Điều kiện cần: Nếu $\left ( x;y \right )$ là nghiệm của hệ phương trình thì $\left ( -x;y \right )$ cũng là nghiệm của hệ. Do đó, để hệ có nghiệm duy nhất thì $x=0$. Khi đó ta có $\left\{\begin{matrix} y^2=m-3 & \\ y=1 & \end{matrix}\right.\Rightarrow m=4$.
Điều kiện đủ: Với $m=4$ hệ đã cho trở thành $\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=1 & \\ y+\cos x=2 & \end{matrix}\right.$
Từ PT (1) $y^2\leq 1\Rightarrow y\leq 1$. Bởi vậy PT (2) $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=1 & \\ \cos x=1 & \end{matrix}\right.$
Từ đó, hệ có nghiệm duy nhất $x=0;y=1$
Túm lại là $m=4$ là OK.

Biến đổi PT (1) tương đương với
$\frac{y+\sqrt{x}}{x}=2\left ( \frac{y+\sqrt{x}}{y} \right )\Leftrightarrow \begin{bmatrix} y=-\sqrt{x} & \\ y=2x & \end{bmatrix}$
Trường hợp 1. $y=-\sqrt{x}$. Thay vào PT (2) nhận thấy $VT\leq 0$, còn $VT> 0$. Do đó vô nghiệm.
Trường hợp 2. $y=2x$. Cũng thế vào PT (2) thì thu được $2x\left ( \sqrt{x^2+1}-1 \right )=\sqrt{3x^2+3}$. Dễ thấy nghiệm $x=\sqrt{3}\Rightarrow y=2\sqrt{3}$

Biến đổi PT (1) tương đương với $2\left ( 2x+3y \right )^{2}-5\left ( 2x+3y \right )\sqrt{6xy}+12xy=0$
Đặt $a=2x+3y;b=\sqrt{6xy}$ thì được $2a^2-5ab+2b^2=0\Leftrightarrow \left ( a-2b \right )\left ( 2a-b \right )=0$. Xét hai trường hợp là OK. Bạn làm tiếp nhé?

Bài 16. (Đề thi thử THPT Đồng Lộc - Hà Tĩnh. Lần 2)
Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} 8x^3-12x^2+10x=y^3+2y+3 & \\ x^2+2xy=3 & \end{matrix}\right.$

Bài 15:Giải bất phương trình: $$2\left( {{x^2} + 2} \right) < 3\left( {2x + \sqrt {{x^3} + 8} } \right)$$
Đề thi thử đại học trường THPT Phan Đình Phùng - Hà Tĩnh II - 2012
Bất phương trình tương đương với
$2\left ( x^2-3x+2 \right )< \sqrt{x^3+8}\Leftrightarrow 2\left ( x^2-3x+2 \right ) < \sqrt{\left ( x+2 \right )\left ( x^2-2x+4 \right )}$
Đặt $a=\sqrt{x+2};b=\sqrt{x^2-2x+4}$. Ta thu được Bất PT

$2\left ( b^2-a^2 \right )< 3ab\Leftrightarrow \left ( a+b \right )\left ( b-4a \right )< 0\Leftrightarrow b< 4a$

Đến đây có lẽ ổn rồi????

Kết quả: $9-\sqrt{109}< x< 9+\sqrt{109}$

Chứng minh với mọi tam giác ABC ta đều có:
$\cos A.\cos B.\cos C\leq \frac{1}{8}\cos \left ( A-B \right )\cos \left ( B-C \right )\cos \left ( C-A \right )$

Đặt $a=\sqrt{2x+3y};b=\sqrt{5-x-y}$. Ta thu được hệ mới $\left\{\begin{matrix} 2a+b=7 & \\ 3b-\sqrt{-a^2-4b^2+17}=1 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=7-2a & \\ 21-6a-\sqrt{-17a^2+112a-139}=1 & \end{matrix}\right.$
Đến đây chỉ cần giải PT(2) là OK. Dạng $\sqrt{f\left ( x \right )}=g\left ( x \right )$
Cái này giống như đề thi thử của ĐH SPHN

Bài 2: Giải hệ phương trình: $\begin{cases}\sqrt{7x+y}-\sqrt{2x+y}=4\\ 2\sqrt{2x+y}-\sqrt{5x+8}=2 \end{cases}$
Đề thi thử lần 4 trường chuyên ĐHSP Hà Nội

