = 1\\\cos{x} = 1\end{array}\right. \Rightarrow \left[\begin{array}{l} x = \dfrac{3\pi}{4} + k\pi\\x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\\x = 2k\pi\end{array}\right. \,\, (k \in Z)$

#333856 Phương trình lượng giác: $sin2x-cos2x+3sinx-cosx-1=0$

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 09-07-2012 - 23:00 trong Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác

Giải phương trình:
$$\sin{2x} - \cos{2x} + 3\sin{x} - \cos{x} - 1 = 0$$

Giải

Phương trình tương đương:
$2\sin{x}.\cos{x} - 1 + 2\sin^2{x} + 3\sin{x} - \cos{x} - 1 = 0$

$\Leftrightarrow \cos{x}(2\sin{x} - 1) + \sin{x}(2\sin{x} - 1) + 2(2\sin{x} - 1) = 0$

$\Leftrightarrow (2\sin{x} - 1)(\cos{x} + \sin{x} + 2) = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \sin{x} = \dfrac{1}{2}\\\sin{x} + \cos{x} = -2\end{array}\right. \,\, (1)$

Ta thấy: $\sin{x} + \cos{x} = \sqrt{2}.\sin{(x + \dfrac{\pi}{4})} \in [- \sqrt{2}; \sqrt{2}] \Rightarrow \sin{x} + \cos{x} > -2$

Do đó:
$(1) \Leftrightarrow \sin{x} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \left[\begin{array}{l} \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi\\x = \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi\end{array}\right. \,\, (k \in Z)$

#333851 pt lượng giác: $sin2xcosx+sinxcosx=cos2x+sinx+cosx$

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 09-07-2012 - 22:47 trong Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác

Giải phương trình:
$\sin{2x} \cos{x} + \sin{x} \cos{x} = \cos{2x} + \sin{x} + \cos{x}$

Giải

Phương trình tương đương:
$2.\sin{x}.\cos^2{x} + \sin{x}.\cos{x} - \sin{x} - \cos{x} + 1 - 2\cos^2{{x}} = 0$

$\Leftrightarrow 2\cos^2{x}(\sin{x} - 1) + (\sin{x} - 1)(\cos{x} - 1) = 0$

$\Leftrightarrow (\sin{x} - 1)(2\cos^2{x} + \cos{x} - 1) = 0$

$\Leftrightarrow (\sin{x} - 1)(\cos{x} + 1)(2\cos{x} - 1) = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \sin{x} = 1\\\cos{x} = -1\\\cos{x} = \dfrac{1}{2}\end{array}\right. \Rightarrow \left[\begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\\x = \pi + 2k\pi\\x = \dfrac{\pm \pi}{3} + 2k\pi\end{array}\right. \,\, (k \in Z)$

#333174 Giải PT:$7\cos^2{x}+37\sin^{28}{x}=37$

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 08-07-2012 - 15:37 trong Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác

Giải phương trình: $7cos^{2}x+37sin^{28}x=37$

Giải

Phương trình trên tương đương:
$37(\sin^{28}x - 1) + 7(1 - \sin^2{x}) = 0 \,\, (2)$

Áp dụng HĐT:
$$a^{14} - 1 = (a - 1)(a^{13} + a^{12} +… + a^2 + a + 1)$$
với $a = \sin^{2}x$

Phương trình (2) tương đương:
$37(\sin^2{x} - 1)(\sin^{26}x + \sin^{24}x + ... + 1) + 7(1 - \sin^2{x}) = 0$

$\Leftrightarrow (\sin^2{x} - 1)[37(\sin^{26}x + \sin^{24}x + … + \sin^2{x}) + 30] = 0$

$\Leftrightarrow \sin^2{x} = 1 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \,\, (k \in Z)$

#332930 Giải bpt $$\sqrt{x^{4}+2x^{2}-1}-\sqrt{2x^{4}+x^{2}+1}...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 07-07-2012 - 21:11 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Mình nhấn Copy and Paste nên lộn dầu. Sorry hen

2) Tìm $m$ để hệ bpt có nghiệm duy nhất:
$\left\{\begin{array}{1}x^{2}-2mx\leq 0 \\\left | x-1+m \right |\leq 2m\end{array}\right.$

Giải

Từ phương trình thứ hai của hệ, suy ra:
$$2m \geq 0 \Leftrightarrow m \geq 0$$

Hệ ban đầu tương đương:
$\left\{\begin{array}{1}x(x - 2m)\leq 0 \\-2m \leq x-1+m \leq 2m\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{1}0 \leq x \leq 2m \\-3m + 1 \leq x\leq m + 1\end{array}\right.$

Hệ có nghiệm duy nhất khi: $\left[\begin{array}{l} m + 1 = 0\\2m = -3m + 1\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} m = -1\\m = \dfrac{1}{5}\end{array}\right.$

Do $m \geq 0 \Rightarrow m = \dfrac{1}{5}$

Thử lại thấy đúng. Vậy, với $m = \dfrac{1}{5}$ thì hệ BPT có nghiệm duy nhất.

