Sắp tới một hội nghị về ngôn ngữ lập trình Lean (một loại hỗ trợ chứng minh) sẽ diễn ra ở Đức. Hội nghị bao gồm hướng dẫn làm quen với Lean cũng như giới thiệu về các tiến bộ gần đây trong chứng minh định lý với sự hỗ trợ của máy tính và vai trò của nó đối với toán học trong tương lai. Chi tiết xem tại đây https://lftcm2023.github.io/

 

Liên quan đến Lean thì từ năm ngoái, Meta thông báo rằng họ đã đạt được một số tiến bộ trong giải quyết các bài toán ở cấp độ IMO https://ai.facebook....heorem-proving/ 

Mặt khác, theo như ở đây https://www.icms.org...Events/talk.pdf, Kevin Buzzard cho rằng ứng dụng của AI vào toán học sẽ dừng lại ở mức độ toán phổ thông hoặc những năm đầu đại học, tức là nó có khả năng giải quyết những bài toán mà con người biết chắc có lời giải. Không có bằng chứng nào hiện tại cho thấy AI có thể đóng góp những ý tưởng quan trọng vào toán học, chẳng hạn một lời giải cho giả thuyết BSD bằng AI là “hoàn toàn khoa học viễn tưởng”.

Với mỗi tập đơn hình $S_{•}$ chiều $\leq 1,$ ta có đồ thị $Gr(S_{•})$ với các đỉnh là tập $S_0,$ các cạnh là các 1-đơn hình không suy biến. Các ánh xạ từ $S_{•}$ sang $\infty$-phạm trù $\mathcal{C}$ (có lẽ chỉ cần là một vật đơn hình ở đây) song ánh với $Hom(Gr(S_{•}),G(\mathcal{C}))$, với $G(\mathcal{C})$ là một đồ thị có các đỉnh là các vật của $\mathcal{C}$ và các cạnh là các cấu xạ trong $\mathcal{C}.$ Vì vậy mình có thắc mắc sau:

1. Nếu $S_{•}$ có chiều $\leq k,$ các $j$-đơn hình không suy biến với $j\leq k$ có tạo thành cấu trúc nào có nghĩa không? (ví dụ như đồ thị trong trường hợp $k=1$ ở trên.)

2. Nếu có cấu trúc rõ ràng, các ánh xạ từ $S_{•}$ sang $\infty$-phạm trù $\mathcal{C}$ được mô tả thông qua cấu trúc đó như thế nào?

https://deepmind.goo...m-for-geometry/

https://viasm.edu.vn...P2DXinAawqmylt0

Chứng minh rằng nếu có dãy $-1<a_i<1$ thì

$$\prod_{i=1}^n\prod_{j=1}^n (1+a_ia_j)\geq \prod_{i=1}^n\prod_{j=1}^n(1-a_ia_j).$$

Borcherds có kênh youtube rất hay về toán. Gần đây ông có loạt bài nhập môn lý thuyết số mình thấy khá cơ bản, nhưng gợi mở nhiều vấn đề. Phần bài tập thì khó hơn. Mình lập ra chủ đề này để mọi người có thể thảo luận thêm.

 

Link youtube: https://www.youtube....IhhXSAOpuZ1Fov8

 

Link khoá học https://math.berkele...or/math115su12/

Mình mở chủ đề này để các thành viên có thể vào đây để thực hành cũng như đăng bài tập cho chủ đề đường cong và mặt đại số https://diendantoanh...à-mặt-đại-số/. 

 

Bài 1. Cho $F$ và $G$ là hai đa thức thuần nhất bậc 2 hệ số phức có chung tập nghiệm. Chứng minh rằng tồn tại $\lambda \in \mathbb{C}$ sao cho $F=\lambda G$.

 

 

 

 

BÀI TẬP

Quan hệ tương đương

1. Chứng minh chi tiết các quan hệ trong xây dựng $\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{Z}/n$ là quan hệ tương đương.

2. Cho $X$ là một tập hợp với quan hệ tương đương $\sim.$ Chứng minh rằng:

    (i) Tồn tại một ánh xạ $q: X\to X/\sim$;

    (ii) Chứng minh rằng ánh xạ $f \mapsto f\circ q$ cho ta một đơn ánh $Hom(X/\sim,Y)\to Hom(X,Y)$ với ảnh là tập tất cả ánh xạ $f:X\to Y$ thoả mãn $x\sim y$ thì $f(x)=f(y).$

3. Tìm một quan hệ tương đương $\sim$ trên $\mathbb{R}$ sao cho tồn tại một song ánh $R/\sim\to S^1$, trong đó $S^1$ là đường tròn bán kinh đơn vị có tâm tại gốc toạ độ. 

ĐỊA PHƯƠNG HOÁ CỦA MỘT PHẠM TRÙ

 

Ý tưởng xây dựng phạm trù dẫn xuất xuất phát từ A. Grothendieck và được học trò của ông là Jean-Louis Verdier khai triển trong luận án tiến sĩ, với mục tiêu là tổng quát hoá đối ngẫu Serre. Tuy nhiên, cần một bài viết khác để nói về câu chuyện này. Ở đây ta chỉ xem xét phạm trù dẫn xuất như một cách tiếp cận đối với đại số đồng điều. 

 

Cho $\mathcal{A}$ là một phạm trù aben. Phạm trù dẫn xuất $D(\mathcal{A})$ được định nghĩa như địa phương hoá của phạm trù các phức đối dây chuyền $Comp(\mathcal{A})$ theo các ánh xạ tựa đẳng cấu. Ta bắt đầu với định nghĩa địa phương hoá của một phạm trù.

 

Thủ tục địa phương hoá của một phạm trù tương tự với địa phương hoá của một mô đun. Tức là với mỗi phạm trù $\mathcal{C}$ và mỗi tập $S$ các cấu xạ trong $\mathcal{C},$ tồn tại một phạm trù $S^{-1}\mathcal{C}$ cùng với một hàm tử $\mathcal{C}\to S^{-1}\mathcal{C}$ sao cho mọi hàm tử $\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ thoả mãn ảnh của $S$ trong $\mathcal{D}$ là các đẳng cấu thì $\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ phải tách qua được $\mathcal{C}\to S^{-1}\mathcal{C}.$ 

 

Phạm trù $S^{-1}\mathcal{C}$ có thể được xây dựng như sau:

(1) Các vật của $S^{-1}\mathcal{C}$ là các vật của $\mathcal{C}$.

(2) Tập các cấu xạ trong $S^{-1}\mathcal{C}$ được sinh bởi hợp của các cấu xạ trong $\mathcal{C}$ và tập các nghịch đảo được bổ sung cho các cấu xạ trong $S$.

 

Cách xây dựng này mặc dù đơn giản, nhưng rất khó để mường tượng một cấu xạ giữa hai vật trong $S^{-1}\mathcal{C}$ là gì, vì sau quá trình bổ sung các nghịch đảo, ta cần bổ sung các cấu xạ mới để đảm bảo $S^{-1}\mathcal{C}$ là một phạm trù. Chẳng hạn, xét phạm trù $\mathcal{C}$ định nghĩa như sau:

(1) $Ob(\mathcal{C})=\{x,y,z\}$.

(2) $Mor(\mathcal{C})=\{id_x,id_y,id_z, f:x\to y, g: y\to z, h=g\circ f:x\to z, h’: x\to z\}.$

Đặt $S=\{f,g\}$. Các cấu xạ trong $S^{-1}\mathcal{C}$ được bổ sung thêm gồm có $f^{-1}, g^{-1}$ là các nghịch đảo của $f,g,$ và một loạt các cấu xạ khác, chẳng hạn: $g^{-1}h’, g^{-1}h, hf^{-1}, f^{-1}h’,\dots$

 

Trong trường hợp $S$ thoả mãn tính chất của một hệ nhân tính (có thể so sánh với tập con nhân tính trong địa phương hoá của mô-đun), ta có thể xây dựng $S^{-1}\mathcal{C}$ rõ ràng hơn. 

 

Định nghĩa 1. Tập $S\subseteq Mor(\mathcal{C})$ được gọi là một hệ nhân tính trái nếu nó thoả mãn các điều kiện sau:

(1) $id_x\in S$ với mọi $x$ và nếu $f,g\in S$ và tồn tại $g\circ f$ thì $g\circ f \in S.$

(2) Nếu có các ánh xạ $g:x\to y, t: x\to z$ sao cho $t\in S$ thì tồn tại $s:y\to w, f: z\to w$ sao cho $s\in S$ và $sg=ft.$

(3) Nếu $ft=gt$ với $t\in S$ thì tồn tại $s\in S$ sao cho $sf=sg.$

 

Tương tự ta có định nghĩa hệ nhân tính phải là đối ngẫu của định nghĩa trên. Với tập $S$ thoả mãn định nghĩa trên thì ta có thể xây dựng phạm trù $S^{-1}\mathcal{C}$ như sau:

(1) Các vật của $S^{-1}\mathcal{C}$ là các vật của $\mathcal{C}$.

(2) Với mỗi cặp $x,y\in \mathcal{C},$ 

$$Mor_{S^{-1}\mathcal{C}}(x,y)=\{x\xrightarrow{f} z \xleftarrow{s}y \mid s\in S\}/\sim,$$

trong đó $\sim$ được định nghĩa như sau: Ta nói $$(x\xrightarrow{f} z \xleftarrow{s}y)E(x\xrightarrow{f’} z’ \xleftarrow{s’}y)$$ nếu tồn tại $a:z\to z’$ sao cho $af=f’,as=s’.$ Từ đó, ta định nghĩa $$(x\xrightarrow{f} z \xleftarrow{s}y) \sim (x\xrightarrow{f’} z’ \xleftarrow{s’}y)$$ nếu tồn tại $(x\xrightarrow{f’’} z’’ \xleftarrow{s’’}y)$ sao cho $$(x\xrightarrow{f} z \xleftarrow{s}y)E (x\xrightarrow{f’’} z’’ \xleftarrow{s’’}y) \text{ và } (x\xrightarrow{f’} z’ \xleftarrow{s’}y)E(x\xrightarrow{f’’} z’’ \xleftarrow{s’’}y).$$

Ta định nghĩa phép hợp thành trên phạm trù $S^{-1}{\mathcal{C}}$ như sau: Cho hai cấu xạ $p=[(x\xrightarrow{f} a \xleftarrow{s}y)]$ và $q=[(y\xrightarrow{g} b \xleftarrow{t}z)].$ Theo tiên đề (2) trong định nghĩa của tập nhân tính trái, tồn tại $h:a\to c, u: b\to c$ với $u\in S$ sao cho $ug=hs$. Từ đó, ta định nghĩa $qp$ như là $$[(u\xrightarrow{hf}c\xleftarrow{ut} z)].$$ Có thể chứng minh định nghĩa này không phụ thuộc vào cách chọn phần tử đại diện. Cách xây dựng trong trường hợp $S$ là hệ nhân tính phải cũng tương tự.

