Chứng minh bđt:
$ \dfrac{a^2}{b} + \dfrac{b^2}{a} +7(a+b) \ge 8 \sqrt{2(a^2+b^2)}$
-------------------------------
MOD: + Công thức kẹp giữa 2 dấu đô la
+ Gõ $\LaTeX$ lên tiêu đề
Poseidont nội dung
Có 336 mục bởi Poseidont (Tìm giới hạn từ 06-06-2020)
#283916 $ \dfrac{a^2}{b} + \dfrac{b^2}{a} +7(a+b) \ge 8 \sq...
Đã gửi bởi
on 17-11-2011 - 22:07
trong
Bất đẳng thức và cực trị
#283979 $ \dfrac{a^2}{b} + \dfrac{b^2}{a} +7(a+b) \ge 8 \sq...
Đã gửi bởi
on 18-11-2011 - 12:11
trong
Bất đẳng thức và cực trị
không ai làm theo kiểu dùng bdt khac ah, ai giup em vs
#284100 Chứng minh $\dfrac{2a^3}{a^6+bc}+\dfrac{2b^3}{b^6+ca}+\df...
Đã gửi bởi
on 19-11-2011 - 10:49
trong
Bất đẳng thức và cực trị
bài 5 bạn dung cái $ab +bc +ca \leq \dfrac{(a+b+c)^{2}}{3} \Rightarrow \dfrac{3}{ab +bc +ca}\geq \dfrac{9}{(a+b+c)^{2}}$
sau đó áp dụng bdt cosi
$1 + \dfrac{9}{(a+b+c)^{2}}\geq \dfrac{6}{a+b+c}$
sau đó áp dụng bdt cosi
$1 + \dfrac{9}{(a+b+c)^{2}}\geq \dfrac{6}{a+b+c}$
#284102 Chứng minh $\dfrac{2a^3}{a^6+bc}+\dfrac{2b^3}{b^6+ca}+\df...
Đã gửi bởi
on 19-11-2011 - 11:01
trong
Bất đẳng thức và cực trị
bài 8 nhé:
ta có $a^{5} +b^{5}= (a^{3} +b^{3})(a^{2}+b^{2})- a^{2}b^{2}(a+b)\geq ab(a+b).2ab -a^{2}b^{2}(a+b)=a^{2}b^{2}(a+b)$
tương tự với mấy cái kia.
=>$VT\geq ab +bc +ca$ (1)
mặt khác$a^{2} +b^{2}+c^{2}=1 => 2=2(a^{2} +b^{2}+c^{2})\geq 2(ab +bc+ca) (2)$
từ 1và 2 suy ra dpcm
ta có $a^{5} +b^{5}= (a^{3} +b^{3})(a^{2}+b^{2})- a^{2}b^{2}(a+b)\geq ab(a+b).2ab -a^{2}b^{2}(a+b)=a^{2}b^{2}(a+b)$
tương tự với mấy cái kia.
=>$VT\geq ab +bc +ca$ (1)
mặt khác$a^{2} +b^{2}+c^{2}=1 => 2=2(a^{2} +b^{2}+c^{2})\geq 2(ab +bc+ca) (2)$
từ 1và 2 suy ra dpcm
#284159 Chứng minh $\dfrac{2a^3}{a^6+bc}+\dfrac{2b^3}{b^6+ca}+\df...