#332919 Giải bpt $$\sqrt{x^{4}+2x^{2}-1}-\sqrt{2x^{4}+x^{2}+1}...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 07-07-2012 - 20:54 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

1) Giải bất phương trình :

$\sqrt{x^{4}+2x^{2}-1}-\sqrt{2x^{4}+x^{2}+1}< \sqrt{x^{2}+x}$

Giải

Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}x^{4}+2x^{2}-1 \geq 0\\2x^{4}+x^{2}+1 \geq 0\\x^2 + x \geq 0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l} x^2 \geq \sqrt{2} - 1\\x^2 \leq - \sqrt{2} - 1 \,\, (VL)\end{array}\right.\\\dfrac{7}{4}x^2 + (\dfrac{1}{2}x^2 + 1)^2 \geq 0\\\left[\begin{array}{l} x \geq 0\\x \leq -1\end{array}\right.\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l} x \geq \sqrt{\sqrt{2} - 1}\\x \leq - \sqrt{\sqrt{2} - 1}\end{array}\right.\\\left[\begin{array}{l} x \geq 0\\x \leq -1\end{array}\right.\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x \geq \sqrt{\sqrt{2} - 1}\\x \leq -1\end{array}\right.$

Bất phương trình ban đầu tương đương:
$\dfrac{(x^4 + 2x^2 - 1) - (2x^4 + x^2 + 1)}{\sqrt{x^{4}+2x^{2}-1}+\sqrt{2x^{4}+x^{2}+1}} < \sqrt{x^2 + x}$

$\Leftrightarrow \dfrac{- x^4 + x^2 - 2}{\sqrt{x^{4}+2x^{2}-1}+\sqrt{2x^{4}+x^{2}+1}} < \sqrt{x^2 + x}$

Do
$\left\{\begin{array}{l}x^4 - x^2 + 2 = (x^2 - \dfrac{1}{2})^2 + \dfrac{7}{4} > 0\\\sqrt{x^{4}+2x^{2}-1}+\sqrt{2x^{4}+x^{2}+1} > 0\end{array}\right.$

$\Rightarrow VT < 0 \leq VF$

Vậy, BPT nghiệm đúng với mọi x thuộc tập xác định, tức:
$$x \in (- \propto; -1] \cup [\sqrt{\sqrt{2} - 1}; + \propto)$$

#332819 $\begin{cases}2-\sqrt{x^2y^4+2xy^2-y^4+1}= 2( 3-\sqrt 2-x...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 07-07-2012 - 14:07 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

$ \begin{cases}2-\sqrt{{x}^{2}{y}^{4}+2x{y}^{2}-{y}^{4}+1}= 2( 3-\sqrt{2}-x){y}^{2}\\ \sqrt{x-{y}^{2}}+x = 3 \,\, (2)\end{cases} $

Giải

ĐK: $\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}{y}^{4}+2x{y}^{2}-{y}^{4}+1 \geq 0\\x \geq y^2 \geq 0\end{array}\right.$

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương:
$2-\sqrt{(xy^2 + 1)^2 - y^4}= 2( 3-\sqrt{2}){y}^{2} - 2xy^2$

$\Leftrightarrow \sqrt{(xy^2 + 1 - y^2)(xy^2 + 1 + y^2)} = 2(1 + xy^2) - 2(3 - \sqrt{2})y^2 \,\, (3)$

Đặt $\left\{\begin{array}{l}a = \sqrt{xy^2 - y^2 + 1} \geq 0\\b = \sqrt{xy^2 + y^2 + 1} \geq 1\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}xy^2 + 1 = \dfrac{a^2 + b^2}{2}\\y^2 = \dfrac{b^2 - a^2}{2}\end{array}\right.$

Phương trình (3) trở thành:
$ab = 2.\dfrac{a^2 + b^2}{2} - 2(3 - \sqrt{2})\dfrac{b^2 - a^2}{2}$

$\Leftrightarrow ab = a^2 + b^2 + (3 - \sqrt{2})(a^2 - b^2)$

$\Leftrightarrow (4 - \sqrt{2})a^2 - ab - (2 - \sqrt{2})b^2 = 0 $

$\Leftrightarrow (4 - \sqrt{2})(\dfrac{a}{b})^2 - \dfrac{a}{b} - 2 + \sqrt{2} = 0$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l} \dfrac{a}{b} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\\\dfrac{a}{b} = \dfrac{-\sqrt{2}}{3 + \sqrt{2}}\end{array}\right.$

Do $a \geq 0, b \geq 1 \Rightarrow \dfrac{a}{b} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

