Ba

 

Bạn gõ lại cho rõ hơn đi được không ?

Đề đã rõ rồi đó bạn. Cùng thảo luận nhé.

Tìm m để phương trình $x^4+bx^3+x^2+bx+1$ có không ít hơn 2 nghiệm âm phân biệt

đầu bài sai rồi thì phải tìm b chứ nhỉ?

Bài này có 2 chỗ nhầm hơi vô duyên.

ER1: Đề bài cho không phải là phương trình mà là đa thức.

Phải là: \[{x^4} + b{x^3} + {x^2} + bx + 1 = 0\]

ER2: Như bạn đã nói, đề cho là $b$, nhưng bảo tìm $m$.

Với đề bài: Tìm $b$ để phương trình ${x^4} + b{x^3} + {x^2} + bx + 1 = 0$ có không ít hơn 2 nghiệm âm phân biệt.

Hướng dẫn:

Bước 1: Nhận thấy $x \ne 0$. Chia 2 vế của phương trình cho ${x^2} \ne 0 $ ta được:

\[{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} + b\left( {x + \frac{1}{x}} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2} + b\left( {x + \frac{1}{x}} \right) - 1 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\]

Bước 2: Đặt $t = x + \frac{1}{x}$, tìm điều kiện cho $t$ thoả mãn $x$ đầu bài.

Bưóc 3: Khi đó ta có phương trình: ${t^2} + bt - 1 = 0\,\,\left( 2 \right)$

Bước 4: Tìm $b$ để phương trình $(2)$ có nghiệm $t$ thoả mãn điều kiện đã tìm.

Tìm các số nguyên dương m, n sao cho các số $m^2+8n$ và $n^2+8m$ đều là số chính phương 

Em tham khảo thêm ở topi này nhé: http://diendantoanho...phương-thi-hsg/

Giải PT: $(x+2)(x+3)(x+4)(x+6)=420x^2$

Chào các em. Bài này thuộc dạng cơ bản có thể giải dễ dàng bằng phương pháp nhóm rồi đặt ẩn phụ trong họ bài toán giải phương trình bậc 4.

Anh có nhận xét thế này: 2 lời giải trên đã đi đúng hướng (kết quả anh không kiểm tra có dúng không) nhưng nếu các bạn tính toán không sai thì chắc là ok :-).

Lời giải 1: Em đã cẩn thận khi nhận ra $x \ne 0$. Có bước này mới suy ra được bước 2. Em phân tích đúng nhưng đến đoạn đặt ẩn phụ thì em làm chưa tốt lắm. Trong tính toán thì các em không nên chọn các số thập phân như trên (nên hạn chế), chọn như vậy sẽ làm cho phần tính toán có thể không được "trôi chảy" cho lắm.

\[\left( {x + \frac{{12}}{x} + 8} \right)\left( {x + \frac{{12}}{x} + 7} \right) = 420\]

Đến đây nếu em tinh tế thêm xí thì có thể nhận ra ngay ẩn phụ cần đặt là gì để làm cho bài toán trở nên đơn giản hơn, ý anh nói ở đây là đơn giản trong hình thức, chứ bản chất bài toán sẽ không thay đổi đâu.

Giải pháp: Đặt $t = x + \frac{{12}}{x} + 7$ hoặc $t = x + \frac{{12}}{x} + 8$. Khi đó ta sẽ có phương trình: $\left( {t + 1} \right)t = 420 \Rightarrow {t^2} + t - 420 = 0\,\,\,\left( 1 \right)$ hoặc  $t\left( {t - 1} \right) = 420 \Rightarrow {t^2} - t - 420 = 0\,\,\,\left( 2 \right)$.

Hai phương trình $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ đều có nghiệm đẹp và chúng ta hoàn toàn có thể đoán nghiệm nó. Rất đơn giản đúng không nào!

Lời giải 2: Em đã phần nào tự làm khó mình khi đặt ẩn như vậy, nhìn nó sao sao ý :-). Em nên tham khảo cách phân tích của lời giải đầu kết hợp một số nhận xét "ngu" của anh nhé.

Nhân dịp năm mới gần đến, anh cũng chúc các em sức khỏe, học tập tốt.

Bài toán : Giải phương trình hàm : (Singapore IMO TST 2008, Problem)

$(x+y)(f(x)-f(y)) = (x-y)f(x+y)\,\,\,(*)$

Lời giải 1:

Giả sử tồn tại hàm số $f\left( x \right)$ thoả mãn bài toán.