Đã gửi bởi
on 19-11-2011 - 16:45
trong
Bất đẳng thức và cực trị
Bài 9 nha:
Đặt a+1=x, b+1 =y , c+1= z
=> a=x-1, b=y-1,c=z-1
VT= $(x-1+\dfrac{1}{x})(y-1+\dfrac{1}{y})(z-1+\dfrac{1}{z})$
Áp dụng bdt cosi ta co$\dfrac{x}{4}+\dfrac{1}{x}\geq 2\sqrt{\dfrac{x}{4}\dfrac{1}{x}}=1$
$\dfrac{y}{4}+\dfrac{1}{y}\geq 1$
$\dfrac{z}{4}+\dfrac{1}{z}\geq 1$
=> VT$\geq \dfrac{3x}{4}.\dfrac{3y}{4}\dfrac{3z}{4}=\dfrac{27.x.y.z}{64}$ (1)
Ta lại có $x.y.z=(a+1).(b+1).(c+1)=abc+ab+bc+ca+1+a+b+c$
Áp dụng bđt co si
$ ab+bc+ca\geq 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}\geq 3 $
$ a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\geq 3$
$\Rightarrow abc+a+b+c+ab+bc+ca+1\geq 8 (2) $
Từ 1,2 $ \Rightarrow $ đpcm
bài 10
đặt
b+c=x,c+a=y.a+b=z
=>$yz=a^{2}+bc+ca+ab\Rightarrow a^{2}+bc=yz -ca+ab=yz -ax$
$b^{2}+ca=xz-by$
$c^{2}+ca=xy-cz$
VT= $\dfrac{yz}{x} - a +\dfrac{xz}{y} - b +\dfrac{xy}{z} - c$
dễ dàng chứng minh đc
$\dfrac{yz}{x} +\dfrac{xz}{y} +\dfrac{xy}{z}\geq x+ y+z=2(a+b+c)$
=> dpcm
Đặt a+1=x, b+1 =y , c+1= z
=> a=x-1, b=y-1,c=z-1
VT= $(x-1+\dfrac{1}{x})(y-1+\dfrac{1}{y})(z-1+\dfrac{1}{z})$
Áp dụng bdt cosi ta co$\dfrac{x}{4}+\dfrac{1}{x}\geq 2\sqrt{\dfrac{x}{4}\dfrac{1}{x}}=1$
$\dfrac{y}{4}+\dfrac{1}{y}\geq 1$
$\dfrac{z}{4}+\dfrac{1}{z}\geq 1$
=> VT$\geq \dfrac{3x}{4}.\dfrac{3y}{4}\dfrac{3z}{4}=\dfrac{27.x.y.z}{64}$ (1)
Ta lại có $x.y.z=(a+1).(b+1).(c+1)=abc+ab+bc+ca+1+a+b+c$
Áp dụng bđt co si
$ ab+bc+ca\geq 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}\geq 3 $
$ a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\geq 3$
$\Rightarrow abc+a+b+c+ab+bc+ca+1\geq 8 (2) $
Từ 1,2 $ \Rightarrow $ đpcm
bài 10
đặt
b+c=x,c+a=y.a+b=z
=>$yz=a^{2}+bc+ca+ab\Rightarrow a^{2}+bc=yz -ca+ab=yz -ax$
$b^{2}+ca=xz-by$
$c^{2}+ca=xy-cz$
VT= $\dfrac{yz}{x} - a +\dfrac{xz}{y} - b +\dfrac{xy}{z} - c$
dễ dàng chứng minh đc
$\dfrac{yz}{x} +\dfrac{xz}{y} +\dfrac{xy}{z}\geq x+ y+z=2(a+b+c)$
=> dpcm
#284473 Chứng minh $\dfrac{2a^3}{a^6+bc}+\dfrac{2b^3}{b^6+ca}+\df...