$\Leftrightarrow \dfrac{xy^2 - y^2 + 1}{xy^2 + y^2 + 1} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow xy^2 - 3y^2 + 1 = 0 \,\, (4)$

Dễ thấy $x \neq 3$ (vì x = 3 thì (4) tương đương với 0 = 1. Vô lý)

Từ (4), suy ra: $y^2 = \dfrac{-1}{x - 3}$

Thế vào (2), ta được:
$\sqrt{x+ \dfrac{1}{x - 3}}= 3 - x$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x \leq 3\\x^3 - 10x^2 + 30x - 28 = 0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x \leq 3\\(x - 2)(x^2 - 8x + 14) = 0\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l} x = 2\\x = 4 \pm \sqrt{2}\end{array}\right.\\x \leq 3\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 2\\x = 4 - \sqrt{2}\end{array}\right.$

- Với x = 2, suy ra $y = \pm -1$

- Với $x = 4 - \sqrt{2} \Rightarrow y = \pm \sqrt{\sqrt{2} + 1}$

#332744 GHPT $2x_{1}=x_{2}+\frac{1}{x_{2}}$.......

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 07-07-2012 - 06:29 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Giải

ĐK: $x_1, x_2, x_3..., x_{2000} \neq 0$
Từ phương trình (1), ta thấy:
$|2x_1| = |x_2 + \dfrac{1}{x_2}| = |x_2| + |\dfrac{1}{x_2}| \geq 2$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l} x_1 \leq - 1\\x_1 \geq 1\end{array}\right.$

Hoàn toàn tương tự, ta sẽ chứng minh được:
$$x_2, x_3, x_4…., x_{2000} \in (- \propto; - 1] \cup [1; \propto)$$

Mặt khác, từ các phương trình của hệ, dễ dàng nhận thấy: Các giá trị $x_1, x_2, x_3..., x_{2000}$ luôn cùng dấu. Do đó, tổng hợp những điều nói trên, ta sẽ có điều kiện của các ẩn số là:
$\left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l}x_1 \leq - 1\\x_2 \leq -1\\...\\x_{2000} \leq -1\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x_1 \geq 1\\x_2 \geq 1\\...\\x_{2000} \geq 1\end{array}\right.\end{array}\right. \,\, (A)$

Không mất tính tổng quát, giả sử: $x_1 = max(x_1; x_2…; x_{2000})$

$\Rightarrow x_1 \geq x_{2000}$

Khi đó, từ phương trình (1) và phương trình (2000), suy ra:
$x_2 + \dfrac{1}{x_2} \geq x_1 + \dfrac{1}{x_1} \Leftrightarrow (x_2 - x_1) + \dfrac{x_1 - x_2}{x_1.x_2} \geq 0$

$\Leftrightarrow (x_2 - x_1)(1 - \dfrac{1}{x_1.x_2}) \geq 0 \,\, (B)$

Từ (A), ta có:
$\left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l}x_1 \geq 1\\x_2 \geq 1\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x_1 \leq - 1\\x_2 \leq -1\end{array}\right.\end{array}\right. \Rightarrow x_1.x_2 \geq 1$

$\Rightarrow \dfrac{1}{x_1.x_2} \leq 1 \Leftrightarrow 1 - \dfrac{1}{x_1.x_2} \geq 0$

* Nếu $x_1.x_2 = 1$ thì $\left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l}x_1 = 1\\x_2 = 1\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x_1 = -1\\x_2\end{array}\right.\end{array}\right.$

- Với $x_1 = x_2 = 1 \Rightarrow x_3 = x_4 = ….= x_{2000} = 1$

- Với $x_1 = x_2 = - 1 \Rightarrow x_3 = x_4 = ….= x_{2000} = -1$

* Nếu $x_1.x_2 > 1$
Do đó, (B) tương đương: $x_2 \geq x_1 = max(x_1; x_2;…; x_{2000})$. Khi đó: $x_2 = max(x_1; x_2;…; x_{2000})$.
Suy ra: $x_1 = x_2$

Từ các phương trình trong hệ và điều kiện $x_1 = x_2$, ta suy ra được:
$$x_1 = x_2 = x_3 =….= x_{2000}$$

Khi đó, hệ ban đầu tương đương:
$\left\{\begin{array}{l}x_1 = x_2 =… = x_{2000}\\2x_1 = x_1 + \dfrac{1}{x_1}\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x_1 = x_2 =… = x_{2000} = 1\\x_1 = x_2 =… = x_{2000} = -1\end{array}\right.$

Do $x_1.x_2 > 1$ nên trong TH này, hệ vô nghiệm.