 

Ví dụ 2. Cho $R$ là một vành giao hoán. Địa phương hoá của phạm trù $Mod(R)$ tất cả các mô-đun trên $R$ tại $S=\{M\to M, m\to rm \mid r\in R, M\in Mod(R)\}$ tương đương với phạm trù $Mod(S^{-1}R).$

 

Ví dụ 3. $K^{\bullet}, L^{\bullet}$ là các phức trong $Comp(\mathcal{A}).$ Một ánh xạ $f: K^{\bullet}\to L^{\bullet}$ được gọi là tựa đẳng cấu nếu các ánh xạ $H^{i}(f)$ là đẳng cấu với mọi $i\in \mathbb{Z}.$ Đặt $Qis(\mathcal{A})$ là tập hợp tất cả các tựa đẳng cấu trong $Comp(\mathcal{A}).$ Có thể kiểm tra được $Qis(\mathcal{A})$ vừa là một hệ nhân tính trái, vừa là một hệ nhân tính phải. Ta định nghĩa phạm trù dẫn xuất của $\mathcal{A}$ là $Qis(\mathcal{A})^{-1} Comp(\mathcal{A}).$

 

Trong bài tới, ta sẽ tìm hiểu sâu thêm về phạm trù $D(\mathcal{A}).$ Phạm trù $D(A)$ nói chung không còn aben, nhưng $D(A)$ vẫn có cấu trúc của một phạm trù tam giác phân, từ đó ta vẫn khôi phục các xây dựng trong đại số đồng điều cổ điển.

 

THAM KHẢO

[1] Stackproject.

Give a counter example to the following statement: If $f:X\to Y$ is flat, of finite type with $Y$ locally Noetherian then $f$ is smooth if and only if the fibers $X_y\to \mathrm{Spec}(k(y))$ is smooth for every $y$ ‘’closed’’ in $Y$.

Remark: the above statement is true if $X,Y$ are schemes over a field $k$.

Ta có $(I-T)(I+T)=I-T^2=I.$

Chủ đề này để thảo luận về đường cong và mặt đại số. Trước mắt chúng ta sẽ đi theo trình tự như trong quyển sách của Fulton (http://www.math.lsa....n/CurveBook.pdf). Tuy nhiên ta sẽ chỉ trình bày về đường cong phẳng (trong A^2 hoặc P^2) và mặt trong không gian (A^3 hoặc P^3). Thực tế là trước khi có hình học đại số thế kỷ 20 thì trước đó đã có những nghiên cứu về hình học đại số. Vậy thật sự những bài toán hình học đại số nảy sinh từ đâu? Theo mình điều này không chỉ giúp ích cho người mới bắt đầu mà ngay với cả những người đã học hình đại số. Việc hạn chế số chiều và số biến như trên hi vọng sẽ giúp ta chỉ cần kiến thức về đa thức và không phải đề cập sâu hơn đại số giao hoán.

https://drive.google...t7BkYWn2a0/view

Chứng minh rằng: Nhóm $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ có cấp vô hạn nhưng mọi phần tử có cấp hữu hạn.

Lấy một phần tử trong $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ đại diện bởi $\frac{a}{b}, b>0$ thì phần tử này sẽ có cấp $\leq b$. Nhóm này vô hạn vì $\mathbb{Q}\cap [0,1)$ song ánh với $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$, cho bởi ánh xạ $x\mapsto [x].$  

Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Chứng minh $det(A) = det(A^T) \quad(*)$

+Với $n = 2$

\[\begin{array}{l}
\det \left( A \right) = {a_{11}}{a_{22}} - {a_{12}}{a_{21}}\\
\det \left( {{A^T}} \right) = {a_{11}}{a_{22}} - {a_{21}}{a_{12}}\\
 \Rightarrow \det \left( A \right) = \det \left( {{A^T}} \right)
\end{array}\]

 

Giả sử (*) đúng với $n = k$ (1). Với $n = k + 1$, ký hiệu $A_{ij}$ là ma trận bù $a_{ij}$. Dễ thấy $(A_{11})^T = (A^T)_{11})$
$$(A_{1j})^T = (A^T)_{j1} \forall 1\leqslant j\leqslant n$$
Khai triển tính $det(A)$ theo hàng 1
\[\det \left( A \right) = \sum\limits_{j = 1}^n {{{\left( { - 1} \right)}^{1 + j}}{a_{1j}}\det \left( {{A_{1j}}} \right)} \quad \left( 2 \right)\]
Khai triển tính $det(A^T)$ theo cột 1
\[\det \left( {{A^T}} \right) = \sum\limits_{j = 1}^n {{{\left( { - 1} \right)}^{1 + j}}{a_{1j}}\det \left( {{{\left( {{A^T}} \right)}_{j1}}} \right)}  = \sum\limits_{j = 1}^n {{{\left( { - 1} \right)}^{1 + j}}} {a_{1j}}\det \left( {{{\left( {{A_{1j}}} \right)}^T}} \right) \quad \left( 3 \right)\]
Từ $(1), (2), (3)$ suy ra (*) đúng với $n = k + 1$
Vậy (*) đúng với mọi $n \geqslant 1$.

Có thể chứng minh cái này bằng công thức khác của định thức mà thực ra công thức này có thể được dạy như là công thức đầu tiên của định thức: nếu $A=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ thì

$$det(A)=\sum_{\sigma\in S_n} sgn(\sigma) a_{1\sigma(1)}\dots a_{n\sigma(n)}.$$

Như vậy $det(A^t)=\sum_{\sigma \in S_n}sgn(\sigma)a_{\sigma(1)1}\dots a_{\sigma(n)n}=\sum_{\sigma\in S_n} sgn(\sigma)a_{1\sigma^{-1}(1)}\dots a_{n\sigma^{-1}(n)}.$

Do $sgn(\sigma)=sgn(\sigma^{-1})$ nên tổng cuối cùng trong đẳng thức trên cũng là $det(A).$

Bài viết này trình bày một số kết quả về mở rộng và hạn chế ideal trong trường hợp trên vành thương, trên vành các thương và trên mở rộng nguyên. Tùy vào đối tượng cụ thể mà mở rộng và hạn chế còn có nhiều tính chất thú vị khác, tuy nhưng bài viết sẽ tập trung vào các ideal tổng quát là chính. Các kết quả trong bài viết tổng hợp từ [1], [2].

Cho $A$ là một vành. Nếu $\mathfrak{a}$ là ideal của $A$ thì kí hiệu $\mathfrak{a}\lhd A$. Ngoài ra ta gọi $I(A)$ là họ các ideal trong $A$, $Spec(A)$ là họ các ideal nguyên tố trong $A$.

Với miền nguyên $A$ và tập con nhân tính $S$ của $A$ ($0\notin S$), kí hiệu $S^{-1}A=\{a/s|a\in A,s\in S\}$ là vành các thương trên $A$ đối với $S$. Đặc biệt trong trường hợp $S=S_{\mathfrak{p}}=A-\mathfrak{p}$ với $\mathfrak{p}$ là một ideal nguyên tố trong $A$ thì ta kí hiệu $A_{\mathfrak{p}}=S_{\mathfrak{p}}^{-1}A$.
Một số kiến thức cơ bản về vành và ideal, bạn đọc có thể xem trong chương I của [1].

 

1. Lý thuyết cơ bản về mở rộng và hạn chế ideal

 

Ở mục này ta sẽ xét $A,B$ là các vành và $f:A\rightarrow B$ là một đồng cấu vành. Khi đó ta có thể coi $B$ là một "mở rộng" của $A$.
Xét $\mathfrak{a}$ là một ideal của $A$, ta gọi mở rộng của $\mathfrak{a}$ trên $B$ là ideal $Bf(\mathfrak{a})$, kí hiệu bởi $\mathfrak{a}^e$ (ở đây cần nhấn mạnh $f(\mathfrak{a})$ chưa chắc là ideal trong $B$ nên ta cần lấy ideal sinh bởi nó).
Xét $\mathfrak{b}$ là một ideal của $B$, khi đó ta chỉ ra được $f^{-1}(\mathfrak{b})$ là một ideal trên $A$, gọi là hạn chế của $\mathfrak{b}$ trên $A$, kí hiệu bởi $\mathfrak{b}^c$.

 

Tính chất 1: Cho $\mathfrak{a}\lhd A$ và $\mathfrak{b}\lhd B$. Khi đó:
• $\mathfrak{a}\subset \mathfrak{a}^{ec}, \mathfrak{b} \supset \mathfrak{b}^{ce}$,
• $\mathfrak{a}^{ece}=\mathfrak{a}^{e}$ và $\mathfrak{b}^{c}=\mathfrak{b}^{cec}$.

 

Tính chất trên có thể chứng minh dễ dàng nên tác giả nhường lại bạn đọc. Đặc biệt ở mệnh đề sau của tính chất 1 cho thấy rằng trên tập $\{\mathfrak{a}^{e}|\mathfrak{a}\lhd A\}$ thì phép lấy $^{ce}$ (tức là hạn chế rồi mở rộng) là một ánh xạ bất biến, tương tự với phép lấy $^{ec}$ trên tập $\{\mathfrak{b}^{c}|\mathfrak{b}\lhd B\}$. Đó là cơ sở để ta quan tâm đến hai tập hợp sau.