Đã gửi bởi
on 21-11-2011 - 16:42
trong
Bất đẳng thức và cực trị
bài 4 nè:
ta có $a+b+c=2\Rightarrow 2c +ab=(a+b+c)c+ab=c^{2}+ab+ac+bc=(a+c)\cdot (b+c)$
tương tự
$2a +bc=(a+b)(a+c)
2b +ac=(a+b)(b+c)$
Áp dụng bdt co si
$\dfrac{ab}{\sqrt{(a+c)(c+b)} }=\dfrac{\sqrt{ab}}{\sqrt{(a+c)} }\cdot \dfrac{\sqrt{ab}}{\sqrt{(b+c)} }\leq \dfrac{1}{2}(\dfrac{ab}{a+c} +\dfrac{ab}{b+c})$
tương tự
=> VT$\leq \dfrac{1}{2}(\dfrac{ab}{a+c} +\dfrac{ab}{b+c}+\dfrac{bc}{a+c} +\dfrac{bc}{b+a}+\dfrac{ca}{a+b} +\dfrac{ac}{b+c})=1$
=> dpcm
ta có $a+b+c=2\Rightarrow 2c +ab=(a+b+c)c+ab=c^{2}+ab+ac+bc=(a+c)\cdot (b+c)$
tương tự
$2a +bc=(a+b)(a+c)
2b +ac=(a+b)(b+c)$
Áp dụng bdt co si
$\dfrac{ab}{\sqrt{(a+c)(c+b)} }=\dfrac{\sqrt{ab}}{\sqrt{(a+c)} }\cdot \dfrac{\sqrt{ab}}{\sqrt{(b+c)} }\leq \dfrac{1}{2}(\dfrac{ab}{a+c} +\dfrac{ab}{b+c})$
tương tự
=> VT$\leq \dfrac{1}{2}(\dfrac{ab}{a+c} +\dfrac{ab}{b+c}+\dfrac{bc}{a+c} +\dfrac{bc}{b+a}+\dfrac{ca}{a+b} +\dfrac{ac}{b+c})=1$
=> dpcm
#284718 Hình học 9
Đã gửi bởi
on 23-11-2011 - 15:03
trong
Hình học
Cho đường tròn (O':R') và (O:R) (R>R') tiếp xúc ngoài tại A và hai điểm B,C lần lượt trên đường tròn (O), (O') sao cho góc BAC=90 độ.CMR
a/ OB // O'C
b/ BC luôn đi qua 1 điểm cố định
c/ Kẻ tiếp tuyến chung ngoài EF của (O), (O') (E thuộc (O), F thuộc (O').CMR BC,EF,OO' đồng quy.
d/ Gọi M là trung điểm của BC.CMR điểm M luôn di chuyển trong 1 đường tròn cố định
e/Trọng tâm G của tam giác ABC thuộc 1 đường tròn cố định.
h/ Kẻ AH vuông góc BC (H thuộc BC) Chứng minh rằng $AH\leq 2\dfrac{R.R'}{R+R'}$
2/ Cho 2 đường tròn (O:R); (O';R') ngoài nhau (R>R'). Gọi AB là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn A thuộc 0,
B thuộc O'.Gọi C là điểm đối xứng với B qua OO'. AC cắt đường tròn (O) tại D đường tròn (O') tại E.
CMR AD=CE
a/ OB // O'C
b/ BC luôn đi qua 1 điểm cố định
c/ Kẻ tiếp tuyến chung ngoài EF của (O), (O') (E thuộc (O), F thuộc (O').CMR BC,EF,OO' đồng quy.
d/ Gọi M là trung điểm của BC.CMR điểm M luôn di chuyển trong 1 đường tròn cố định
e/Trọng tâm G của tam giác ABC thuộc 1 đường tròn cố định.
h/ Kẻ AH vuông góc BC (H thuộc BC) Chứng minh rằng $AH\leq 2\dfrac{R.R'}{R+R'}$
2/ Cho 2 đường tròn (O:R); (O';R') ngoài nhau (R>R'). Gọi AB là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn A thuộc 0,
B thuộc O'.Gọi C là điểm đối xứng với B qua OO'. AC cắt đường tròn (O) tại D đường tròn (O') tại E.