KẾT LUẬN: Hệ có nghiệm:

$\left[\begin{array}{l} x_1 = x_2 =… = x_{2000} = 1\\x_1 = x_2 =… = x_{2000} = -1\end{array}\right.$

#330265 Đề thi tuyển sinh chuyên Thăng Long Đà Lạt 2012

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 29-06-2012 - 16:29 trong Tài liệu - Đề thi

Không hiểu sao khi mình nhấn sửa ở bài viết phía trên thì mấy dấu $\geq $ đều trở thành #6... gì vậy nhỉ. Thông cúm cho tớ nghen!
Câu 9.(1,5) Chứng minh rằng không tồn tại các số tự nhiên m, n sao cho
$\frac{1}{4}(m-n)(m+n)[1+(-1)^{m+n}]=2013$

@minhtuyb: Với m + n chẵn, ta đâu thể khẳng định được rằng: $1 + (- 1)^{m + n} = 0$

Giải

Ta có thể đánh giá như sau:

Dễ thấy: $m > n \geq 0$ vì nếu $m \leq n$ thì $VT \leq 0 \neq VF$

- Với m, n khác tính chẵn, lẻ. Khi đó m + n lẻ, suy ra:
$$1 + (-1)^{m + n} = 1 - 1 = 0$$
Khi đó, $VT = 0 \neq 2013 = VF$.

- Với m, n cùng tính chẵn lẻ. Khi đó:
$m + n; m - n \, \vdots \, 2$ và $1 + (- 1)^{m + n} = 2$

Suy ra: $\frac{1}{4}(m-n)(m+n)[1+(-1)^{m+n}] \, \vdots \, 2 $
Mà: $2003 \not \vdots \, 2$
Vì thế, $VT \neq VF$

Nói tóm lại, không tồn tại các số tự nhiên m, n thỏa mãn đề bài.

#330259 Đề thi tuyển sinh chuyên Thăng Long Đà Lạt 2012

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 29-06-2012 - 16:15 trong Tài liệu - Đề thi

Câu 8.(1,5) Cho x,y là hai số dương thỏa: $x^3+y^3=x-y$.CM $x^2+y^2<1$

Giải

Do x, y dương nên $x^3 + y^3 > 0 \Rightarrow x > y$

Ta có: $x^3+y^3=x-y \Rightarrow \dfrac{x^3 + y^3}{x - y} = 1$

Do đó, để CM $x^2+y^2<1$, ta chỉ cần CM $x^2 + y^2 < \dfrac{x^3 + y^3}{x - y} \,\, (1)$

Ta thấy:
$(1) \Leftrightarrow (x^2 + y^2)(x - y) < x^3 + y^3$

$\Leftrightarrow x^3 - x^2y + y^2x - y^3 < x^3 + y^3$

$\Leftrightarrow 2y^3 + x^2y - y^2x > 0 \Leftrightarrow y(2y^2 - xy + x^2) > 0$

$\Leftrightarrow y[(x - \dfrac{y}{2})^2 + \dfrac{7y^2}{4}] > 0 $

BĐT trên luôn đúng với x, y > 0.

#330253 \[\sum {\left| {\frac{{a - b}}{{a + b}}} \right|...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 29-06-2012 - 15:59 trong Bất đẳng thức và cực trị

Với tam giác vuông ABC có độ dài 3 cạnh lần lượt là a = 3, b = 4, c = 5.
Ta thấy: $VT > \left |\dfrac{c - a}{c + a} \right| = \left |\dfrac{2}{8} \right| = \dfrac{1}{4} > \dfrac{1}{8}$

:| ?!

#330105 Giải phương trình $2x^2+3\sqrt[3]{x^3-9}=\frac{10}{x}$

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 28-06-2012 - 22:57 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Giải phương trình: $2{x^2} + 3\sqrt[3]{{{x^3} - 9}} = \frac{{10}}{x}$

@donghaidhtt:

Chắc cậu nhầm 1 chút:
Với TH x < 0, VT vẫn có thể nhỏ hơn 0. Đơn cử như với x = -1.
Cậu chỉ mới CM được rằng: $2x^2 > 3\sqrt[3]{{{x^3} - 9}}$ chứ không phải là $2x^2 > - 3\sqrt[3]{{{x^3} - 9}}$
Vì vậy, TH x < 0 mình nghĩ chưa đúng. (Hồi nãy đến giờ mình cũng tìm cách CM nhưng không khả quan

)

Giải

ĐK: $x \neq 0$
Phương trình ban đầu tương đương:
$2x^3 + 3x\sqrt[3]{x^3 - 9} = 10$

$\Leftrightarrow 2x^3 + 3\sqrt[3]{x^6 - 9x^3} = 10$

Đặt $x^3 = a $, suy ra:
$2a + 3\sqrt[3]{a^2 - 9a} = 10 \Leftrightarrow 3\sqrt[3]{a^2 - 9a} = 10 - 2a$

$\Leftrightarrow 27(a^2 - 9a) = 8(125 - 75a + 15a^2 - a^3) $

$\Leftrightarrow 8a^3 - 93a + 357a - 1000 = 0 \Leftrightarrow (a - 8)(8a^2 - 29a + 125) = 0$

$\Leftrightarrow a = 8 $ (Do phương trình $8a^2 - 29a + 125 = 0$ vô nghiệm)

$\Rightarrow x^3 = 2 \Leftrightarrow x = 2 ™$

P/S: Hơi thực dụng nhưng khá hiệu quả nhỉ?