 

Mệnh đề 2: $C=\{\mathfrak{a}\lhd A| \exists \mathfrak{b}\lhd B: \mathfrak{b}^c= \mathfrak{a}\}$ được gọi là họ các ideal hạn chế trên $A$, $E=\{\mathfrak{b}\lhd B| \exists \mathfrak{a}\lhd A:\mathfrak{a}^e= \mathfrak{b}\}$ được gọi là họ các ideal mở rộng trên $B$. Khi đó $C=\{\mathfrak{a}\lhd A:\mathfrak{a}^{ec}=\mathfrak{a}\}$ và $E=\{\mathfrak{b}\lhd B:\mathfrak{b}^{ce}=\mathfrak{b}\}$.
Hơn nữa ta có song ánh \[(\_)^e:C\rightarrow E, \mathfrak{a}\mapsto \mathfrak{a}^e\] với ánh xạ ngược $(\_)^c:E\rightarrow C$, $\mathfrak{b}\mapsto \mathfrak{b}^c$.
Chứng minh. Ý thứ nhất nếu $\mathfrak{a}$ nằm trong $C$ thì tồn tại $\mathfrak{b}\lhd B:\mathfrak{a}=\mathfrak{b}^c$. Do đó $\mathfrak{a}^{ec}=\mathfrak{b}^{cec}=\mathfrak{b}^{c}=\mathfrak{a}$, ngược lại nếu $\mathfrak{a}=\mathfrak{a}^{ec}=(\mathfrak{a}^e)^c$ dẫn tới $\mathfrak{a}\in C$.
Ý thứ hai, theo nhận xét trước đó của ta thì $(\_)^e \circ (\_)^c = Id_E$ và $(\_)^c \circ (\_)^e = Id_C$ nên ta có $(\_)^e$ và $(\_)^c$ là song ánh.

 

Mệnh đề trên rất quan trọng, nó cho phép liên hệ các ideal trên $A$ với ideal trên $B$ một cách tương ứng. Trong từng trường hợp cụ thể, tương ứng trên sẽ cho ta các tính chất khác nhau. Tiếp theo là một loạt tính chất của mở rộng và hạn chế, xem như bài tập cho bạn đọc.

 

Mệnh đề 3: Cho $\mathfrak{a}_1,\mathfrak{a}_2 \lhd A$, $\mathfrak{b}_1,\mathfrak{b}_2 \lhd B$ . Khi đó:

• $(\mathfrak{a}_1+\mathfrak{a}_2)^e=\mathfrak{a}_1^e+\mathfrak{a}_2 ^e$; $(\mathfrak{b}_1+\mathfrak{b}_2)^c\supset \mathfrak{b}_1^c+\mathfrak{b}_2 ^c $;
• $ (\mathfrak{a}_1\cap \mathfrak{a}_2)^e\subset \mathfrak{a}_1^e\cap\mathfrak{a}_2 ^e$; $ (\mathfrak{b}_1\cap \mathfrak{b}_2)^c=\mathfrak{b}_1^c\cap\mathfrak{b}_2 ^c$;
• $(\mathfrak{a}_1\mathfrak{a}_2)^e=\mathfrak{a}_1^e\mathfrak{a}_2 ^e$; $(\mathfrak{b}_1\mathfrak{b}_2)^c=\mathfrak{b}_1^c\mathfrak{b}_2 ^c $;
• $(\mathfrak{a}_1:\mathfrak{a}_2)^e=(\mathfrak{a}_1^e:\mathfrak{a}_2^e)$, $(\mathfrak{b}_1:\mathfrak{b}_2)^c=(\mathfrak{b}_1^c\mathfrak{b}_2 ^c)$ trong đó $(\mathfrak{a}:\mathfrak{b})=\{x\in A:x\mathfrak{b}\subset \mathfrak{a}\}$.

 

Kết thúc mục này là tính chất bảo toàn tính nguyên tố của phép lấy hạn chế:

 

Mệnh đề 4: Cho $\mathfrak{P}$ là ideal nguyên tố trong $B$, khi đó $\mathfrak{P}^c$ là ideal nguyên tố trong $A$
Chứng minh. Xét $ab\in \mathfrak{P}^c=f^{-1}(\mathfrak{P})$, khi đó $f(a)f(b)\in \mathfrak{P}$ nên $f(a)\in \mathfrak{P}$ hoặc $f(b)\in \mathfrak{P}$, dẫn tới $a\in\mathfrak{P}^c$ hoặc $b\in\mathfrak{P}^c$.

 

Cần lưu ý rằng mở rộng của một ideal nguyên tố chưa chắc đã là ideal nguyên tố.
Nói chung mỗi mục II,III,IV của ta sẽ đi theo hướng: xác định tập C và E tương ứng với mở rộng ta đang xét, khảo sát tính cực đại, tính nguyên tố của các ideal khi mở rộng và một số tính chất liên quan khác.

 

Tài liệu tham khảo.

[1] M. F. Atiyah - I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra.

[2] Serge Lang, Algebraic Number Theory.

Vành $A$ không cần nguyên để định nghĩa vành các thương $S^{-1}A.$

 

Trước đây đại số giao hoán không được dạy ở Việt Nam, nhưng không may cho bạn là cách đây vài năm thì Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội đã bắt đầu dạy môn này ở bậc đại học nên nếu bạn không sửa lại thì mình phải đóng chủ đề này vì box này không phải để mọi người xem lại kiến thức chung. Vẫn chủ đề này, bạn có thể đặt các câu hỏi, hoặc đăng bài tập, hoặc thảo luận sâu thêm,…, thì không vấn đề gì.

 

Trong box toán đại cương mình đang viết để tiếp nối đường cong và mặt đại số cho học sinh THCS/ phổ thông. Nếu bạn vẫn muốn viết về chủ đề này thì bạn có thể viết nó trong hoàn cảnh giải thích cho học sinh. Chẳng hạn như ta sẽ phải xét ánh xạ chính quy giữa hai đường cong.

QUAN HỆ

Định nghĩa. Cho $X$ là một tập hợp. Một quan hệ hai ngôi trên $X$ là một tập con $R\subseteq X\times X$. Ta ký hiệu sự kiện $(x,y)\in R$ bởi $xRy.$  

 

ÁNH XẠ

Định nghĩa.

(i) Một ánh xạ $f$ từ tập $X$ sang tập $Y$ là một tập con $f\subseteq X\times Y$ thoả mãn với mọi $x\in X,$ tồn tại duy     nhất $y\in Y$ sao cho $(x,y)\in f$. Ta cũng ký hiệu phần tử $y$ này là $f(x).$ 

(ii) Ký hiệu $Hom(X,Y)$ cho tập tất cả các ánh xạ từ $X$ sang $Y$.

 

Định nghĩa. Cho $f:X\to Y$ là một ánh xạ.

(i) Ánh xạ $f$ được gọi là đơn ánh nếu với mọi $x,y \in X$ $f(x)=f(y)$ thì $x=y$.

(ii) Cho $E\subseteq X$. Ảnh của $E$ qua ánh xạ $f$, ký hiệu bởi $f(E)$ là tập tất cả các phần tử $f(x)$ với $x\in E.$ Nếu $E=X,$ ta có thể dùng cách nói ảnh của ánh xạ $f.$

(iii) Nếu ảnh của $f$ bằng toàn bộ $Y$ thì ta nói ánh xạ $f$ là toàn ánh. 

(iv) Một ánh xạ là đơn ánh đồng thời toàn ánh thì được gọi là song ánh.

 

Định nghĩa. Một phép toán hai ngôi trên $X$ là một ánh xạ $X\times X\to X.$  

 

Ví dụ. Ta định nghĩa các phép toán hai ngôi $m$ và $+$ trên $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ như sau:

$$m((a,b),(c,d))=(ac-bd,ad+bc).$$ 

$$+((a,b),(c,d))=(a+c,b+d).$$Ta ký hiệu $+((a,b),(c,d))=(a,b)+(c,d).$

Ta cũng định nghĩa các phép nhân vô hướng:

$$.:\mathbb{R}\times (\mathbb{R}\times \mathbb{R})\to \mathbb{R}\times \mathbb{R},\ (x,(a,b))\mapsto (xa,xb).$$Ký hiệu $.(x,(a,b))=x(a,b).$

Đặt $i=(0,1),$ như vậy mọi $(a,b)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}$ thoả mãn $(a,b)=a(1,0)+ib$ và $i^2=m(i,i)=-1.$ Như vậy, $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ với các cấu trúc trên tạo thành tập số phức.

 

QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG

Định nghĩa. Một quan hệ tương đương trên tập $X$ là một quan hệ trên $X$ thoả mãn ba tính chất sau:

(1) Phản xạ: Với mọi $x\in X$, ta có $xRx$;

(2) Đối xứng: Với mọi $x,y\in X$, nếu $xRy$ thì $yRx$;

(3) Bắc cầu: Với mọi $x,y\in X$, nếu $xRy$ và $yRz$ thì $xRz$.

Người ta hay ký hiệu quan hệ tương đương bởi $\sim.$

 

Định nghĩa. Nếu $\sim$ là một quan hệ tương đương trên $X$ thì ta có thể định nghĩa tập các lớp tương đương $X/\sim$ như sau. Với mỗi $x\in X,$ một lớp tương đương chứa $x$, ký hiệu bởi $[x]$ là tập hợp tất cả $y\in X$ thoả mãn $y\sim x.$ Từ đó, ta đặt

$$X/\sim=\{[x]\mid x\in X\}.$$ 

 

Ta có thể chứng minh được hai tính chất sau:

(1) $[x]\cap[y]\neq \emptyset$ nếu và chỉ nếu $x\sim y$; 

(2) $x\in [x].$

Do đó, ta có $X=\bigcup_{[x]\in X/\sim} [x].$ Nói cách khác, $X$ được phân hoạch thành họp rời của các lớp tương đương thoả mãn $x, y$ thuộc cùng một lớp tương đương nếu và chỉ nếu $x\sim y.$

 

Ta đưa ra một số ứng dụng của quan hệ tương đương:

 

(i) Xây dựng tập các số hữu tỉ $\mathbb{Q}$.

Ta định nghĩa một quan hệ $R$ trên $\mathbb{Z}\times (\mathbb{Z}-\{0\})$ như sau:

$$(a,b)\sim(c,d) \text{ nếu và chỉ nếu } ad-bc=0.$$

Từ đó, ta định nghĩa $\mathbb{Q}=(\mathbb{Z}\times(\mathbb{Z}-\{0\}))/\sim.$

 

(ii) Xây dựng tập số thực $\mathbb{R}$.