CMR AD=CE
#285006 BĐT
Đã gửi bởi
on 25-11-2011 - 15:14
trong
Bất đẳng thức và cực trị
Bài 9 nha:
Đặt a+1=x, b+1 =y , c+1= z
=> a=x-1, b=y-1,c=z-1
VT= $(x-1+\dfrac{1}{x})(y-1+\dfrac{1}{y})(z-1+\dfrac{1}{z})$
Áp dụng bdt cosi ta co$\dfrac{x}{4}+\dfrac{1}{x}\geq 2\sqrt{\dfrac{x}{4}\dfrac{1}{x}}=1$
$\dfrac{y}{4}+\dfrac{1}{y}\geq 1$
$\dfrac{z}{4}+\dfrac{1}{z}\geq 1$
=> VT$\geq \dfrac{3x}{4}.\dfrac{3y}{4}\dfrac{3z}{4}=\dfrac{27.x.y.z}{64}$ (1)
Ta lại có $x.y.z=(a+1).(b+1).(c+1)=abc+ab+bc+ca+1+a+b+c$
Áp dụng bđt co si
$ ab+bc+ca\geq 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}\geq 3 $
$ a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\geq 3$
$\Rightarrow abc+a+b+c+ab+bc+ca+1\geq 8 (2) $
Từ 1,2 $ \Rightarrow $ đpcm
bài 10
đặt
b+c=x,c+a=y.a+b=z
=>$yz=a^{2}+bc+ca+ab\Rightarrow a^{2}+bc=yz -ca+ab=yz -ax$
$b^{2}+ca=xz-by$
$c^{2}+ca=xy-cz$
VT= $\dfrac{yz}{x} - a +\dfrac{xz}{y} - b +\dfrac{xy}{z} - c$
dễ dàng chứng minh đc
$\dfrac{yz}{x} +\dfrac{xz}{y} +\dfrac{xy}{z}\geq x+ y+z=2(a+b+c)$
=> dpcm
#286015 CMR $d: y = (m - 2)x + 2m - 1$ luôn đi qua một điểm cố định với mọi...
Đã gửi bởi
on 30-11-2011 - 21:33
trong
Đại số
Cho đường thẳng (d): y = ( m - 2) x + 2m - 1 ( m là tham số)
- Chứng minh rằng đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m.
- Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng d có giá trị bằng 2
Cho đường thẳng (d): y = ( m - 2) x + 2m - 1 ( m là tham số)
#286120 Chứng minh BĐT
Đã gửi bởi
on 01-12-2011 - 17:17
trong
Bất đẳng thức và cực trị
1 Cho ba số dương a,b,c t/m ab+bc+ca=1
CMR
$\sqrt{a^{4}+a^{2}}+\sqrt{b^{4}+b^{2}}+\sqrt{c^{4}+c^{2}}\geq \dfrac{1}{2}\cdot \left [ \left ( a^{2}+b^{2}+c^{2})+(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right )^{2} \right ]$
2 Cho 3 số dương a,b,c t/m a+b+c=1
CMR
$(a+bc)\cdot (b+ca)\cdot (c+ab)\geq \dfrac{64}{81}\cdot (ab+bc+ca)^{2}$
3 Cho x,y,z là ba số t/m đk (x+y+z).(xy+yz+xz)=xyz
CMR
$x^{2011}+y^{2011}+z^{2011}=(x+y+z)^{2011}$
4 Cho 3 số nguyên x,y,z có tổng chia hết cho 6
CMR,
$M=(x+y)(y+z)(z+x)-2xyz \vdots 6$
5 Cho các só dương x,y,z CMR
a $(x+y)(y+z)(z+x)\geq \dfrac{8}{3}\cdot (x+y+z)\cdot \sqrt[3]{x^{2}\cdot y^{2}\cdot z^{2}}$
b $\dfrac{(x+y)(y+z)(z+x)}{8}\geq \dfrac{(x+y+z)\cdot (xy+yz+xz)}{9}$
c $\sqrt[3]{\dfrac{(x+y)(y+z)(z+x)}{8}}\geq\sqrt{\dfrac{(xy+yz+xz)}{3}}$
CMR
$\sqrt{a^{4}+a^{2}}+\sqrt{b^{4}+b^{2}}+\sqrt{c^{4}+c^{2}}\geq \dfrac{1}{2}\cdot \left [ \left ( a^{2}+b^{2}+c^{2})+(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right )^{2} \right ]$
2 Cho 3 số dương a,b,c t/m a+b+c=1
CMR
$(a+bc)\cdot (b+ca)\cdot (c+ab)\geq \dfrac{64}{81}\cdot (ab+bc+ca)^{2}$
3 Cho x,y,z là ba số t/m đk (x+y+z).(xy+yz+xz)=xyz
CMR
$x^{2011}+y^{2011}+z^{2011}=(x+y+z)^{2011}$
4 Cho 3 số nguyên x,y,z có tổng chia hết cho 6
CMR,
$M=(x+y)(y+z)(z+x)-2xyz \vdots 6$
5 Cho các só dương x,y,z CMR
a $(x+y)(y+z)(z+x)\geq \dfrac{8}{3}\cdot (x+y+z)\cdot \sqrt[3]{x^{2}\cdot y^{2}\cdot z^{2}}$
b $\dfrac{(x+y)(y+z)(z+x)}{8}\geq \dfrac{(x+y+z)\cdot (xy+yz+xz)}{9}$
c $\sqrt[3]{\dfrac{(x+y)(y+z)(z+x)}{8}}\geq\sqrt{\dfrac{(xy+yz+xz)}{3}}$
#286232 Tìm số dư của $A=3^{2005} + 4^{2005}$ cho $11$ và $1...