#329926 Giải HPT:\[\left\{\begin{array}{l} {x^2}+2xy+y=0\...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 28-06-2012 - 13:14 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Giải hệ phương trình:
\[\left\{\begin{array}{l} {x^2}+2xy+y=0\\ {x^3}+3xy+2\sqrt {y+1} \left( {x+\sqrt {{x^2}y + 2} } \right) = 4 \end{array}\right.\]

Giải

ĐK:
$\left\{\begin{array}{l}y + 1 \geq 0\\xy^2 + 2 \geq 0 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}y \geq -1\\xy^2 + 2 \geq 0\end{array}\right.$

Phương trình thứ hai của hệ tương đương:
$x(x^2 + y) + 2xy + 2\sqrt{(y + 1)}( x+\sqrt {x^2y + 2}) = 4$

$\Rightarrow x.(-2xy) - (x^2 + y) + 2\sqrt{(y + 1)}( x+\sqrt {x^2y + 2}) - 4 = 0$

$\Leftrightarrow 2x^2y+ x^2 + y - 2.x.\sqrt{y + 1} - 2\sqrt{(y + 1)(x^2y +2)} + 4 = 0$

$\Leftrightarrow [x^2(y + 1) - 2.x.\sqrt{y + 1} + 1] + [x^2y + 2 - 2\sqrt{(y + 1)(x^2y +2)} + y + 1] = 0$

$\Leftrightarrow (x\sqrt{y + 1} - 1)^2 + (\sqrt{x^2y + 2} - \sqrt{y + 1})^2 = 0$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x\sqrt{y + 1} - 1 = 0\\\sqrt{x^2y + 2} - \sqrt{y + 1} = 0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x\sqrt{y + 1} = 1\\\sqrt{x^2y + 2} = \sqrt{y + 1}\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x \geq 0\\x^2(y + 1) = 1 \,\, (1)\\x^2y - y = -1 \,\, (2)\end{array}\right.$

Lấy (1) - (2) vế theo vế, ta được:
$x^2 + y = 2 \Rightarrow y = 2 - x^2 \leq 2$

Thế $y = 2 - x^2$ vào (1), ta có phương trình:
$x^2(3 - x^2) = 1 \Leftrightarrow x^4 - 3x^2 + 1 = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \pm \sqrt{\dfrac{3 + \sqrt{5}}{2}}\\x = \pm \sqrt{\dfrac{3 - \sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.$

Do $x \geq 0$ nên: $\left[\begin{array}{l} x = \sqrt{\dfrac{3 + \sqrt{5}}{2}}\\x = \sqrt{\dfrac{3 - \sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.$

- Với $x = \sqrt{\dfrac{3 + \sqrt{5}}{2}} \Rightarrow y = \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2} < 2$
- Với $x = \sqrt{\dfrac{3 - \sqrt{5}}{2}} \Rightarrow y = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} < 2$

Thử lại 2 cặp giá trị nói trên, ta chọn cặp $(x; y) = (\sqrt{\dfrac{3 + \sqrt{5}}{2}}; \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2})$

#329872 GHPT: 1.$\left\{\begin{matrix} x^{3}y-y^{4}=28 &...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 28-06-2012 - 08:32 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

6. $\left\{\begin{matrix} x+y+z=6 & \\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=18 & \\ \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=4 & \end{matrix}\right.$

Giải

ĐK: $x, y, z \geq 0$
Ta có:
$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=4 \Leftrightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^2 = 16$

$\Leftrightarrow x + y + z + 2(\sqrt{xy} + \sqrt{yz} + \sqrt{zx}) = 16$

$\Rightarrow \sqrt{xy} + \sqrt{yz} + \sqrt{zx} = 5 \,\, (1)$

Ta lại có:
$x + y + z = 6 \Leftrightarrow (x + y + z)^2 = 36$

$\Leftrightarrow x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx) = 36$

$\Rightarrow xy + yz + zx = 9 $

Bình phương 2 vế của (1), ta được:
$(\sqrt{xy} + \sqrt{yz} + \sqrt{zx})^2 = 25$

$\Leftrightarrow xy + yz + zx + 2\sqrt{xyz}(\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z}) = 25$