Bài 2.
Đặt $a=\sqrt{7x+y};b=\sqrt{2x+y}$. Hệ đã cho trở thành $\left\{\begin{matrix} a-b=4 & \\ 2b-\sqrt{a^2-b^2+8}=2 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=a-4 & \\ \sqrt{8a-8}=2a-10 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=a-4 & \\ a^2-12a+27=0 & \end{matrix}\right.$
Với điều kiện $a\geq 5$ dẫn tới $\left\{\begin{matrix} a=9 & \\ b=5 & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 7x+y=81 & \\ 2x+y=25 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{56}{5} & \\ y=\frac{13}{5} & \end{matrix}\right.$
Dành mấy bài khó cho mấy cưng

Bài 4: Giải hệ phương trình sau trên $\mathbb{R}$ : $ \begin{cases} y^3=x^3\left(9-x^3\right) \\x^2y+y^2=6x \end{cases} $
Đề thi thử ĐH trường Phú Nhuận - TP.HCM

Bài 4.
Nhận xét $x=0\Rightarrow y=0$ là nghiệm của hệ.
Xét $x\neq 0\Rightarrow y\neq 0$. Chia hai vế của PT(1) cho $x^3$ và PT(2) cho $xy$ ta thu được

$\left\{\begin{matrix} x^3+\left ( \frac{y}{x} \right )^3 =9& \\ x+\frac{y}{x}=\frac{6}{y} & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left ( x+\frac{y}{x} \right )^3-3y\left ( x+\frac{y}{x} \right ) =9& \\ x+\frac{y}{x}=\frac{6}{y} & \end{matrix}\right.$

Đặt $a=x+\frac{y}{x}$. Ta được $\left\{\begin{matrix} a^3-3ay=9 & \\ a=\frac{6}{y} & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^3-18=9 & \\ ay=6 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=3 & \\ y=2 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+\frac{y}{x}=3 & \\ y=2 & \end{matrix}\right.$

Từ đó thu được thêm hai nghiệm của hệ là $\left\{\begin{matrix} x=1 & \\ y=2 & \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix} x=2 & \\ y=2 & \end{matrix}\right.$

Bài 3: Giải hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}
2y(4y^2 + 3x^2 ) = x^4 (x^2 + 3) \\
2012^x (\sqrt {2y - 2x + 5} - x + 1) = 4024 \\

\end{array} \right.$
Đề thi thử ĐH môn toán trường Dân lập Nguyễn Khuyến - TP.HCM

Bài 3.
Từ PT (1) suy ra $y> 0$. Biến đổi PT (1) tương đương với $8y^3+6x^2y=x^6+3x^4\Leftrightarrow x^6-8y^3+3x^4-6x^2y=0$
$\Leftrightarrow \left ( x^2-2y \right )\left ( x^4+2x^2y+4y^2+3x^2 \right )=0\Rightarrow 2y=x^2$. Thay vào PT(2), thu được

$2012^{x}\left ( \sqrt{x^2-2x+5}-x+1 \right )=4024$

Nhận xét $x> 1$ và $x< 1$ không thỏa mãn.

$x=1$ là nghiệm duy nhất của PT. Do đó, nghiệm của hệ là $x=1;y=\frac{1}{2}$.

Giải hệ $\left\{\begin{matrix}
8x^3-12x^2+10x=y^3+2y+3 & \\
x^2+2xy=3 &
\end{matrix}\right.$

Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân tại A(6;6), đường trung bình của tam giác ABC song song với BC có phương trình x-y+4=0. Cho biết điểm P(1;-3) thuộc đường cao kẻ từ đỉnh B. TÌm tọa độ các đỉnh B và C của tam giác.