Một dãy các số hữu tỷ $(x_n)$ với $x_n\in \mathbb{Q}$ được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi số hữu tỷ $\epsilon>0,$ tồn tại $N$ sao cho nếu $n, m>N$ thì $|x_n-x_m|<\epsilon.$ Ký hiệu $C$ là tập hợp các dãy Cauchy. Định nghĩa một quan hệ tương đương trên $C$ như sau:

$$(x_n)\sim (y_n) \text{ nếu và chỉ nếu với mọi số hửu tỷ }\epsilon>0,\text{ tồn tại }N \text{ sao cho với mọi }n>N, |x_n-y_n|<\epsilon.$$ 

Từ đó, ta định nghĩa $\mathbb{R}=C/\sim.$ Chẳng hạn số vô tỷ $0.123\dots=[(0,0.1,0.12,0.123,\dots)].$ Hoặc $0.(9)=1$ vì dãy $(1-0,1-0.9,1-0.99,1-0.999,\dots)=(1,0.1,0.01,\dots)=(1/10^n\dots)_n$ nên với mọi $\epsilon>0,$ và với mọi $n>N$ với $N$ được chọn sao $10^N>1/\epsilon,$ ta có $1/10^n<\epsilon.$

 

(iii) Tập các lớp thặng dư mod $N$.

Trên tập số nguyên $\mathbb{Z},$ định nghĩa quan hệ tương đương như sau:

$$a\sim b \text{ nếu và chỉ nếu }N|a-b.$$

Từ đó, định nghĩa $\mathbb{Z}/n=\mathbb{Z}/\sim.$ Ta ký hiệu $[k]$ trong $\mathbb{Z}/n$ bởi $\overline{k}.$ Như vậy $\mathbb{Z}/n$ bao gồm $n$ phần tử $\overline{0},\dots,\overline{n-1}.$

 

Theo tinh thần của $(ii),$ ta có thể xây dựng tập các số $p$-adic với mỗi số nguyên tố $p$, các số đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết số (xem bài này https://diendantoanh...hữu-tỉ-lại-khó/) 

 

(iv) Các số hữu tỷ $p$-adic.

Cho $p$ là một số nguyên tố. Với mọi $x\in \mathbb{Q}-\{0\}$ ta có thể viết lại:

$$x=p^{n} \frac{a}{b},$$thoả mãn $a, b$ không có ước nguyên tố $p.$ Số nguyên $n$ được gọi là định giạ $p$-adic của $x,$ ký hiệu bởi $v_p(x).$ Một dãy Cauchy theo khoảng cách p-adic là một dãy các số hữu tỷ $(x_n)$ thoả mãn với mọi số nguyên dương $E,$ tồn tại $N$ sao cho với mọi $n>N,$ $v_p(x_n)>E.$ Ký hiệu $C$ cho tập tất cả các dãy Cauchy theo khoảng cách $p$-adic. Định nghĩa một quan hệ tương đương trên $C$ như sau:

$$(x_n)\sim (y_n) \text{ nếu và chỉ nếu với mọi số nguyên dương }E,\text{ tồn tại }N \text{ sao cho với mọi }n>N, v_p(x_n-y_n)>E$$ 

Từ đó, ta định nghĩa $\mathbb{Q}_p=C/\sim.$ Chẳng hạn với $p=2$, $(1,1+2,1+2^2,1+2^2+2^3,\dots)$ là một số $2$-adic.

Cho một hình đa giác lồi, lấy một điểm bất kì A bên trong hình đa giác lồi. Chứng minh luôn tồn tại một cạnh sao cho khi ta hạ vuông góc từ A xuống cạnh đó, chân đường vuông góc nằm trên cạnh đó.

Em năm nay là học sinh lớp 8 ở một trường tỉnh. Em tự đánh giá thấy khả năng làm toán của em khá tốt. Học lớp chọn 1, trong đội tuyển hsg toán của trường từ lớp 7.

Hiện tại em có mong muốn thi chuyên toán tin trường chuyên khtn dhqghn ạ.

Rất mong mọi người cho em lời khuyên và kinh nghiệm để ôn luyện và tham gia thi ạ.

Em nhắn trực tiếp cho mình thì dễ nói chuyện hơn. Mình xem có giúp được gì không.

PHẠM TRÙ VÔ CỰC

 

Mục tiêu của bài này là để giải thích định nghĩa của phạm trù vô cực theo Jacob Lurie. Nói ngắn gọn, ta sẽ giải thích định nghĩa của $\infty$-phạm trù như hợp của lý thuyết đồng luân và lý thuyết phạm trù.

 

Nhắc lại trong bài này https://diendantoanh...iều-lý-thuyết/, ta biết rằng nhóm cơ bản của một không gian tô pô $X$ tại điểm $x\in X$ được định nghĩa như là nhóm các nút tại $x$ chia thương cho quan hệ đồng luân. Ngoài ra, ta cũng định nghĩa $\pi_0(X)$ là tập các thành phần liên thông đường. Chúng được sử dụng để phân biệt các không gian tô pô: nếu các không gian tô pô $X$ và $Y$ đồng phôi thì $\pi_0(X)\simeq \pi_0(Y)$, $\pi_1(X)\simeq \pi_1(Y)$ (trong trường hợp các không gian $X, Y$ là liên thông đường).

 

Ta có thể gắn với mỗi không gian tô pô $X$ phạm trù $\pi_{\leq 1}(X)$ mà tử đó các tập $\pi_0(X)$ và $\pi_1(X)$ có thể được trích xuất ra thuần tuý bằng ngôn ngữ phạm trù, độc lập hoàn toàn với không gian tô pô $X$. Phạm trù $\pi_{\leq 1}(X)$ được định nghĩa như sau: 

    (a) Các vật là các điểm của $X$;

    (b) Một cấu xạ giữa hai điểm $x, y$ là một lớp đồng luân của các đường từ $x$ sang $y$.

Từ đó, ta có thể mô tả $\pi_0(X)$ như là tập các lớp đẳng cấu của $\pi_{\leq 1}(X)$ và $\pi_1(X,x)=Hom_{\pi_{\leq 1}(X)}(x,x).$ 

 

Tất nhiên, chỉ với định nghĩa này thì ta không thấy được tại sao cách mô tả các tập $\pi_0(X), \pi_1(X)$ bằng phạm trù lại hữu dụng. Tuy nhiên, nó lại gợi ý cho ta một điều sau. Nhắc lại rằng ngoài các nhóm $\pi_0(X), \pi_1(X)$, ta có thể định nghĩa một cách tương tự các nhóm $\pi_n(X)$, với $n\geq 2,$ được gọi là các nhóm đồng luân cấp cao. Theo đó, các nhóm $\pi_n(X,x)$ là nhóm các ánh xạ liên tục $S^n \to X$ tại $x$ chia thương cho quan hệ đồng luân. Lấy cảm hứng từ $\pi_{\leq 1}(X)$, ta mong muốn gắn với $X$ một phạm trù, tạm ký hiệu là $\pi(X)$, sao cho sao cho $\pi_{n}(X)$ được định nghĩa thông qua $\pi(X)$. Tuy nhiên trên thực tế, phạm trù mà ta kỳ vọng lại không phải một phạm trù thông thường, tức là không phải là một phạm trù chỉ bao gồm các vật và các cấu xạ giữa các vật, mà lại có một cấu trúc phức tạp hơn, mà ta tạm gọi là $\infty$-phạm trù. Trong một $\infty$-phạm trù, ngoài các cấu xạ giữa các vật, mà ta gọi là các 1-cấu xạ, còn có các 2-cấu xạ giữa các 1-cấu xạ, các 3-cấu xạ giữa các 2-cấu xạ,…

 

Trước khi đưa ngay ra định nghĩa của $\pi(X)$ ta đưa ra một cách mô tả khác của $\pi_0(X),\pi_1(X)$. Điều này giải thích một phần xây dựng sắp tới đây của phạm trù $\pi(X)$. Một $n$-đơn hình (kỳ dị) trong $X$ là một ánh xạ liên tục từ $$|\Delta^n|\to X,$$ở đây $\Delta=\left\{(x_0,\dots,x_n)\in \mathbb{R}_{\geq 0}^n| x_0+\dots+x_n=1\right\}.$ Các đơn hình kỳ dị đóng vai trò cốt lõi trong định nghĩa đồng điều kỳ dị, tuy nhiên ở đây ta khai thác chúng theo một cách đặc biệt. 

 

Ví dụ 1. Rõ ràng, các điểm trong $X$ là các $0$-đơn hình, các đường liên tục trong $X$ là các $1$-đơn hình, và thú vị hơn, các đồng luân trong $X$ tương ứng với một tập nhất định các $2$-đơn hình! Thật vậy, nếu $H$ là môt đồng luân từ đường $f$ sang đường $g$ nối hai điểm $x,y$ thì $\sigma(x_0,x_1,x_2)=H(1-x_0,x_2/(1-x_0))$ là một $2$-đơn hình, thoả mãn $$\sigma|_{x_0=0}=id_{\{y\}},\ \sigma|_{x_1=0}=g,\ \sigma|_{x_2=0}=f.$$Ngược lại, một đơn hình thoả mãn các tính chất trên xác định một đồng luân từ $f=f\cdot id_{\{y\}}$ sang $g$. 

 

Ứng cử viên cho phạm trù $\pi(X)$ là $Sing_{\bullet}(X):$

 

Định nghĩa 2. Ký hiệu $\Delta$ là phạm trù với các vật là các tập sắp thứ tự $[n]=\{0<1<\dots<n\}$ và các cấu xạ là các ánh xạ không giảm. Định nghĩa $Sing_{\bullet}(X)$ là một hàm tử nghịch biến $\Delta\to Set$ như sau:

    (a) $Sing_{\bullet}(X)([n])=Sing_n(X)=Top(|\Delta^n|,X)=$ tập các $n$-đơn hình kỳ dị trong X;

    (b) Nếu $f$ là một ánh xạ không giảm từ $[m]$ sang $[n]$ thì với mọi $n$-đơn hình kỳ dị $\sigma,$ $$Sing_{\bullet}(f)(\sigma)(x_0,\cdots,x_m)=\sigma\left(\sum_{i_0\in f^{-1}(0)}x_{i_0},\dots,\sum_{i_n\in f^{-1}(m)}x_{i_n}\right).$$

 

Một hàm tử nghịch biến $S_{\bullet}: \Delta\to Set$ còn được gọi là một vật đơn hình (từng được giới thiệu ở đâyhttps://diendantoanh...yết-đơn-hình/). Ta gọi các phần tử trong $S_0$ là các đỉnh và các phần tử trong $S_1$ là các cạnh, cũng như các phần tử trong $S_n$ là $n$-đơn hình. Trong cấu trúc mới này, ta có thể mường tượng ra định nghĩa tập các thành phần liên thông $S_{\bullet}$ theo tinh thần ở trên, cũng như $\pi_1(S_{\bullet},x)$, và có lẽ cả các nhóm đồng luân cấp cao $\pi_{n}(S_{\bullet},x)$? Tuy nhiên, các định nghĩa này thực ra lại rối rắm hơn nhiều. Ta bắt đầu với định nghĩa của $\pi_0(X).$ Trước hết, ta đưa ra khái niệm đỉnh đầu và đỉnh cuối của một cạnh.

