cho tam giác ABC trọng tâm G,M nằm trên đoạn thẳng BG thỏa mãn $2MB=3MG$,AM cắt BC tại K.Tính tỉ số:$\frac{BK}{BC}$

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn (O), bán kính $R$. Giả sử $AB=R\sqrt{2}$ $CD=R$ $\angle BAD=45$.Biết $O$ nằm trong tứ giác.

1.Chứng minh rằng $BC=R\sqrt{2-\sqrt{3}}$ và $AD=R\sqrt{2+\sqrt{3}}$

2.Gọi $P$ là giao điểm của $AB$ và $CD$ $Q$ là giao điểm của $AD$ và $BC$.$M $ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BDQ$

Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP đi qua $M$

Giải phương trình 

$$x^{4}+x+1=0$$

Em gõ nhầm thành 2 topic rồi nhờ các mod và admin xoá topic này cái ! Thanks!

Cho tam giác nhọn $ABC$ phân giác $AD$, trung tuyến $BE$, đường cao $CF,CI$ ($I$ giao 2 đường chéo) cắt nhau tại 1 điểm. Chứng minh  $\widehat{BAC}>45^{\circ}$

Kẻ $AH$ vuông góc với $BC$ 

Ta có $\dfrac{HC}{AC}=sin \angle HAC$

$\Rightarrow \dfrac{BC}{AC}=2sin 54$ Do $sin 54$ là số vô tỉ nên $\dfrac{BC}{AC}$ là số vô tỉ !

Chứng minh $\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}...\frac{2n-1}{2n} \leq \frac{1}{\sqrt{3n+1}}$ với $n\epsilon \mathbb{N}^*$

Giải Hệ Phương trình 

$$\left\{\begin{matrix} x^3-3x(y+2)+2(y+2)\sqrt{y+2}=0 & & \\ 4(x+y)+2\sqrt{x+2}=14 & & \end{matrix}\right.$$

Cho tam giác $ABO$ vuông cân ở $O$, $M$ thay đỏi trong miền góc vuông OAB. $OM=a$. Qua $M$ kẻ đường thẳng song song với $AB$ cắt $OA,OB$ lần lượt tại $A',B'$

a) Chứng minh : $MA'^2+MB'^2$ không phụ thuộc vị trí điểm $M$.

b) Tìm vị trí điểm $M$ sao cho $MA'+MB'$ max

c) Tìm ví trí điểm $M$ sao cho $MA'^8+MB'^8$ min

Trong một lớp học có 36 bàn học cá nhân, được xếp thành 4 hàng và 9 cột (các hàng được đánh số từ 1 tới 4, các cột được đánh số từ 1 tới 9).Sĩ số của lớp là 35

Sau một học kì cô giáo chủ nhiệm lại xếp lại chỗ ngồi của các học sinh. Đối với mỗi học sinh của lớp giả sử trước khi chuyển chỗ bạn ngồi  ở bàn thuộc hàng thứ $m$ cột thứ $n$ và sau khi chuyển chỗ bạn ngồi ở bàn thuộc hàng thứ $a_{m}$ cột thứ $a_{n}$ ta gắn cho bạn đó số nguyên $(a_{m}+a_{n})-(m+n)$. Chứng minh rằng tổng của 35 số nguyên được gắn cho 35 học sinh không vượt quá 11.

Cho $x_{1},x_{2},...,x_{11}$ thoar mãn

$$1 < x_{1}<x_{2}<x_{3}<...<x_{11} <1000$$

Chứng minh tồn tại $i$ thuộc $[1;2;3;...;10]$

sao cho $x_{i+1}-x_{i}-1<3.\sqrt[3]{x_{i}.x_{i}}+1$

Post bài toán tuổi thơ nhắc nhở và lock topic 

Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $a+b+c=1$.Chứng minh rằng

$\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}<\sqrt{6}$

Giải hệ phương trình 

a) $\left\{\begin{matrix} y^3+3xy^2=-28 & & \\ x^2-6xy+y^2=6x-10y & & \end{matrix}\right.$

b)$\left\{\begin{matrix} x\sqrt{5-x^2}+y\sqrt{5-4y^2}=1 & & \\ \sqrt{5-x^2}+\sqrt{5-4y^2}=x-2y& & \end{matrix}\right.$

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x+y+z=1$

Tìm min của $P=\dfrac{1}{\sum x^2}+\sum \dfrac{1}{xy}$

Mời bạn xem tại my blog

Đặt $a=\dfrac{x}{x-1}$ và $b=\dfrac{x}{x+1}$

Ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} a^2+b^2=\dfrac{10}{9} & & \\ \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=2 & & \end{matrix}\right.$

Nếu giải ntnày thì cần xét2 trường hợp $x$ khác 0 và $x=0$ nữa. 

Hiên nhiên $x \neq 0$ mà bạn. Nếu $x=0$ thì $VT=0 \neq \dfrac{10}{9}$

Cho biểu thứ M= $(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2})(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2})(\sqrt{x}-\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2})(-\sqrt{x}+\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2})$

Với x là số tự nhiên khác 0, chứng tỏ rằng M cũng là số tự nhiên

Nhân ra sử dụng hằng đẳng thức $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$

Kết quả: $M=3x^2+6x-1$ là số tự nhiên

Cho $a \geq 1;b\geq 2; c\geq 3$ Tìm max

$T=\frac{\sqrt{a-1}}{a}+\frac{\sqrt{b-2}}{b}+\frac{\sqrt{c-3}}{c}$

1.Giải bất phương trình $2\sqrt{\dfrac{x^2+x+1}{x+4}}+x^2-4 \leq \dfrac{2}{\sqrt{x^2+1}}$

2.Giải phương trình $3(\sqrt{2x^2+1}-1)=x(1+3x+8\sqrt{2x^2+1})$

Cho ba số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=3$

Ban học gõ latex cũng như đặt lại tiêu đề đi...Nhờ các mod và admin xử lý thành viên này....