$\Rightarrow 9 + 2.\sqrt{xyz}.4 = 25 \Leftrightarrow xyz = 4 \,\, (2)$

Dễ thấy, $x, y, z \neq 0$. Với ĐK này, từ (2) suy ra:
$$xy = \dfrac{4}{z}$$

Ta thấy: $x + y + z = 6 \Leftrightarrow x + y = 6 - z$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}z \leq 6\\x^2 + y^2 + 2xy = 36 - 12z + z^2\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}z \leq 6\\18 - z^2 + 2.\dfrac{4}{z} = z^2 - 12z + 36\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}z \leq 6\\z^3 - 6z^2 + 9z - 4 = 0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}z \leq 6\\(z - 1)^2(z - 4) = 0\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} z = 1\\z = 4\end{array}\right.$

Hoàn toàn tương tự, ta cũng có:
$\left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l} x = 1\\x = 4\end{array}\right.\\\left[\begin{array}{l} y = 1\\y = 4\end{array}\right.\end{array}\right.$

Lần lượt lựa chọn các nghiệm của PT. Nếu 1 ẩn có giá trị bằng 4 thì các ẩn còn lại có giá trị là 1. Suy ra, hệ có các nghiệm:
$(x; y; z) = (4; 1; 1); (1; 4; 1) = (1; 1; 4)$

#329816 $\sqrt[3]{3x^{2}-3x+3}-\sqrt{\frac{x^{3}}{3}-\frac{3...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 27-06-2012 - 22:19 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

$\sqrt[3]{3x^{2}-3x+3}-\sqrt{\frac{x^{3}}{3}-\frac{3}{4}}=\frac{1}{2}$
Bài này cũng có thể giải theo cách này:

Giải

ĐK: $x \geq \sqrt[3]{\dfrac{9}{4}}$
Đặt $\left\{\begin{array}{l}a = \sqrt[3]{3x^{2}-3x+3} = \sqrt[3]{3(x - \dfrac{1}{2})^2 + \dfrac{9}{4}} \geq \sqrt[3]{\dfrac{9}{4}}\\b = \sqrt{\frac{x^{3}}{3}-\frac{3}{4}} \geq 0\end{array}\right.$

Theo đề bài, ta có: $a - b = \dfrac{1}{2} \Rightarrow b = a - \dfrac{1}{2} \,\, (1)$

Mặt khác, ta thấy:
$a^3 + 3b^2 = 3x^2 - 3x + 3 + x^3 - \dfrac{9}{4} = x^3 + 3x^2 - 3x + \dfrac{3}{4} \,\, (2)$

Thế (1) vào (2), ta có:
$a^3 + 3(a - \dfrac{1}{2})^2 = x^3 + 3x^2 - 3x + \dfrac{3}{4}$

$\Leftrightarrow a^3 + 3a^2 - 3a + \dfrac{3}{4} = x^3 + 3x^2 - 3x + \dfrac{3}{4}$

$\Leftrightarrow (a - x)(a^2 + ax + x^2 + 3a + 3x - 3) = 0$

Dễ thấy: $a^2 + ax + x^2 + 3(a + x) - 3 = (a + \dfrac{x}{2})^2 + \dfrac{3x^2}{4} + 3(a + x) - 3 > 0 \forall a; x \geq \sqrt[3]{\dfrac{9}{4}} $

Do đó: $a = x \Rightarrow \sqrt[3]{3x^2 - 3x + 3} = x$

$\Leftrightarrow x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 2 \Leftrightarrow (x - 1)^3 = 2$

$\Leftrightarrow x = 1 + \sqrt[3]{2}$

#329361 Topic phương trình, hệ phương trình vô tỉ

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 26-06-2012 - 16:21 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

@luxubuhl: Phương trình có 1 nghiệm gần bằng 1, 027 nữa bạn à!

#329348 Giải phương trình: $\Sigma\frac{x+\sqrt{3}}{\sqrt{x}...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 26-06-2012 - 15:23 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Giải phương trình: $$\dfrac{x+\sqrt{3}}{\sqrt{x}+\sqrt{x+\sqrt{3}}}+ \dfrac{x-\sqrt{3}}{\sqrt{x}-\sqrt{x-\sqrt{3}}}=\sqrt{x}$$

Giải

ĐK: $x \geq \sqrt{3}$

Phương trình ban đầu tương đương:
$\dfrac{(x + \sqrt{3})(\sqrt{x+\sqrt{3}} - \sqrt{x})}{x + \sqrt{3} - x} + \dfrac{(x-\sqrt{3})(\sqrt{x}+\sqrt{x-\sqrt{3}})}{x - (x - \sqrt{3})} = \sqrt{x}$

$\Leftrightarrow \dfrac{(x + \sqrt{3})\sqrt{x + \sqrt{3}} + (x - \sqrt{3})\sqrt{x - \sqrt{3}} - 2\sqrt{3x}}{\sqrt{3}} = \sqrt{x}$

$\Leftrightarrow (x + \sqrt{3})\sqrt{x + \sqrt{3}} + (x - \sqrt{3})\sqrt{x - \sqrt{3}} = 3\sqrt{3x} \,\, (2)$