 

Định nghĩa 3. Cho $e\in S_1,$ ta gọi $S_{\bullet}([0]\to [1], 0\mapsto 1)(e)=d_0(e)$ là đỉnh cuối của $e$, $S_{\bullet}([0]\to [1], 0\mapsto 0)(e)=d_1(e)$ là đỉnh đầu của $e$. 

 

Sẽ là sai lầm nếu định nghĩa ngay rằng hai đỉnh $x$ và $y$ cùng nằm trong một thành phần liên thông nếu có một cạnh với đỉnh đầu $x$ và đỉnh cuối $y$. Trong định nghĩa của $\pi_{\leq 1}(X)$ ở đầu bài, để chứng minh được tiên đề về tính hợp thành của một phạm trù, ta cần tính chất sau của không gian tô pô $X$: nếu có một đường từ $x$ tới $y$ và một đường từ $y$ tới $z$ thì tồn tại một đường từ $x$ tới $z$. Không có lý do nào để một tập đơn hình nói chung có tính chất này. Do đó, định nghĩa của $\pi_0(X)$ được phát biểu như sau:

 

Định nghĩa 4. Tập các thành phần liên thông $\pi_{0}(S_{\bullet})$ được định nghĩa là $S_0$ chia thương cho quan hệ tương đương sinh bởi $\{(d_1(e),d_0(e) \mid e\in S_1\}\subseteq S_0\times S_0.$

 

Chú ý là trong định nghĩa trên, quan hệ tương đương được “sinh” ra chứ không đồng nhất với $\{(d_1(e),d_0(e)\mid e\in S_1\}.$ Hiện tượng xảy ra ở trên có thể nói theo cách khác là tập $\{(d_1(e),d_0(e)\mid e\in S_1\}$ không định nghĩa một quan hệ tương đương trên $S_0$. Nói nôm na, các đỉnh $x$ và $y$ cùng nằm trong một thành phân liên thông nếu có đường đi tạo bởi một loạt các cạnh nối $x$ và $y$, và ta xem như các cạnh này vô hướng (chẳng hạn như trên một bản đồ khi ta nối hai địa điểm với nhau thì cũng không thực sự có hướng nào cả).

 

Trong trường hợp tập đơn hình $S_{\bullet}$ là $Sing_{\bullet}(X)$ thì quan hệ tương đương ở trên tất nhiên đơn giản hơn nhiều: $x$ và $y$ thuộc cùng một thành phần liên thông nếu và chỉ nếu tồn tại một cạnh $e$ sao cho $d_1(e)=x,\ d_0(e)=y.$

 

Tính chất tồn tại cạnh $e_1$ với đỉnh đầu là $x$ và đỉnh cuối là $y$, cạnh $e_2$ với đỉnh đầu $y$ và đỉnh cuối là $z$ thì tồn tại cạnh $e_3$ với đỉnh đầu là $x$ và đỉnh cuối là $z$ của $Sing_{\bullet}(X)$ có thể được trình bày theo một ngôn ngữ trừu tượng hơn. Trước tiên, ta mô tả các $n$-đơn hình của một tập đơn hình theo cách gần gũi với định nghĩa của $n$-đơn hình kỳ dị. Theo bổ đề Yoneda, mọi vật đơn hình $S_{\bullet}: \Delta^{op}\to Set$ thoả mãn

$$Nat(y([n]), S_{\bullet})\simeq S_{\bullet}([n])=S_n,$$trong đó $y([n])=Hom_{\Delta}(\_,[n]).$ Do đó, nếu đặt $y([n])=\Delta^n$ thì các phần tử của $S_n$ tương ứng 1-1 với các biến đổi tự nhiên $\Delta^n\to S_{\bullet}.$ Như vậy chẳng hạn các biến đổi tự nhiên $\Delta^n\to Sing_{\bullet}(X)$ tương ứng 1-1 với các ánh xạ liên tục từ $|\Delta^n|\to X.$ 

 

Định nghĩa 5. Tập đơn hình $i$-sừng $\Lambda^{n}_{i}$ của $\Delta^n$ được định nghĩa như sau:

$$\Lambda^{n}_i([m])=\{\alpha\in Hom_{\Delta}([m],[n])| \alpha([m])\cup \{i\}\neq [n]\}\subset \Delta^n[m].$$

Tương tự như định nghĩa đỉnh đầu và đỉnh cuối của một cạnh, ta cũng định nghĩa các mặt của một $n$-đơn hình của một tập đơn hình như sau:

 

Định nghĩa 6. Ta ký hiệu $d_i: S_n\to S_{n-1}$ cho ánh xạ $$S_{\bullet}([n-1]\to[n],0\mapsto 0,\dots,i-1\mapsto i-1, i\mapsto i+1,\dots,n-1\mapsto n).$$

 

Như vậy, các mặt của một $n$-đơn hình $\sigma$ là $d_0(\sigma),\dots,d_n(\sigma).$

 

Mệnh đề 7. Với mọi tập đơn hình $S_{\bullet},$

$$Nat(\Lambda^{n}_{i},S_{\bullet})\simeq \text{ một tập con của} \prod_{j\in [n]-\{i\}} S_{n-1}.$$

 

Tập con này bao gồm các dãy $(\sigma_0,\dots,\sigma_{i-1},\sigma_{i+1},\dots,\sigma_n)$ thoả mãn $d_j(\sigma_k)=d_{k-1}(\sigma_j)$ với mọi $j,k\in [n]-\{i\}$ thoả mãn $j<k.$

 

Nói cách khác, một biến đổi tự nhiên $\Lambda^{n}_i\to S_{\bullet}$ bao gồm các $n-1$ đơn hình mà các mặt của chúng tương thích với nhau. Chẳng hạn các biến đổi tự nhiên $\Lambda^{2}_1\to S_{\bullet}$ tương ứng với các cạnh $(e,e’)$ sao cho $d_0(e)=d_1(e’)$, tức là một bộ hai cạnh mà đỉnh đầu và đỉnh cuối của chúng trùng nhau!

Quay trở lại vấn đề ở trên, ta trình bày lại sự tồn tại của cạnh $e_3$ như sau: sự tồn tại các cạnh $e_1,\ e_2$ sao cho đỉnh cuối $e_1$ trùng với đỉnh đầu $e_2$ tương đương với sự tồn tại của một biến đổi tự nhiên từ $\Lambda^2_1\to Sing_{\bullet}(X).$ Khi đó tồn tại đơn hình $\sigma: \Delta^2\to Sing_{\bullet}(X)$ sao cho ánh xạ này hợp thành với nhúng $\Lambda^2_i\to Sing_{\bullet}(X)$ (tại sao?), cạnh $e_3$ chính là $d_1(\sigma).$

 

Tính chất này cũng thoả mãn cho các đơn hình chiều cao hơn của $Sing_{\bullet}(X),$ tức là với mọi $n>0$ và với mọi $0\leq i\leq n,$ và với mọi biến đổi tự nhiên từ $\Lambda^n_i\to Sing_{\bullet}(X),$ tồn tại một đơn hình $\Delta^n\to Sing_{\bullet}(X)$ là mở rộng $\Lambda^n_i\to Sing_{\bullet}(X).$ Từ đầu tới giờ, ta mới định nghĩa các thành phần liên thông của một tập đơn hình. Không giống như $\pi_0(X)$, ta sẽ không thể giải thích được cách đi đến các định nghĩa của các nhóm đồng luân cấp cao của một vật đơn hình mà không trình bày thêm các kiến thức về lý thuyết đơn hình. Người đọc hãy công nhận rằng tính chất mở rộng sừng ở trên của $Sing_{\bullet}(X)$ là điều kiện cốt lõi cho phép ta định nghĩa các nhóm đồng luân. Ta gọi một vật đơn hình thoả mãn tính chất mở rộng trên là một phức Kan, đặt theo tên của Daniel Kan, người đã đưa ra các xây dựng trên, ( trong “A combinatorial definition of homotopy groups.” Ann. of Math. (2), 67:282–312, 1958). Như vậy, $Sing_{\bullet}(X)$ chính là cấu trúc mà ta tìm kiếm theo tinh thần của $\pi_{\leq 1}(X).$ 

 

Như đã nói ở đầu, ta sẽ giải thích phạm trù vô cực như là hợp của lý thuyết đồng luân và lý thuyết phạm trù. Năm 1961, Grothendieck đưa ra định nghĩa mạch của một phạm trù: với mỗi phạm trù $\mathcal{C}$, $N_{\bullet}(\mathcal{C})$ là một vật đơn hình với các $n$-đơn hình là tập $$N_n(\mathcal{C})=\{x_0 \xrightarrow{f_0} x_1 \dots x_{n-1}\xrightarrow{f_{n-1}} x_n \mid f_0,\dots,f_{n-1} \text{ là các cấu xạ trong }\mathcal{C}\}.$$ Vật đơn hình này có tính chất sau, với mỗi cạnh $e_1:x\to y,\ e_2: y\to z$ sao cho đỉnh cuối $e_1$ trùng với đỉnh đầu $e_2,$ tồn tại duy nhất một $2$-đơn hình $\sigma$, chính là $e_2\circ e_1: x\to z$ sao cho $d_2(\sigma)=e_1,\ d_0(\sigma)=e_1.$ Điều ngược lại cũng đúng:

 

Mệnh đề 8. Một vật đơn hình $S_{\bullet}$ đẳng cấu với mạch của một phạm trù nếu và chỉ nếu với mọi $n>0$ và với mọi $0<i<n,$ và với mọi biến đổi tự nhiên $\Lambda^n_i\to S_{\bullet},$ tồn tại “duy nhất” một $n$-đơn hình $\Delta^n\to S_{\bullet}$ là mở rộng của $\Lambda^n_i\to S_{\bullet}.$

 

Từ đó, ta định nghĩa một $\infty$-phạm trù như sau:

 

Định nghĩa 9. Một $\infty$-phạm trù là một vật đơn hình $S_{\bullet}$ thoả mãn với mọi $n>0$ và với mọi $0<i<n,$ mọi biến đổi tự nhiên $\Lambda^n_i\to S_{\bullet}$ có thể được mở rộng thành một $n$-đơn hình.