Đã gửi bởi
on 02-12-2011 - 11:48
trong
Số học
Tìm số dư của
$A=3^{2005} + 4^{2005}$ cho $11$ và $13$
Tìm 2chữ số tận cùng
$A= 2^{2004}$
$b=(14^{14})^{14}$
Mod. Chú ý việc đặt tiêu đề.
$A=3^{2005} + 4^{2005}$ cho $11$ và $13$
Tìm 2chữ số tận cùng
$A= 2^{2004}$
$b=(14^{14})^{14}$
Mod. Chú ý việc đặt tiêu đề.
#287006 $\sqrt{x^{2}+y^{2}+3xy}+\sqrt{y^{2}+z^{2}+3zy}+\sqrt{x^{2...
Đã gửi bởi
on 07-12-2011 - 16:20
trong
Bất đẳng thức và cực trị
1/$\dfrac{x^{2}-z^{2}}{y+z}+\dfrac{z^{2}-y^{2}}{y+x}+\dfrac{y^{2}-x^{2}}{x+z}\geq 0$
2/$ab+bc+ca=1$,CMR
$3abc(a+b+c)\leq 1$
3/a,b,c>0 và abc=1
$\dfrac{b+c}{\sqrt{a}}+\dfrac{a+c}{\sqrt{b}}+\dfrac{b+a}{\sqrt{c}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3$
4/
$\sqrt{x^{2}+y^{2}+3xy}+\sqrt{y^{2}+z^{2}+3zy}+\sqrt{x^{2}+z^{2}+3xz}\leq \sqrt{5}(x+y+z)$
2/$ab+bc+ca=1$,CMR
$3abc(a+b+c)\leq 1$
3/a,b,c>0 và abc=1
$\dfrac{b+c}{\sqrt{a}}+\dfrac{a+c}{\sqrt{b}}+\dfrac{b+a}{\sqrt{c}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3$
4/
$\sqrt{x^{2}+y^{2}+3xy}+\sqrt{y^{2}+z^{2}+3zy}+\sqrt{x^{2}+z^{2}+3xz}\leq \sqrt{5}(x+y+z)$
#287375 $a^{2}+2b^{2}+3c^{2}\leq 66$
Đã gửi bởi
on 09-12-2011 - 16:55
trong
Bất đẳng thức và cực trị
Cho các số thực x,y,z$\epsilon [0,2] : x+y+z=3$
CMR
$x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 5$
2 Cho các số thực dương a,b,c$\epsilon [-2,5]$
t/m dk $a+2b+3c\leq 2$
CMR $a^{2}+2b^{2}+3c^{2}\leq 66$
CMR
$x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 5$
2 Cho các số thực dương a,b,c$\epsilon [-2,5]$
t/m dk $a+2b+3c\leq 2$
CMR $a^{2}+2b^{2}+3c^{2}\leq 66$
#287986 $1^{2002}+2^{2002}+3^{2002}+...+2002^{2002}\vdots 11$
Đã gửi bởi
on 13-12-2011 - 15:14
trong
Số học
a/ $1^{2002}+2^{2002}+3^{2002}+...+2002^{2002}\vdots 11$
b/TÌm số tự nhiên $\overline{xy}$ có biết $\overline{xxyy}=\overline{xx}^{2}+\overline{yy}^{2}$
Cho $n\epsilon P, (n;561)=1$