Trong $(*)$ cho $y=2$, ta được: $$f\left( {x + 2} \right) = \dfrac{{x + 2}}{{x - 2}}\left( {f\left( x \right) - f\left( 2 \right)} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$$
Trong $(*)$ cho $y=1$, ta được: $$f\left( {x + 1} \right) = \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}\left( {f\left( x \right) - f\left( 1 \right)} \right)$$
Suy ra: $$f\left( {x + 2} \right) = \dfrac{{x + 2}}{x}\left( {f\left( {x + 1} \right) - f\left( 1 \right)} \right) = \dfrac{{x + 2}}{x}\left( {\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}\left( {f\left( x \right) - f\left( 1 \right)} \right) - f\left( 1 \right)} \right)$$
Do đó: $$ \Leftrightarrow f\left( {x + 2} \right) = \dfrac{{x + 2}}{x}\left( {\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}f\left( x \right) - 2f\left( 1 \right)\dfrac{x}{{x - 1}}} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)$$
Từ (1) và (2), ta được: $$\dfrac{{x + 2}}{{x - 2}}\left( {f\left( x \right) - f\left( 2 \right)} \right) = \dfrac{{x + 2}}{x}\left( {\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}f\left( x \right) - 2f\left( 1 \right)\dfrac{x}{{x - 1}}} \right)$$
$$ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{x - 2}}\left( {f\left( x \right) - f\left( 2 \right)} \right) = \dfrac{{x + 1}}{{x\left( {x - 1} \right)}}f\left( x \right) - 2f\left( 1 \right)\dfrac{1}{{x - 1}}$$
$$ \Leftrightarrow 2f\left( 1 \right)\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{1}{{x - 2}}f\left( 2 \right) = \left( {\dfrac{{x + 1}}{{x\left( {x - 1} \right)}} - \dfrac{1}{{x - 2}}} \right)f\left( x \right)$$
$$ \Leftrightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{f\left( 2 \right)}}{2}\left( {x - 1} \right)x - f\left( 1 \right)\left( {x - 2} \right)x = \left( {\dfrac{{f\left( 2 \right)}}{2} - f\left( 1 \right)} \right){x^2} + \left( {2f\left( 1 \right) - \dfrac{{f\left( 2 \right)}}{2}} \right)x$$
Suy ra: $f\left( x \right) = a{x^2} + bx,\,\,\forall x \in \mathbb{R}$. Thử lại thấy thoả phương trình $(*)$.

Vậy hàm số cần tìm là $f\left( x \right) = a{x^2} + bx\,\,\,\,\left( {\,a,b \in \mathbb{R}} \right)$
________________________________________________________________
Lời giải 2:

Giả sử tồn tại hàm số $f\left( x \right)$ thoả mãn bài toán.

Đặt $P\left( {x,y} \right)$ là hàm của $\left( {x + y} \right)\left( {f\left( x \right) - f\left( y \right)} \right) = \left( {x - y} \right)f\left( {x + y} \right)$

Khi đó: $$P\left( {x + 1, - x} \right):\,\,f\left( {x + 1} \right) - f\left( { - x} \right) = \left( {2x + 1} \right)f\left( 1 \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$$
$$P\left( { - x,x - 1} \right):\,\, - f\left( { - x} \right) + f\left( {x - 1} \right) = \left( {1 - 2x} \right)f\left( { - 1} \right)\,\,\,\,\,\,(2)$$
$$P\left( {x + 1,x - 1} \right):\,\,2x\left( {f\left( {x + 1} \right) - f\left( {x - 1} \right)} \right) = 2f\left( {2x} \right) \Leftrightarrow f\left( {x + 1} \right) - f\left( {x - 1} \right) = \dfrac{{f\left( {2x} \right)}}{x}\,\,\,\,\,\,\,\,(3)$$
Lấy $(1) - (2) - (3)$, ta được: $$0 = \left( {2x + 1} \right)f\left( 1 \right) - \left( {1 - 2x} \right)f\left( { - 1} \right) - \dfrac{{f\left( {2x} \right)}}{x}$$
$$ \Leftrightarrow f\left( {2x} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {f\left( 1 \right) + f\left( { - 1} \right)} \right){\left( {2x} \right)^2} + \dfrac{1}{2}\left( {f\left( 1 \right) - f\left( { - 1} \right)} \right)2x$$
Suy ra: $f\left( x \right) = a{x^2} + bx,\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}$. Thử lại thấy thoả phương trình $(*)$.

Vậy hàm số cần tìm là $f\left( x \right) = a{x^2} + bx\,\,\,\,\left( {\,a,b \in \mathbb{R}} \right)$
_______________________________________________________________
Lời giải 3:

Giả sử tồn tại hàm số $f\left( x \right)$ thoả mãn bài toán.