 

Đóng vai trò như là hợp của lý thuyết đồng luân và lý thuyết phạm trù, lý thuyết phạm trù vô cực có rất nhiều ứng dụng mạnh mẽ, cho phép mang các ý tưởng của tô pô vào các lĩnh vực của đại số/hình học đại số, nổi tiếng nhất có lẽ là lý thuyết về $\infty$-tô pô và hình học đại số dẫn xuất của Jacob Lurie, qua đó trả lời và mở rộng các vấn đề do Alexander Grothendieck đặt ra trong “À la poursuite des Champs” (1983). Tuy nhiên, các ứng dụng này vượt xa hiểu biết của người viết, vì vậy hi vọng trong bài tới, ta có thể thảo luận về $\infty$-phạm trù ổn định, với ứng dụng ngay lập tức vào đại số đồng điều, cụ thể là lý thuyết về phạm trù dẫn xuất.

Capture 1.PNG

@langkhach nói tại sao tim được lời giải như thế chứ ?

@Nesbit Regularity từ lâu được dịch là chính quy anh ơi.

Bài viết của giáo sư Hoa về giáo sư Trung.
 
 

Qui luật và ngẫu nhiên

Như các ngành khoa học khác, một trong những vấn đề trung tâm trong Toán học là đi tìm một hoặc một vài tính chất chung trong số vô vàn những đối tượng có vẻ rất khác nhau. Chẳng hạn, có vô số vòng tròn lớn nhỏ. Ngoài chuyện hình dáng trông giống giống nhau, có vẻ chúng chẳng có gì chung. Ấy thế mà từ lâu loài người đã đoán định rằng tỷ số giữa chu vi và đường kính là như nhau ở tất cả các đường tròn. Mãi đến khi khái niệm giới hạn xuất hiện ở thế kỷ thứ 16 thì điều đoán định đó mới được chứng minh chặt chẽ, và tên gọi số pi cũng như ký hiệu π mới xuất hiện. Việc tìm ra số π chính là đã khám phá ra một qui luật.

 

 

Giáo sư Ngô Việt Trung.

 
 
Oái ăm thay, tỷ số π này lại là một số không thể tính chính xác được! Cho đến hiện nay, người ta cũng không biết được các chữ số thập phân của p có xuất hiện theo một qui luật nào không, hay hoàn toàn ngẫu nhiên (theo nghĩa ta không đoán trước được cho đến khi tìm ra nó)? 

 

Qua ví dụ tưởng như đơn giản là số π, ta có thể hiểu được, việc tìm ra qui luật nhiều khi khó khăn và tốn thời gian như thế nào!

 

Một ví dụ cao cấp hơn là việc giải hệ phương trình đa thức (với hệ số trên một trường). Trong trường hợp một biến, sinh viên Toán năm thứ nhất dễ dàng chứng tỏ được dù hệ có rất nhiều, thậm chí vô số phương trình, thì cũng có thể quy về giải mộtphương trình mà thôi. Điều đó không còn đúng khi số biến từ 2 trở lên. Tuy nhiên, vào cuối thế kỉ 19, nhà toán học người Đức D. Hilbert – một nhà toán học nổi tiếng nhất của thế kỷ 20 – đã phát hiện ra một qui luật (và tất nhiên đã chứng minh) là mọi hệ vô hạn đều có thể quy về một hệ gồm hữu hạn phương trình. Chứng minh của ông thời đó rất độc đáo và mới lạ, đến nỗi có người bảo đó không phải là chứng minh toán học, mà là thần học! Nhưng số phương trình ít nhất thì lại có thể rất lớn, tùy thuộc vào hệ cụ thể. Hay nói cách khác, số phương trình tối tiểu của một hệ phương trình đa thức là một số ngẫu nhiên.

 

Lĩnh vực nghiên cứu của giáo sư Ngô Việt Trung là Đại số, trong đó có hai khái niệm vành và idean đóng vai trò cơ bản. Chính nhờ sử dụng khái niệm khá trừu tượng là idean mà Hilbert đã chứng minh được kết quả có thể diễn đạt tương đối sơ cấp nêu trên. Vành được xem xét trong kết quả của Hilbert là một vành đa thức trên trường.

 

Khi có vành đa thức R và một idean I của nó, ta có một vành mới R/I – được gọi là vành thương. Để cho đơn giản, ta hạn chế xét trường hợp được gọi là idean thuần nhất. Một trong những cách nhận biết cấu trúc của vành R/I là thông qua các bất biến bằng số. Một bất biến vào loại quan trọng nhất của vành R/I là độ sâu depth(R/I). Độ sâu càng lớn thì vành đó càng đẹp!

 

Lũy thừa thứ n của I, được ký hiệu là In, là một khái niệm mở rộng khái niệm lũy thừa aⁿ thông thường của một số. Người ta nhận thấy, khi cố định I, độ sâu depth(R/Iⁿ) có vẻ rất ngẫu nhiên, theo nghĩa phụ thuộc vào việc n. Vì vậy, kết quả của một nhà toán học Thụy Sĩ tên là M. Brodmann đưa ra năm 1979 nói rằng khi n đủ lớn, độ sâu depth(R/Iⁿ) là một hằng số (không phụ thuộc n), đã tạo ra một sự ngạc nhiên trong giới chuyên môn. Tính chất này được gọi là tính ổn định tiệm cận. Không những thế, chứng minh qui luật này khá đơn giản, nhưng bản thân kết quả lại có nhiều ứng dụng. Vì vậy, bài báo chứa kết quả tuy đơn giản đó đã có 170 trích dẫn trên google scholar, tính đến thời điểm bài viết này – một số trích dẫn khá lớn trong Toán lý thuyết. Tuy nhiên người ta không hình dung được trước khi ổn định thì dãy số depth(R/I), depth(R/I2),… có dáng điệu như thế nào? Một giả thuyết phát biểu năm 2005 của hai nhà toán học Đức và Nhật nói rằng dãy đó có thể tùy ý, miễn nó ổn định tiệm cận. Nói cách khác, khoảng đầu của dãy này hoàn toàn ngẫu nhiên. Cách đây năm năm, giáo sư Ngô Việt Trung cùng ba đồng nghiệp Việt Nam khác đã giải quyết được giả thuyết đó, và công trình mới được công bố chính thức năm 2021. Khoảng thời gian từ khi phát hiện ra qui luật của độ sâu cho tới khi chứng minh được tính ngẫu nhiên khoảng đầu của dãy số độ sâu là hơn 40 năm!

 

Đối tượng mà giáo sư Ngô Việt Trung nghiên cứu cùng tiến sĩ Nguyễn Đăng Hợp trong công trình “Depth functions of symbolic powers of homogeneous ideals” (Các hàm độ sâu của lũy thừa hình thức của idean thuần nhất) phức tạp hơn nhiều so với lũy thừa Iⁿ. Đó là lũy thừa hình thức I(ⁿ) – có liên quan chặt chẽ với lũy thừa thông thường, nhưng lại rất khác. Đây là một khái niệm xuất phát từ Hình học đại số. Nó được chú ý đặc biệt từ khi đóng vai trò quan trọng  trong việc xây dựng phản ví dụ cho Bài toán Hilbert thứ 14 nổi tiếng do Nagata xây dựng năm 1958. Thế nhưng, trái với In, việc tính cũng như nghiên cứu I(ⁿ) rất khó khăn. Có nhiều câu hỏi có vẻ đơn giản, nhưng vẫn còn mở liên quan đến lũy thừa hình thức. Cho đến cách đây ít năm, cho dù phỏng đoán là không, nhưng người ta vẫn không biết chắc chắn là depth(R/I(ⁿ)) không ổn định tiệm cận. Trong trường hợp đặc biệt, khi I là idean đơn thức – một loại idean đặc biệt – thì từ một kết quả của giáo sư Ngô Việt Trung và hai đồng nghiệp nước ngoài công bố năm 2007, có thể suy ra khi n đủ lớn, dãy depth(R/I(ⁿ)) ổn định tuần hoàn – tức rất gần với kết quả của Brodmann. Tuy gần, nhưng vẫn khác xa. Nếu đúng là khác thì thật thú vị. Nhưng biết đâu trên thực tế, với idean đơn thức, depth(R/I(ⁿ)) vẫn ổn định tiệm cận? Chẳng hạn, nếu I là idean đơn thức đặc biệt, gọi là idean không chứa bình phương, năm 2010, tôi cùng với tiến sĩ Trần Nam Trung đã chứng minh được đúng là depth(R/I(ⁿ)) ổn định tiệm cận. Từ đó, ý nghi ngờ cho rằng với idean đơn thức, depth(R/I(ⁿ)) vẫn ổn định tiệm cận, lại tăng lên. 

Công việc tìm ra qui luật hay khẳng định tính ngẫu nhiên rất gian truân, nhiều khi là đứng giữa ranh giới giữa có và không. Chẳng hạn cũng là vấn đề ổn định tiệm cận của độ sâu nêu trên, nếu chỉ xét lớp idean đơn thức không chứa bình phương vừa nói, thì cùng với phó giáo sư Nguyễn Công Minh ở ĐH Sư phạm Hà Nội, giáo sư Ngô Việt Trung năm 2011 đã chứng minh rằng nếu depth(R/I(³)) đạt giá trị lớn nhất, thì depth(R/I(ⁿ)) cũng đạt giá trị lớn nhất với mọi n > 3. Dựa trên công trình đó, năm 2012, cùng với nhà toán học Nhật Bản N. Terai, ông đã chứng minh kết quả tương tự cho độ sâu với lũy thừa thông thường. Cả hai công trình đó đã được đăng trên tạp chí Advances in Mathematics – một tạp chí có thứ hạng rất cao, thường xuyên có mặt trong top 20. Như vậy, với việc thêm điều kiện, tính ngẫu nhiên bị biến mất. Thay vào đó là một qui luật mới được phát hiện.