CM $(n^{560}-1)\vdots 561$
c/ tìm tất cả các số nguyên tố có dạng
$2^{1994n}+17 (n \in N)$
b/TÌm số tự nhiên $\overline{xy}$ có biết $\overline{xxyy}=\overline{xx}^{2}+\overline{yy}^{2}$
Cho $n\epsilon P, (n;561)=1$
CM $(n^{560}-1)\vdots 561$
c/ tìm tất cả các số nguyên tố có dạng
$2^{1994n}+17 (n \in N)$
#288289 Tìm $\max S_{\vartriangle}$ nội tiếp (O;r)
Đã gửi bởi
on 15-12-2011 - 16:46
trong
Hình học
tìm kích thước của tam giác có diện tích lớn nhất nội tiếp đường tròn (O;r)
#288394 CMR CD là tiếp tuyến của đường tròn O
Đã gửi bởi
on 16-12-2011 - 15:30
trong
Hình học
Cho nửa đuờng (O) đường kính AB. Ax, By vuông góc vs AB.C,D là 2 điểm tùy ý thuộc tia Ax,By sao cho góc COD=90 độ.CMR CD là tiếp tuyến của đường tròn O
#289985 Xác định vị trí của d để SAMN min và AM+AN min
Đã gửi bởi
on 24-12-2011 - 21:43
trong
Hình học
Cho hình bình hành ABCD, AB=5cm,AC=3,2 cm. d là dt đi qua đỉnh c cắt tia AB ở M,AD ở N
M: Xác định vị trí của d để SAMN min và AM+AN min
M: Xác định vị trí của d để SAMN min và AM+AN min
#290965 MN ở vị trí nào thi tam giác CMN Min
Đã gửi bởi
on 30-12-2011 - 15:30
trong
Hình học
Cho (O;r) nội tiếp tam giác ABC .Kẻ đường thẳng qua O cắt 2 cạnh CA,CB của tam giác theo thứ tự M và N. Đường thẳng MN ở vị trí nào thi diện tích tam giác CMN Min
#292005 Topic bất đẳng thức THCS (2)
Đã gửi bởi
on 03-01-2012 - 23:18
trong
Bất đẳng thức và cực trị
Bài 19Bài 19: Cho $a,b>1$. Tìm min của $E = \dfrac{{{a^2}}}{{b - 1}} + \dfrac{{{b^2}}}{{a - 1}}$
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
$\dfrac{a^{2}}{b-1}+4(b-1)\geq 2\sqrt{\dfrac{a^{2}}{b-1}\cdot4(b-1) }=4a$
Tương tự
$\dfrac{b^{2}}{a-1}+4(a-1)\geq4b$
$\Rightarrow VT\geq 4a+4b-4(b-1)-4(a-1)=8$
dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $ a=b=2$
#293168 $\sum \sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \geqslant...