Từ phương trình $(*)$ suy ra: $$f\left( x \right) - f\left( y \right) = \dfrac{{x - y}}{{x + y}}f\left( {x + y} \right)$$
Ta có: $$f\left( x \right) - f\left( y \right) = f\left( x \right) - f\left( z \right) + f\left( z \right) - f\left( y \right) = \dfrac{{x - z}}{{x + z}}f\left( {x + z} \right) + \dfrac{{z - y}}{{z + y}}f\left( {z + y} \right)$$
Từ đó cho ta: $$\dfrac{{x - y}}{{x + y}}f\left( {x + y} \right) = \dfrac{{x - z}}{{x + z}}f\left( {x + z} \right) + \dfrac{{z - y}}{{z + y}}f\left( {z + y} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$$
Đặt: $y + z = a;z + x = b;x + y = c$, khi đó $(1)$ trở thành:
$$\dfrac{{b - a}}{c}f\left( c \right) = \dfrac{{c - a}}{b}f\left( b \right) + \dfrac{{b - c}}{a}f\left( a \right)$$
Cố định $a,b \Rightarrow f\left( a \right),f\left( b \right)$ không đổi, ta được:
$$f\left( c \right) = \left( {\dfrac{1}{{a - b}}\left( {\dfrac{{f\left( a \right)}}{a} - \dfrac{{f\left( b \right)}}{b}} \right)} \right){c^2} + \left( {\dfrac{1}{{a - b}}\left( {\dfrac{a}{b}f\left( b \right) - \dfrac{b}{a}f\left( a \right)} \right)} \right)c$$
Suy ra: $f\left( x \right) = A{x^2} + Bx,\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}$. Thử lại thấy thoả phương trình $(*)$.

Vậy hàm số cần tìm là $f\left( x \right) = A{x^2} + Bx\,\,\,\,\left( {\,A,B \in \mathbb{R}} \right)$

Trích tại đây

Giải phương trình:

$\sqrt {5x^2  + 14x + 9}  - \sqrt {x^2  - x - 20}  = 5\sqrt {x + 1} $
 

 

Ví dụ 21: Giải phương trình

$$\sqrt{5x^2 - 14x + 9} - \sqrt{x^2 - x - 20} = 5\sqrt{x + 1}, \ \ (1)$$

Lời giải:

ĐK : $ x \geq 5$

Chuyển vế rồi bình phương hai vế, ta được:

$$ (x + 1)(5x + 9) = x^2 + 24x + 5 + 10\sqrt{(x + 4)(x - 5)(x + 1)}$$

$\Leftrightarrow 2(x^2 - 4x - 5) + 3(x + 4) - 5\sqrt{(x^2 - 4x - 5)(x + 4)} = 0,\ \ \ (2)$

Đặt $ u = \sqrt{(x^2 - 4x - 5)}$ và $ v = \sqrt{x + 4} , u,v \geq 0 .$ Thì:

$$(2)\Leftrightarrow 2u^2 + 3v^2 - 5uv = 0 \Leftrightarrow (u - v)(2u - 3v) = 0$$

* $ u = v$ ta có :$ x^2 - 5x - 9 = 0$

* $ 2u = 3v$ ta có : $ 4x^2 - 25x - 56 = 0$

Giải ra ta được 2 nghiệm thỏa mãn: $ x = \dfrac{5 + \sqrt{61} }{2} , x = 8$

 

 

Trích Phương pháp đặt ẩn số phụ trong giải phương trình vô tỉ

Tìm m để phương trình có nghiệm:$\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-m\sqrt{1-x^{2}}+m+2=0$

Gợi ý:

Điều kiện: $1 - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} \le 1 \Leftrightarrow x \in \left[ { - 1;1} \right]$

Đặt $t = \sqrt {1 + x}  + \sqrt {1 - x}  \Rightarrow {t^2} = 2 + 2\sqrt {1 - {x^2}}  \Rightarrow \sqrt {1 - {x^2}}  = \frac{{{t^2} - 2}}{2}$. Dựa vào $x$ để tìm điều kiện của $t$.

Khi đó: \[t - m\left( {\frac{{{t^2} - 2}}{2}} \right) + m + 2 = 0\]

Tham khảo tiếp tại đây.

Tìm m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:

\[x + \sqrt {4 - {x^2}}  = m + x\sqrt {4 - {x^2}} \]

Gợi ý:

Điều kiện: ${x^2} \le 4 \Leftrightarrow x \in \left[ { - 2;2} \right]$

Đặt $t = x + \sqrt {4 - {x^2}} $. Từ điều kiện của $x$ suy ra điều kiện của $t$ (bạn tự làm nhé, có thể dùng khảo sát hàm,...)