 

Trong công trình “Depth functions of symbolic powers of homogeneous ideals”, một số lớp idean đơn thức mới có  depth(R/I(ⁿ)) ổn định tiệm cận đã được tìm ra. Đó là những kết quả hay, và với chỉ mình chúng cũng có thể đăng được ở tạp chí tốt, nhưng không thể đăng được ở tạp chí đỉnh cao.
Kết quả chính có ý nghĩa quan trọng nhất và thú vị nhất của công trình này là đã chứng minh được mọi dãy số tuần hoàn ổn định tiệm cận đều có thể là dãy depth(R/I), depth(R/I(²)), depth(R/I(³), …. của một idean  đơn thức I nào đó. Dãy số vô hạn  a₁, a₂,… được gọi là tuần hoàn ổn định tiệm cận chu kì t, nếu khi n đủ lớn thì a_n = a_n+t = a_n+2t = ….  Nếu lấy chu kì tuần hoàn từ 2 trở lên, hệ quả trực tiếp của kết quả này nói rằng độ sâu depth(R/I(ⁿ)) không thoả mãn qui luật ổn định tiệm cận như Brodmann đã chỉ ra với lũy thừa thông thường. Đó là một điều được giới chuyên môn dự đoán từ lâu, nhưng bây giờ mới được kiểm chứng! Nhưng phần khó khăn hơn rất nhiều và khó tưởng tượng hơn rất nhiều là công trình này đã chứng minh được tính ngẫu nhiên hoàn toàn của dãy depth(R/I), depth(R/I⁽²⁾), depth(R/I⁽³),…. Bản thân công trình cũng đặt ra vấn đề mới: Hãy chứng tỏ (hay phủ nhận) rằng tồn tại idean I có depth(R/I(ⁿ)) không tuần hoàn ổn định tiệm cận. Chắc chắn đây là một bài toán rất khó – và chưa hiểu cách tiếp cận sẽ như thế thế nào.

 

Việc xây dựng được idean I thích hợp đòi hỏi những ý tưởng sâu sắc tổng hợp từ nhiều chuyên ngành khác nhau: Đại số giao hoán, Hình học đại số và tổ hợp. Kỹ thuật chứng minh cần những kiến thức sâu sắc trong Đại số giao hoán và sự kết hợp tài tình với những tính toán tổ hợp phức tạp, cũng như vận dụng thành thạo qui hoạch nguyên – một chuyên ngành có vẻ khá xa Đại số giao hoán. Chính vì vậy mà công trình đã được nhận đăng trong tạp chí Inventiones Mathematicae. Đây là một trong 2-3 tạp chí có uy tín nhất trong Toán học. Đây cũng là lần đầu tiên có một công trình thuần Việt được đăng trong một tạp chí lớn như vậy. Hoàn toàn thuần Việt theo nghĩa: cả hai tác giả đều là người Việt Nam và từ khi hình thành đến khi kết thúc, hoàn toàn được thực hiện trong nước. Nó còn đặc biệt ở chỗ, hiếm lắm mới có bài báo chuyên ngành Đại số giao hoán được đăng trên tạp chí Annals of Mathematics hay tạp chí Inventiones Mathematicae nêu trên.
 

Năm 2017, cùng giáo sư Nguyễn Tự Cường và giáo sư Lê Tuấn Hoa, giáo sư Ngô Việt Trung được trao giải thưởng Hồ Chí Minh đợt V về KH&CN với cụm công trình “Các bất biến và cấu trúc của vành địa phương vành phân bậc”. Nguồn: Vietnamnet

 

Đi tìm qui luật là một trong những sở trường của giáo sư Ngô Việt Trung. Ngay từ khi còn là sinh viên đại học cách đây gần 50 năm, cùng với bạn học Nguyễn Tự Cường – bây giờ là giáo sư – và một tiến sĩ trẻ người Đức, ông đã phát hiện ra một lớp vành mà hiệu của hai bất biến có thể thay đổi khá tuỳ tiện đối với họ tuy vô hạn, nhưng chiếm một lượng nhỏ (theo một nghĩa nào đó), nhưng lại là hằng số với số còn lại. Đó là lớp vành được biết đến dưới tên gọi Cohen-Macaulay suy rộng. Mãi tới năm 1978, bài báo đó mới được đăng, và đã kích hoạt nghiên cứu của hàng trăm bài báo của nhiều nhà toán học trên thế giới (299 trích dẫn trên google scholar). Một ví dụ khác là nghiên cứu chỉ số chính qui Castelnuovo-Mumford, một bất biến khác khó hơn nhiều so với độ sâu. Vào năm 2020, cùng với hai đồng nghiệp người Mỹ và Đức, ông đã chứng minh được khi n đủ lớn, bất biến đó của Iⁿ là một hàm tuyến tính. Đương nhiên bài này đã được đăng trên một tạp chí rất uy tín và được trích dẫn nhiều (248 trích dẫn trên google scholar). 

 

Đó chỉ là vài trong số nhiều kết quả khác của ông được nhiều nhà toán học quan tâm. Tuy nhiên, trước khi có bài báo ở tạp chí đỉnh cao, không có gì chắc chắn để khẳng định trước sau ông cũng sẽ có bài đăng ở đó. Xét về góc độ này thì việc có được bài đăng ở đấy như là một sự ngẫu nhiên, hay chí ít là một sự gặp may. Nhưng nếu xét từ cả quá trình làm việc và công bố đồ sộ của ông thì lại có dáng dấp như một qui luật. Chí ít thì có thể khẳng định: trong số người nghiên cứu Đại số ở Việt Nam, nếu có ai đó đăng được bài ở một trong hai tạp chỉ đỉnh cao nói trên, thì người đầu tiên phải là ông! (Trước ông, năm 1976 có giáo sư Nguyễn Hữu Anh có bài đăng ở Annals of Mathematics, khi làm việc ở Mỹ).

 

Giáo sư Ngô Việt Trung là nhà toán học hàng đầu của Việt Nam, đã được trao tặng nhiều giải thưởng lớn. Ông được bầu làm viện sĩ Viện Hàn lâm Khoa học các nước thế giới thứ 3 (TWAS) năm 2000 khi mới 47 tuổi. Năm 2009, Giải thưởng Nhân tài Đất Việt lần đầu tiên được mở rộng sang lĩnh vực khoa học tự nhiên, và ông là người được trao Giải thưởng trong lĩnh vực Toán học. Đặc biệt, năm 2017, ông được trao giải thưởng Hồ Chí Minh đợt V về khoa học và công nghệ với tư cách là chủ trì nhóm nghiên cứu gồm ba thành viên. 

 

Ông đã giữ nhiều chức trách trong ngành Toán: Tổng biên tập tạp chí Acta Mathematica Vietnamica (16 năm, từ 1991 – 2007), Viện trưởng Viện Toán học (2007 – 2013), Chủ tịch Hội đồng ngành Toán của Quỹ NAFOSTED (nhiều năm), Chủ tịch Hội Toán học Việt Nam (từ 2018). Tuy rất bận bịu với những công việc hành chính hay các hoạt động khoa học, nhưng ông luôn luôn đặt nhiệm vụ nghiên cứu ở vị trí số một, và dành phần lớn thời gian cho nó. Công trình “Depth functions of symbolic powers of homogeneous ideals” được hoàn thành và đăng trên tạp chí hàng đầu của Toán khi ông là đương kim Chủ tịch Hội Toán học quả thực càng có ý nghĩa khích lệ thế hệ trẻ phấn đấu nghiên cứu để ngày càng có nhiều công trình xuất sắc.
Thực ra, giáo sư Ngô Việt Trung là người thể hiện có năng khiếu Toán học rất sớm. Ông là người đã đạt Giải Nhất lớp 10 kì thi Học sinh giỏi toàn miền Bắc về Toán. Thời đó, kì thi Học sinh giỏi toàn miền Bắc chỉ tổ chức cho Toán và Văn, trao rất ít giải, kể cả giải khuyến khích thường không quá 10, và nhiều năm không trao giải Nhất (trước năm 1975, tôi chưa từng nghe có năm nào trao hai giải nhất và tôi nghĩ là không). Do vậy, những người đạt giải khi đó được các bạn cùng trang lứa nhớ tên rất lâu. Rất may là thời đó thông tin không nhiều như bây giờ, nên người ta biết đến tên tuổi ông như một nhà khoa học thành đạt, chứ không phải nhờ dư âm từ thời học sinh! 

 

Sau khi tốt nghiệp đại học, ông được chuyển tiếp nghiên cứu sinh và bảo vệ tiến sĩ năm 1978. Năm 1983, ông đã bảo vệ được luận án tiến sĩ khoa học khi mới 30 tuổi. Cũng năm đó, Đoàn Thanh niên có tổ chức triển lãm thành tựu khoa học, công nghệ và sản xuất của thanh niên tại Cung Văn hóa thiếu nhi Hà Nội. Đích thân cố Tổng Bí thư Lê Duẩn đã đến thăm để nói lên tầm quan trọng của triển lãm. Các sản phẩm công, nông nghiệp thì nhiều, nhưng theo tôi nhớ thì về nghiên cứu lý thuyết, chỉ có của tiến sĩ Ngô Việt Trung với 13 công bố ở nước ngoài và 2-3 tiền ấn phẩm. Đó là những con số rất ấn tượng thời đó. Tôi khi đó là lính mới của Viện, nên được giao trực “gian hàng” của Viện Toán. Cố Tổng Bí thư Lê Duẩn đã dừng lại ngắm nghía gian hàng khoảng một phút!

 

Gợi lại một số kỷ niệm trước đây để nói rằng, thành công của giáo sư Ngô Việt Trung là có cơ sở và là kết quả của một quá trình làm việc bền bỉ, lâu dài, không bao giờ tự hài lòng, bất chấp tuổi tác ngày càng cao hay công việc bận bịu, luôn tìm cách chinh phục những đỉnh cao mới. Từ rất lâu, nghiên cứu khoa học đã ngấm vào máu của ông.□

Theo Tia Sáng

Đây là bài toán của Erdos (cụ này lắm bài hay thật), tham khảo ở đây.

Ngoài ra khi các phần tử của $A$ là số thực thì kết quả bài toán vẫn đúng.

Nên gọi là định lý của Erdos.

Trong mục này, ta nghiên cứu về tập nghiệm của hệ phương trình đa thức. Rõ ràng tập các số mà ta đang quan tâm ảnh hưởng rất lớn tới tập nghiệm. Chẳng hạn phương trình $x^2+1$ không có nghiệm thực, nhưng lại có hai nghiệm phức, hoặc phương trình $x^2=2$ có nghiệm thực, nhưng lại không có nghiệm nguyên nào. Vì vậy, ta cần giới hạn một tập số $K$ nào đó cho các nghiệm. Trong mục này, ta chỉ quan tâm $K=\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{Z},$ và có thể cả $\mathbb{Q}_p, \mathbb{Z}/p.$

 

Định nghĩa. Cho $f_1(x_1,\dots,x_n),\dots, f_m(x_1,\dots,x_n)$ là các đa thức với hệ số trong $K$. Tập nghiệm của hệ phương trình $f_1(x_1,\dots,x_n)=0,\dots, f_m(x_1,\dots,x_n)=0$ là tập tất cả các bộ $(x’_1,\dots,x’_n)$ với $x’_1,\dots,x’_n\in K$ thoả mãn 

$$f_1(x’_1,\dots,x’_n)=0,\dots, f_m(x’_1,\dots,x’_n)=0,$$ký hiệu bởi $Z(f_1,\dots,f_m)$. Ta cũng gọi tập nghiệm của một hệ phương trình nào đó là tập đại số a-phin.