Tính $I=\int_{0}^{1}\frac{x^4+1}{x^6+1}dx$

Bài 2 cũng OK. Xem nhá
Hệ phương trình tương đương với $\left\{\begin{matrix} x^2+y-x\left ( 2y-1 \right )=0& \\ \left ( x^2+y \right )^2-3x^2\left ( 2y-1 \right )=0& \end{matrix}\right.$
Nhận xét $x=0$$\Rightarrow y=0$ là nghiệm của hệ.
Xét $x\neq 0$. Từ PT (1) $\Rightarrow 2y-1=\frac{x^2+y}{x}$, thế vào PT (2) sẽ được $\left ( x^2+y \right )^2-3x\left ( x^2+y \right )=0$.
Từ đó, dễ dàng suy ra nghiệm $\left\{\begin{matrix} x=1 & \\ y=2 & \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix} x=2 & \\ y=2 & \end{matrix}\right.$

Xơi bài 3
Dễ thấy $x=0;y=0$ là nghiệm của hệ.
Xét trường hợp $y\neq 0$. Chia cả hai vế của PT (1) cho $y^{2}$ và PT (2) cho y, thu được hệ

$\left\{\begin{matrix} \left ( \frac{x}{y} \right )^2 +y=2& \\ \frac{x}{y}+y^2=2 & \end{matrix}\right.$

Đặt ẩn phụ $a=\frac{x}{y}$ thu được hệ mới $\left\{\begin{matrix} a^2+y=2 & \\ y^2+a=2& \end{matrix}\right.$

Hệ đối xứng loại 2 nhở? Kèkè

Bài 327. Cho các số dương a, b, c, d, e thỏa mãn: a+b+c+d+e=4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$P=\frac{\left ( a+b+c+d \right )\left ( a+b+c \right )\left ( a+b \right )}{abcde}$

Cho các số dương a, b, c, d, e thỏa mãn: a+b+c+d+e=4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$P=\frac{\left ( a+b+c+d \right )\left ( a+b+c \right )\left ( a+b \right )}{abcde}$

$I=\int_{0}^{\frac{\Pi }{4}}\cos 2x\ln \left ( \sin x+\cos x \right )dx$

Bài 1. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: $\frac{x-2}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{-1}$ và mặt phẳng (P): $x+2y+z-1=0$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ song song với mặt phẳng (P) và cắt hai đường thẳng 0x, d lần lượt tại A và B sao cho độ dài đoạn AB ngắn nhất.
MOD:
---------
Bạn nên đọc những bài viết sau trước khi gửi bài nhé.

$\to$ Nội quy diễn đàn Toán học

$\to$ Thông báo về việc đặt tiêu đề

Lần này mod sửa giúp bạn, nếu bạn còn tái phạm thì bài viết sẽ bị xóa mà không báo trước.

Cách giải này có lẽ hay hơn ongtroi?
Gọi d là đường thẳng cần tìm. Giả sử d cắt $d_{2}$ tại N. Vì điểm N thuộc $d_{2}$ nên ta tham số hóa điểm N theo tham số của $d_{2}$. Dùng điều kiện $\vec{MN}.\vec{u}=0$ thì tìm được tham số. Thế là OK

Minh xin bài 2
Đặt $\left\{\begin{matrix} a=\frac{1}{x+y+1} & \\ b=\frac{1}{x-y+1}& \end{matrix}\right.$
Nhận thấy $\frac{1}{a}.\frac{1}{b}=\left ( x+1 \right )^2-y^2=x^2+2x-y^2+1$
Do đó chúng ta thu được hệ $\left\{\begin{matrix} a^3+b^3=2 & \\ ab=1 & \end{matrix}\right.$
Đến đây thì ngon lành cành đào rồi nhé

Xin chém bài 3 nè
Biến đổi hệ phương trình tương đương với $\left\{\begin{matrix} 4x\left ( x-1 \right ) +4y\left ( y-2 \right )=43& \\ 4x\left ( x-1 \right )4y\left ( y-2 \right )=-320& \end{matrix}\right.$
Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} a+b=43 & \\ ab=-320& \end{matrix}\right.$
Đến đây thì OK
Bạn Huou có thật nhiều bài hay quá! Thanh kiu

Sao hông có bài nào trong Oxyz nhỉ?
Đề bài Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: $\frac{x}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z}{2}$ và điểm $A\left ( 0;1;2 \right )$. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng d, đi qua điểm A và tiếp xúc với mặt phẳng Oxy.

Nhận xét $y=0$ không là nghiệm . Chia cả hai vế của PT (1) và (2) cho y, ta thu được $\left \{ \frac{x^2+1}{y}+x+y=4\right \} \left \{ \left ( x+y \right )^2-2\frac{x^2+1}{y} =7\right \}$. Từ đó đặt ẩn phụ là OK

Cho mình hỏi sao ở bài 3 lại đặt được như vậy??????