Khi đó: \[{t^2} = {x^2} + 2x\sqrt {4 - {x^2}}  + 4 - {x^2} = 2x\sqrt {4 - {x^2}}  + 4 \Rightarrow x\sqrt {4 - {x^2}}  = \frac{{{t^2} - 4}}{2}\]

Phương trình đã cho trở thành: \[t = m + \frac{{{t^2} - 4}}{2} \Leftrightarrow 2t = 2m + {t^2} - 4 \Leftrightarrow {t^2} - 2t + 2m - 4 = 0\,\,\,\left( * \right)\]

Đến đây tìm $m$ để phương trình $\left( * \right)$ có ... nghiệm (kết hợp điều kiện để suy ra số nghiệm của $t$). Từ đó suy ra $m$.

ọi d là đt qua M(2;0) và có hệ số góc k.Tìm k để d cắt $(C):y=\left | x \right |^{3}-3\left | x \right |-2$ tại 4 điểm p/b?

Mình gợi ý thế này nhé.

Theo giả thuyết thì phương trình đường thẳng $d$ có dạng: $d:\,\,y = k\left( {x - 2} \right) = kx - 2k$

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng $d$ với $\left( C \right):y=\left | x \right |^{3}-3\left | x \right |-2$ là \[kx - 2k = {\left| x \right|^3} - 3\left| x \right| - 2 \Leftrightarrow {\left| x \right|^3} - 3\left| x \right| - kx + 2k - 2 = 0\]

Xét trường hợp $x \ge 0$. Phương trình trở thành:

\[{x^3} - \left( {3 + k} \right)x + 2k - 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 1 - k} \right) = 0\]

Nghiệm $x=2$ chính là hoành độ của điểm $M$.

Tương tự, xét trường hợp $x < 0$. \[ - {x^3} + \left( {3 + k} \right)x + 2k - 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x - 1 + k} \right) = 0\]

Lúc đó để $d$ và $\left( C \right)$ cắt nhau tại 4 điểm phân biệt thì phương trình ở trường hợp đầu có 2 nghiệm phân biệt không âm, phương trình thứ hai có nghiệm ....

Cho dãy số $(u_{n})$ xác định như sau:

$u_{1}=\frac{3}{\sqrt{6}}$;($u_{n+1}=24u_{n}^{3}-12\sqrt{6}u_{n}^{2}+15u_{n}-\sqrt{6}, n=1,2,...$

Tìm công thức số hạng tổng quát $u_{n}$ của dãy trên.

 

Đặt $u_{n}=xv_{n}+y$.Thay vào công thức truy hồi của dãy biến đổi
và rút gọn ta được:
$xv_{n}+y=24x^{3}v^{3}_{n-1}$+$12(6x^{2}y-\sqrt{6}x^{2})v^{2}_{n-1}$+$3(24xy^{2}-8\sqrt{6}xy+5x)v_{n-1}+24y^{3}$-$
12\sqrt{6}y^{2}+15y-\sqrt{6}$
Ta chọn y:$\left\{\begin{matrix} 6x^{2}y-\sqrt{6}x^{2}=0 & \\ 24y^{3}-12\sqrt{6}y^{2}+15y-\sqrt{6=y} & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow y=\frac{1}{\sqrt{6}}$
Khi đó $x.v_{n}=24x^{3}v^{3}_{n-1}+3xv_{n-1} \Leftrightarrow v_{n}=24x^{3}v^{3}_{n-1}+3v_{n-1}$
Ta chọn x=$\frac{1}{\sqrt{6}}$
$\Rightarrow v_{n}=4v^{3}_{n-1}+3v_{n-1};v_{1}=2 $
$\Rightarrow v_{n}=\frac{1}{2}[(2+\sqrt{5})^{3^{n-1}}+(2-\sqrt{5})^{3^{n-1}}]$
Vậy $u_{n}=\frac{1}{2\sqrt{6}}[(2+\sqrt{5})^{3^{n-1}}+(2-\sqrt{5})^{3^{n-1}}]+\frac{1}{\sqrt{6}} ;\forall n=1,2,...$
p\s mọi thắc mắc xem ở đây   

 

 

Xin gửi bạn tài liệu về phép biến hình.

Giải hệ phương trình

 

$\left\{\begin{array}{l}x^4+y^2 = \frac{697}{81}\\x^2+y^2+xy-3x-4y+4=0 \end{array}\right.$

Tham khảo thêm bài này.

Có ai có tài liệu về hàm sinh và chuỗi lũy thừa hình thức thì cho em xin ạ.

ai có tài liệu hình học phẳng ôn thi VMO+TST cho em xin được không???