Đã gửi bởi
on 10-01-2012 - 17:08
trong
Bất đẳng thức và cực trị
Cho a,b,c.>0
chưng minh
$\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} +\sqrt{\frac{1}{c}+\frac{1}{b}}+\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{c}}\geqslant \sqrt{\frac{2}{a}}+\sqrt{\frac{2}{b}}+\sqrt{\frac{2}{c}}$
chưng minh
$\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} +\sqrt{\frac{1}{c}+\frac{1}{b}}+\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{c}}\geqslant \sqrt{\frac{2}{a}}+\sqrt{\frac{2}{b}}+\sqrt{\frac{2}{c}}$
#293478 $2x^{2}y^{4} +2y^{4}+y^{2}+5x+2y=5xy^{4}+2x^{2}+1$
Đã gửi bởi
on 12-01-2012 - 15:05
trong
Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
giải phương trình nghiệm nguyên
$2x^{2}y^{4} +2y^{4}+y^{2}+5x+2y=5xy^{4}+2x^{2}+1$
giải phương trình
$x^{2}=\sqrt{x^{3}-x^{2}}+\sqrt{x^{2}-x}$
$2x^{2}y^{4} +2y^{4}+y^{2}+5x+2y=5xy^{4}+2x^{2}+1$
giải phương trình
$x^{2}=\sqrt{x^{3}-x^{2}}+\sqrt{x^{2}-x}$
#293481 Topic bất đẳng thức THCS (2)
Đã gửi bởi
on 12-01-2012 - 15:19
trong
Bất đẳng thức và cực trị
Bài 50:
Cho a,b,c thực dương thỏa $a+b+c=3$
CMR: $a^4+b^4+c^4\geq a^3+b^3+c^3$
Bài 50 nè
Áp dụng bdt Cauchy:
$a^{4}+a^{4}+a^{4}+1\geq 4a^{3}$
$b^{4}+b^{4}+b^{4}+1\geq 4b^{3}$
$c^{4}+c^{4}+c^{4}+1\geq 4c^{3}$
Giờ chỉ cần chứng minh $a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq 3$
Ta có:
$a^{3}+1+1\geq 3a \Rightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq 3$
vì a+b+c=3
$\Rightarrow dpcm$
#293491 Topic bất đẳng thức THCS (2)
Đã gửi bởi
on 12-01-2012 - 15:51
trong
Bất đẳng thức và cực trị
$$(x+y)(y+z)(z+x)=(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz\geq 3(x+y+z)\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}}-\dfrac{1}{3}(x+y+z)\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}}=\dfrac{8}{3}(x+y+z)\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}}$$Bài 52:
Cho $x,y,z>0$
CMR: \[16xyz\left( {x + y + z} \right) \le 3\sqrt[3]{{{{\left( {x + y} \right)}^4}{{\left( {z + y} \right)}^4}{{\left( {x + z} \right)}^4}}}\]
áp dụng bdt trên
$\Rightarrow 3\sqrt[3]{{{{\left( {x + y} \right)}^4}{{\left( {z + y} \right)}^4}{{\left( {x + z} \right)}^4}}}\geq 3\cdot \dfrac{8}{3}(x+y+z)\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}}\cdot$$\sqrt[3]{\dfrac{8}{3}(x+y+z)\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}}\cdot}$$\geq 8(x+y+z)\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}}\cdot \sqrt[3]{8xyz}=16(x+y+z)xyz$
$\Rightarrow dpcm$
#293496 CMR FG là tiếp tuyến của đtrO.
Đã gửi bởi
on 12-01-2012 - 16:12
trong
Hình học
1/ Cho hình vuông ABCD có đường tròn nội tiếp tâm O.Gọi K,N lần lượt là trung điểm của AB,BC.F là trung điểm của đoạn NC.Từ A vẽ đt // KF cắt CD tại G.CMR FG là tiếp tuyến của đtrO.
2/Cho đt xy,hai điểm A,B cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ xy.Tìm trên xy điểm C sao cho gọc ACx =2 lần góc BCy
3/Cho nửa đường tròn (O:R) đk AB ,điểm M trên (O).H là hình chiếu của M trên AB.Tìm vị trí của M để AM+MH max
2/Cho đt xy,hai điểm A,B cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ xy.Tìm trên xy điểm C sao cho gọc ACx =2 lần góc BCy
3/Cho nửa đường tròn (O:R) đk AB ,điểm M trên (O).H là hình chiếu của M trên AB.Tìm vị trí của M để AM+MH max
#294117 Topic bất đẳng thức THCS (2)
Đã gửi bởi
on 16-01-2012 - 09:19
trong
Bất đẳng thức và cực trị
áp dụng bdt S vacBài 77:
Gọi $a,b,c$ là độ dài cạnh của 1 tam giác có 3 góc nhọn.
CMR: \[\forall x,y,z \in R\]
Ta luôn có: \[\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} > \frac{{2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}\]
P/s: Đây là đề thi Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa nhá.
$\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}=\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}+x(y+z)+y(x+z)+z(x+y)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}> \frac{2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
(theo bdt tam giac ta co x+y>z, ....)
DPCM