 

Như trong tiêu đề, phần lớn ta chỉ quan tâm tới đường cong phẳng và mặt trong không gian, tức là nghiệm của phương trình $f(x,y)=0$ hoặc $f(x,y,z)=0.$ Tuy nhiên, nếu thuận tiện, ta sẽ phát biểu các mệnh đề và định nghĩa ở dạng tổng quát nhất.

 

Khi giải nghiệm của một hệ phương trình, có ba khả năng mà ta quan tâm: vô nghiệm, hữu hạn nghiệm, vô số nghiệm. Ta có thể đưa ra một số nhận xét, chẳng hạn tồn tại các phương trình vô nghiệm trong $\mathbb{R}$, hoặc mọi phương trình có hữu hạn nghiệm trong $\mathbb{Z}/p.$ Như vậy, chẳng hạn $x^2+1=0$ không hẳn là đường cong trong mặt phẳng vì nó không có nghiệm nào. Tuy nhiên hiện tượng này không xảy ra với tập số phức.

 

Mệnh đề 2. Phương trình $f(x,y)=0$ luôn có vô số nghiệm trong $\mathbb{C}$ với $deg(f(x,y))\geq 1.$

 

Trước khi chứng minh mệnh đề, ta đưa ra một số khái niệm.

 

Định nghĩa 3. Một đa thức được gọi là khác không nếu các hệ số của nó khác không. Ngược lại, ta nói đa thức đó là đa thức $0$.

 

Ví dụ. Đa thức $x^2+1$ với hệ số trong $\mathbb{Z}/2$ có tập nghiệm là toàn bộ $\mathbb{Z}/2$ mặc dù đa thức này khác không. Tuy nhiên, ta có mệnh đề sau:

 

Mệnh đề 4. Giả sử $K$ vô hạn. Nếu $f(x’,y’)=0$ với mọi $x’, y’\in K$ thì $f=0.$

Chứng minh. Giả sử phản chứng $f\neq 0$. Không giảm tổng quát, đặt $f(x,y)=a_n(x)y^n+\dots+a_0(x)$ với $a_n(x)\neq 0$. Nếu $n=0$ thì $a_0(x)=0$ với mọi $x\in K,$ mâu thuẫn vì $K$ vô hạn (số nghiệm của một đa thức một biến không thể vượt quá bậc của nó). Do đó $n\geq 1.$ Chọn $x’$ sao cho $a_n(x’)\neq 0.$ Khi đó đa thức $a_n(x’)y^n+a_{n-1}(x’)y^{n-1}+\dots+a_0(x’)$ có vô số nghiệm $y’\in K,$ mâu thuẫn. 

 

Nhận xét. Ta có thể chứng minh mệnh đề 2 với số biến tuỳ ý.

 

Chứng minh mệnh đề 1. Đặt $f(x,y)=a_n(x)y^n+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\dots+a_0(x)$ với $a_n(x)\neq 0$ Nếu $n=0$ thì theo định lý cơ bản của đại số, tồn tại một nghiệm $x_0$ của $a_0(x).$ Do đó $f(x,y)$ có vô số nghiệm $x=x_0,\ y\in \mathbb{C}.$ Nếu $n\geq 1,$ tồn tại vô hạn $x’$ sao cho $a_n(x’)\neq 0.$ Với mỗi $x’$ như vậy, phương trình  $a_n(x’)y^n+a_{n-1}(x’)y^{n-1}+\dots+a_0(x’)=0$ có nghiệm theo định lý cơ bản của đại số. Do đó $f(x,y)=0$ có vô số nghiệm. 

 

Định nghĩa. 

(i) Không gian a-phin $n$-chiều $\mathbb{A}^n_{K}$ là tập tất cả các bộ sắp thứ tự $(a_1,\dots,a_n)$ với $a_1,\dots,a_n\in K.$

(ii) Không gian xạ ảnh $n$-chiều $\mathbb{P}_{K}^n$ được định nghĩa là $\mathbb{A}^{n+1}_K-\{(0,\dots,0)\}/\sim$ trong đó $\sim$ là một quan hệ tương đương định nghĩa như sau:

$$(a_0,\dots,a_n)\sim (b_0,\dots,b_n) \text{ nếu và chỉ nếu tồn tại }\lambda \neq 0: a_0=\lambda b_0,\dots,a_n=\lambda b_n.$$

Ký hiệu lớp tương đương chứa $(a_0,\dots,a_n)$ bởi $(a_0:\dots:a_n)$ (chú ý chỉ số bắt đầu từ $0$).

 

Không gian a-phin đóng vai trò như là không gian xung quanh của các tập đại số a-phin, tức là mọi tập đại số a-phin nằm trong một không $\mathbb{A}^n$ nhất định. Ta cũng có các tập đại số xạ ảnh nằm trong các không gian $\mathbb{P}^n$  ,sẽ được thảo luận trong các bài sau.

 

Khi giải phương trình đa thức, ta có xu hướng viết tập nghiệm thành hợp của các tập bé hơn mà nhờ đó, tập nghiệm dễ hình dung hơn. Chẳng hạn, phương trình $xy=0$ tương đương với $x=0$ hoặc $y=0,$ và hơn nữa $x=0$ và $y=0$ không thể phân tích tiếp được thành các thành phần bé hơn nữa. Ta đưa ra định nghĩa tập đại số bất khả quy.

 

Định nghĩa. Một tập đại số $Z$ được gọi là bất khả quy nếu không tồn tại các tập đại số $Z_1, Z_2$ sao cho $Z_1, Z_2 \neq Z$ và $Z=Z_1\cup Z_2.$ 

 

Định nghĩa. Cho $P$ là một đa thức khác không. 

(i) $P$ được gọi là khả nghịch nếu tồn tại $Q$ sao cho $PQ=1.$ 

(ii) $P$ được gọi là bất khả quy nếu tồn tại $Q, R$ sao cho $P=QR$ thì $Q$ khả nghịch hoặc $R$ khả nghịch. 

 

Chú ý.

(i) Ta chỉ ra được ngay rằng nếu $K=\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{Z}$ thì tập các đa thức khả nghịch lần lượt là $\mathbb{Q}-\{0\}, \mathbb{R}-\{0\}, \mathbb{C}-\{0\}, \mathbb{Q}-\{0\}, \{1,-1\} $.

(ii) Không nên nhầm lẫn trong trường hợp $K=\mathbb{Z}$ rằng chẳng hạn đa thức $2x$ là bất khả quy. Tuy nhiên, ta có mệnh đề sau:

 

Mệnh đề. Một đa thức với hệ số nguyên là bất khả quy nếu và chỉ nếu đa thức đó bất khả quy xem như đa thức với hệ số hữu tỷ và các hệ số của nó là nguyên tố cùng nhau.

 

Trước khi chứng minh mệnh đề, ta cần bổ đề sau:

Mệnh đề. Cho $Q,R$ là các đa thức hệ số nguyên sao cho các hệ số của đa thức $QR$ có số nguyên tố $p$ là một ước chung. Thế thì một trong hai điều sau xảy ra:

(i) $p$ là một ước chung của các hệ số của $Q$;

(ii) $p$ là một ước chung của các hệ số của $R$.

Chứng minh. Giả sử cả (i) và (ii) không xảy ra. Đặt $Q=a_nx^n+\dots+a_0$ và $R=b_mx^m+\dots+b_0.$ Đặt $k$ là số nguyên lớn nhất sao cho $p$ không chia hết $a_k,$ tương tự với $l$ và $Q$ (tồn tại do điều ta giả sử). Rõ ràng đa thức $$QR-(a_nx^n+\dots+a_{k+1})R-Q(b_mx^m+\dots+b_{l+1}x^{l+1})=(a_kx^k+\dots+a_0)(b_lx^l+\dots+b_0)$$ vẫn có các hệ số là bội của $p$. Nói riêng, $p|a_kb_l,$ mâu thuẫn. 

 

Chứng minh mệnh đề.

(i) Giả sử $P=a_nx^n+\dots+a_0$ là đa thức hệ số nguyên và bất khả quy. Nếu $(a_0,\dots,a_n)=d>1$ thì $P$ có phân tích thành $d(a’_nx^n+\dots+a’_0)$ với $a’_i=a_i/d,$ mâu thuẫn với tính bất khả quy của $P.$ Như vậy $(a_0,\dots,a_n)=1$. Giả sử tồn tại $Q, R$ là các đa thức hệ số hữu tỷ sao cho $P=QR.$ Tồn tại số nguyên $d$ sao cho $dP=Q’R’$ với $R’,Q’$ hệ số nguyên (chẳng hạn lấy $d$ là một bội chung của các mẫu số của các hệ số của $Q$ và $R$). Nếu các hệ số của $Q’$ hoặc $R’$ có ước chung với $d$ thì bằng phép chia cả hai vế cho các ước chung này, ta có thể giả sử $d$ nguyên tố cùng nhau với các hệ số của $Q’$ và $R’$. Nếu $d\neq 1$ thì theo bổ đề trên, một ước nguyên tố nào đó của $d$ sẽ là ước chung của các hệ số của $Q’$ hoặc $R’$, mâu thuẫn. Do đó, $d=1$ và $P=Q’R’.$ Do $P$ bất khả quy trên $\mathbb{Z}$ nên $Q’$ hoặc $R’$ là $1,-1$. Do đó, $Q$ hoặc $R$ là một số hữu tỷ.

 

(ii) Giả sử đa thức $P$ là đa thức hệ số nguyên và bất khả quy trên $\mathbb{Q}$ và các hệ số của $P$ là nguyên tố cùng nhau. Giả sử $P=QR$ với $Q,R$ hệ số nguyên. Do $P$ bất khả quy trên $\mathbb{Q}$ nên $Q$ hoặc $R$ là một số hữu tỷ, do đó là một số nguyên. Các số nguyên này không thể khác $1,-1$ vì ta đã giả thiết $P$ có các hệ số nguyên tố cùng nhau.