OK

Ta có

$1 + \ln \left( 1 + \frac{1}{2} \right) + \ln \left( 1 + \frac{1}{3} \right) + ... + \ln \left( 1 + \frac{1}{n}\right)=\ln \frac{n}{2}$

QED.

Rõ hơn xí đi bạn. Mình vẫn chưa rõ

Cái này mới chặn trên thôi còn phải chặn dưới nữa. :3

Cái này chỉ mới chặn dưới thôi, còn phải chặn trên nữa

Cho mình hỏi BĐH, trước đây, khi vào BOX Toán THCS-Bất đẳng thức và cực trị, mình thường đọc hai bài viết. Đó là;

- Topic BĐT THCS

- Topic BĐT THCS [ 2 ] - máy nhà mình phím shift hư nên ko gõ dc ngoặc tròn

Nhưng khoảng 2 tuần trở lại đây, khi vào box trên mình ko thấy bài viết Topic BĐT THCS đâu nữa, chỉ thấy bài Topic BĐT THCS [ 2 ] thôi.

Cho mình hỏi các MOD là bài viết kia còn hay đã bị xóa, nếu còn thì tại sao mình ko thấy dc bài viết đó

Xin chân thành cảm ơn

Trả lời: Topic BĐT, cực trị THCS mà bạn muốn nói đã bị ẩn bởi Jinbe

Tìm nguyên hàm :
$$\int \frac{m\sin x + n\cos x + p}{a\sin x + b\sin x + c}\text{dx}$$
trong đó $m,n,p,a,b,c$ là các hằng số.

Phải là $b\cos x$ chứ nhỉ!

Tham khảo: http://diendantoanho...int-dfracdxx81/

$\left\{\begin{matrix} x^{3}-2y^{3}=x+4y & & \\ 6x^{2}-19xy+15y^{2}=1& & \end{matrix}\right.$

Thay $1 = 6{x^2} - 19xy + 15{y^2}$ vào phương trình thứ nhất, ta được:

\[{x^3} - 2{y^3} = \left( {x + 4y} \right)\left( {6{x^2} - 19xy + 15{y^2}} \right)\]

Nhân vô rồi rút gọn ta thu được phương trình:\[5{x^3} + 5{x^2}y - 61x{y^2} + 62{y^3} = 0\]

Từ phương trình thứ nhất, nếu $y=0$ thì $x=0$. Điều này mâu thuẫn với phương trình thứ hai.

Xét $y \ne 0$. Chia hai vế của phương trình trên cho ${y^3} \ne 0$, ta được:

\[5{\left( {\frac{x}{y}} \right)^3} + 5{\left( {\frac{x}{y}} \right)^2} - 61\frac{x}{y} + 62 = 0 \Leftrightarrow 5{t^3} + 5{t^2} - 61t + 62 = 0\,\,\,\,\left( * \right)\,\,\,\,\left( {t = \frac{x}{y}} \right)\]

Cảm ơn bạn.Cái bất đẳng thức Bunhiacopski này có được sử dụng thẳng trong thi đại học không hay phải chứng minh lại nhỉ?

Bạn có thể trình bày cách nào để suy ra \[\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left[ {1 + \ln \left( {1 + \frac{1}{2}} \right) + \ln \left( {1 + \frac{1}{3}} \right) + ... + \ln \left( {1 + \frac{1}{n}} \right)} \right] = \infty \]

 

Ta chứng minh

$1+\ln (1+\frac{1}{2})+\ln (1+\frac{1}{3})+...+\ln (1+\frac{1}{n})< 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}$

Bạn ơi chứng minh điều này giúp mình với.

Tính $\lim_{n\mapsto +\infty }\left ( 1+ \frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}\right )$ sử dụng nguyên lý kẹp.

\[\mathop {\lim }\limits_{n \mapsto  + \infty } \left( {1 + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{n}} \right) =  + \infty \]

Mình không biết sử dụng nguyên lí kẹp như thế nào 

Em vẫn chưa tìm được lời giải trong cái link đó ạ ! 

Lời giải ở đó khá chi tiết vậy mà. Bạn cố gắng xem lại lần nữa nhé!

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} 16(x^{2}+\sqrt[3]{x^{4}}-\sqrt[3]{x^{2}}+1)=xy & & \\ 16(\sqrt[3]{x^{8}}+\sqrt[3]{x^{2}}+x^{2}+1)+15.\sqrt[3]{x^{4}}=2y.\sqrt[3]{x^{4}} & & \end{matrix}\right.$

http://diendantoanho...n-học/?p=273620