Đặt $\left\{\begin{array}{l}a = \sqrt{x + \sqrt{3}} > 0\\b = \sqrt{x - \sqrt{3}} \geq 0\end{array}\right. \,\, (a > b)$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a^2 + b^2 = 2x\\a^2 - b^2 = 2\sqrt{3}\end{array}\right.$

Phương trình (2) trở thành:
$a^3 + b^3 = 3.\dfrac{a^2 - b^2}{2}.\sqrt{\dfrac{a^2 + b^2}{2}}$

$\Leftrightarrow (a + b)(a^2 - ab + b^2 - \dfrac{3}{2}(a - b)\sqrt{\dfrac{a^2 + b^2}{2}}) = 0$

$\Leftrightarrow 2(a^2 - ab + b^2) - 3(a - b)\sqrt{\dfrac{a^2 + b^2}{2}} = 0$

(Do $a > 0; b \geq 0 \Rightarrow a + b > 0$)

$\Leftrightarrow (a - b)^2 + (a^2 + b^2) - 3(a - b)\sqrt{\dfrac{a^2 + b^2}{2}} = 0$

$\Leftrightarrow \sqrt{2}(a - b)^2 - 3(a - b)\sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{2}(a^2 + b^2) = 0$

$\Leftrightarrow \sqrt{2}\dfrac{(a - b)^2}{a^2 + b^2} - 3\dfrac{a - b}{\sqrt{a^2 + b^2}} + \sqrt{2} = 0 \,\, (a^2 + b^2 > 0)$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \dfrac{a - b}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \sqrt{2}\\\dfrac{a - b}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right.$

Dễ thấy $\dfrac{a - b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \leq 1 \forall \, a > 0; b \geq 0; a > b$

$\Rightarrow \dfrac{a - b}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

$\Leftrightarrow 2(a^2 - 2ab + b^2) = a^2 + b^2$

$\Leftrightarrow a^2 - 4ab + b^2 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} a = (2 + \sqrt{3})b\\a = (2 - \sqrt{3})b\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} a^2 = (7 + 4\sqrt{3})b^2\\a^2 = (7 - 4\sqrt{3})b^2\end{array}\right. \Rightarrow \left[\begin{array}{l} x + \sqrt{3} = (7 + 4\sqrt{3})(x - \sqrt{3})\\x + \sqrt{3} = (7 - 4\sqrt{3})(x - \sqrt{3})\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 2\\x = - 2\end{array}\right.$

Kết hợp với ĐK, suy ra x = 2.

P/S: Trông thật lằng nhằng!

#329293 ĐỀ TUYỂN SINH (ko chuyên) thpt CHUYÊN HÀ TĨNH 2012-2013

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 26-06-2012 - 10:51 trong Tài liệu - Đề thi

3b)Giải phương trình $\sqrt{x+1} + x + 3 = \sqrt{1-x}+3\sqrt{1-x^{2}}$

Giải

ĐK: $- 1\leq x \leq 1$
Đặt $\left\{\begin{array}{l}a = \sqrt{x + 1} \geq 0\\b = \sqrt{1 - x} \geq 0\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x = \dfrac{a^2 - b^2}{2}\\1 = \dfrac{a^2 + b^2}{2}\end{array}\right.$

$\Rightarrow x + 3 = \dfrac{a^2 - b^2}{2} + \dfrac{3(a^2 + b^2)}{2} = 2a^2 + b^2$

Phương trình ban đầu trở thành:
$a + 2a^2 + b^2 = b + 3ab \Leftrightarrow (2a^2 - 3ab + b^2) + a - b = 0$

$\Leftrightarrow (a - b)(2a - b + 1) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} a = b\\b = 2a + 1\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l} \sqrt{x + 1} = \sqrt{1 - x}\\\sqrt{1 - x} = 2\sqrt{x + 1} + 1\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 0\\1 - x = 4(x + 1) + 1 + 4\sqrt{x + 1}\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 0\\-5x - 4 = 4\sqrt{x + 1}\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 0\\\left\{\begin{array}{l}-5x - 4 \geq 0\\25x^2 + 40x + 16 = 16(x + 1)\end{array}\right.\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 0\\\left\{\begin{array}{l}x \leq \dfrac{- 4}{5}\\x(25x + 24) = 0\end{array}\right.\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 0\\\left\{\begin{array}{l}x \leq \dfrac{-4}{5}\\\left[\begin{array}{l} x = \dfrac{-24}{25}\\x = 0\end{array}\right.\end{array}\right.\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 0\\x = \dfrac{-24}{25}\end{array}\right.$

#329274 Tìm điều kiện của $m$ để PT có 4 nghiệm $x_1,x_2,x_3,x_4...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 26-06-2012 - 09:25 trong Đại số

Cho PT x⁴+(2m² - 1)x²+ 7m - 1 = 0 (1)
tìm điều kiện của m để PT có 4 nghiệm x₁,x_2,x_3,x₄phân biệt và x₁²+ x₂² + x₃² + x₄²=10

Giải

Đặt $t = x^2 \geq 0$, phương trình (1) trở thành:
$$t^2 + (2m^2 - 1).t + 7m - 1 = 0 \,\, (2)$$

Phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt dương. Điều này đồng nghĩa với:
$\left\{\begin{array}{l}\Delta_{(2)} = (2m^2 - 1)^2 - 4(7m - 1) > 0\\S_{(2)} = t_1 + t_2 > 0\\P_{(2)} = t_1.t_2 > 0\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}4m^4 - 4m^2 - 28m + 5 > 0\\1 - 2m^2 > 0\\7m - 1 > 0\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}4m^4 - 4m^2 - 28m + 5 > 0\\\dfrac{- 1}{\sqrt{2}} < m < \dfrac{1}{\sqrt{2}}\\m < \dfrac{1}{7}\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}4m^4 - 4m^2 - 28m + 5 > 0\\\dfrac{- 1}{\sqrt{2}} < m < \dfrac{1}{7}\end{array}\right.$

Ta sẽ xét tới điều kiện:
$$x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 = 10 \,\, (3)$$
Gọi $t_1; t_1$ lần lượt là 2 nghiệm dương của phương trình (2)

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l} x^2 = t_1\\x^2 = t_2\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \pm \sqrt{t_1}\\x = \pm \sqrt{t_2}\end{array}\right.$

Không mất tính tổng quát, giả sử $x_1 = \sqrt{t_1}; x_2 = - \sqrt{t_1}; x_3 = \sqrt{t_2}; x_4 = -\sqrt{t_2}$

$\Rightarrow x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 = 2t_1 + 2t_2 = 2(1 - 2m^2) \,\, (4)$

Từ (3) và (4), suy ra:
$2(1 - 2m^2) = 10 \Leftrightarrow 1 - 2m^2 = 5 \Leftrightarrow m^2 = -2$

Liệu có nhầm lẫn gì ở đây không nhỉ? :3

#329263 Giải hệ phương trình:\[\left\{ \begin{array}{l} \sqr...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 26-06-2012 - 08:52 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{2x + y} = 2 - 2x - y\\\sqrt{x + 2} + \sqrt{2x - y + 2} = 2x + 1\end{array}\right.$

Giải

ĐK:
$\left\{\begin{array}{l}2x + y \geq 0\\x \geq -2\\2x - y + 2 \geq 0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}-2x \leq y \leq 2x + 2\\x \geq -2\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x \geq \dfrac{-1}{2}\\-2x \leq y \leq 2x + 2\end{array}\right.$

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương:
$2x + y + \sqrt{2x + y} - 2 = 0$

$\Leftrightarrow (\sqrt{2x + y} - 1)(\sqrt{2x + y} + 2) = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \sqrt{2x + y} = 1\\\sqrt{2x + y} = -2\end{array}\right.$

Do $\sqrt{2x + y} \geq 0 \Rightarrow \sqrt{2x + y} = 1 \Leftrightarrow 2x + y = 1$

$$\Leftrightarrow y = 1 - 2x$$
Khi đó, phương trình thứ 2 của hệ trở thành:
$\sqrt{x + 2} + \sqrt{2x - (1 - 2x) + 2} = 2x + 1$

$\Leftrightarrow \sqrt{x + 2} + \sqrt{4x + 1} = 2x + 1 \,\,\, (x \geq \dfrac{-1}{4})$

$\Leftrightarrow \sqrt{x + 2} - 2 + \sqrt{4x + 1} - 3 - 2x + 4 = 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{x - 2}{\sqrt{x + 2} + 2} + \dfrac{4x - 8}{\sqrt{4x + 1} + 3} -2(x - 2) = 0$

$\Leftrightarrow (x - 2)(\dfrac{1}{\sqrt{x + 2} + 2} + \dfrac{4}{\sqrt{4x + 1} + 3} - 2) = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 2\\\dfrac{1}{\sqrt{x + 2} + 2} + \dfrac{4}{\sqrt{4x + 1} + 3} = 2\end{array}\right.$

- Với x = 2, suy ra y = -3
Hệ có nghiệm $(x; y) = (2; -3)$
- Với $\dfrac{1}{\sqrt{x + 2} + 2} + \dfrac{4}{\sqrt{4x + 1} + 3} = 2 $
Nhận thấy:
$VT \leq \dfrac{1}{2} + \dfrac{4}{3} = \dfrac{11}{6} < 2 = VF$
Do đó PT nói trên vô nghiệm. Khi đó, hệ vô nghiệm.

Kết luận: Hệ có nghiệm duy nhất; $(x; y) = (2; -3)$

Trang 18 / 22