1) $\int_{0}^{\pi/3} \frac{cosx}{cosx.\sqrt{3+sin^2x}}dx$

 

2)$\int \frac{sin^6x+ cos^6 x}{sin^4x+cos^4x-1/2}dx$

 

ai giải hộ e với T.T

Cách khác:

ta có $cos^6x+sin^6x=\frac{5}{8}+\frac{3}{8}cos4x=\frac{5}{8}+\frac{3}{8}.\frac{1-tan^22x}{1+tan^22x}$

$$ sin^4x+cos^4x-1/2=cos^2 2x$$ 

Nên: $\int \frac{sin^6x+ cos^6 x}{sin^4x+cos^4x-1/2}dx=\int \frac{\frac{5}{8}+\frac{3}{8}.\frac{1-tan^22x}{1+tan^22x}}{cos^22x}dx=\int (\frac{5}{8}+\frac{3}{8}.\frac{1-tan^22x}{1+tan^22x})d(tan2x)$

Xong....

Trong mp Oxy cho Elip (E) với 2 tiêu điểm $F_{1}(-1;0);F_{2}(1;0)$ thoả mãn điều kiện sau đây:Nếu M là một điểm thuộc (E) sao cho $\angle F_{1}MF_{2}=120^{o}$ thì diện tích tam giác $MF_{1}F_{2}$ bằng $2013\sqrt{3}$(đvdt).Lập phương trình  chính tắc của (E).

Giải:

Gọi tọa độ $M(x;y)$

Ta có: $2c=F_{1}F_{2}=2\to c=1$

$MF_{1}=a+\frac{cx}{a}=a+\frac{x}{a}$, $MF_{2}=a+\frac{cx}{a}=a-\frac{x}{a}$

$\to S_{F_{1}MF_{2}}=\frac{1}{2}.d(M,Ox).F_{1}F_{2}=|x|=2013\sqrt{3}$

Áp dụng định lí hàm số cos, ta có: $F_{1}F_{2}^2=MF_{1}^2+MF_{2}^2-2MF_{1}.MF_{2}.cos120\to x\neq 2013\sqrt{3}$(Vô Lí)

$\to$ không tồn tại $(E)$ thỏa mãn bài toán.

Bài toán: Cho $x;y;z \in [1;3]$. Chứng minh rằng

 

$$6 \leq \frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y} \leq \frac{26}{3}$$

CK:"hơi dài"

Không mất tính tổng quát, giả sử: $x\geq y\geq z$

Xét hàm: $f(x)=(\frac{1}{y}+\frac{1}{z})x+\frac{y+z}{x}+\frac{y^2+z^2}{yz}$ với $y\leq x\leq3$

Ta có: $f'(x)>\frac{(y+z)(x^2-yz)}{x^2yz}>0\to f(x)\leq f(3)$

Tiếp tục xét: $P(z)=f(3)=(\frac{1}{3}+\frac{1}{y})z+\frac{3+y}{z}+\frac{9+y^2}{3y}$, với $1\leq z\leq y$

Ta có: $P'(z)=\frac{(y+3)(z^2-3y)}{3yz^2}<0\to P(z)\leq P(1)=\frac{4(y-1)(y-3)}{3y}+\frac{26}{3}\leq \frac{26}{3}$

Vế còn lại dùng AM-GM là được...

Thử các 3 giá trị  để $4^x$ có nghiệm đẹp thì thấy $4^{1/2}; 4^1;4^0$ khá đẹp (xong thử lại bằng máy tin :3 hoặc dùng wolf.

Mà ý e ko phải tìm nghiệm cái nớ mà tìm nghiệm $f''(t)=0$ tê??

$log_{\frac{1}{3}}log_{5}(\sqrt{x^{2}+1}+x)>log_{3}log_{\frac{1}{5}}(\sqrt{x^{2}+1}-x)$

Đề như vậy ah:$\log_{\frac{1}{3}}[\log_{5}(\sqrt{x^{2}+1}+x)]>\log_{3}[\log_{\frac{1}{5}}(\sqrt{x^{2}+1}-x)]\Leftrightarrow -\log_{3}[\log_{5}(\sqrt{1+x^2}+x)]>\log_{5}[\log_{3}(\sqrt{1+x^2}+x)]$

Đặt: $t=\sqrt{1+x^2}+x>0$

$\Leftrightarrow \log_{3}[\log_{5}t]+\log_{5}[\log_{3}t]<0$

$\Leftrightarrow [\frac{1}{\ln3}+\frac{1}{\ln5}]\ln \ln t-[\frac{\ln\ln5}{\ln3}+\frac{\ln\ln3}{\ln5}]<0$

$\Leftrightarrow t<e^{e^{\frac{\ln5\ln\ln5+\ln3\ln\ln3}{\ln3+\ln5}}}$

$x(3log_{2}x-2)> 9log_{2}x-2$

ĐK: $x>0$

PT$\Leftrightarrow 3(x-2).log_{2}x>2(x-1)$

dễ thấy $x=2$ không thỏa mãn. Vậy $x\neq 2$

$\to f(x)=\left\{\begin{matrix}3.log_{2}x-\frac{2(x-1)}{x-2}>0,x>2\\3.log_{2}x-\frac{2(x-1)}{x-2}<0,0<x<2\end{matrix}\right.$

Ta thấy $f'(x)>0$ với mọi $x>0, x\neq2$

Vẽ bảng biến thiên ra là được...!!

ac làm sao mà tính được nghiệm zậy??

mà hình như $f'''(x)$ cũng có nghiệm duy nhất phải!! nếu thế thì theo lập luận trên là có 4 nghiệm???

$\int_{1}^{3}\frac{3+lnx}{(x+1)^{2}}$

$\int\frac{3+lnx}{(x+1)^{2}}dx=\int [\frac{3}{(1+x)^2}+\frac{lnx}{(1+x)^2}]dx=-\frac{3}{1+x}-\int lnx d(\frac{1}{1+x})=-\frac{3}{1+x}-\frac{lnx}{1+x}+\int\frac{1}{x(1+x)}dx=-\frac{3}{1+x}-\frac{lnx}{1+x}+ln\frac{x}{1+x}+C$

Bài 1: Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn: $\sum\frac{1}{x}=1$.

CMR: $\sum\frac{x^2}{x+yz}\geq\frac{x+y+z}{4}$

Bài 2: Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn: $xyz=3$.

CMR: $x^\frac{1}{x}y^\frac{1}{y}z^\frac{1}{z}\leq3^\frac{xy+yz+zx}{9}$

Tính tích phân sau:

I = $\int_{-1}^{1}\frac{dx}{1+x+\sqrt{1+x^2}}$

Đặt: $t=x+\sqrt{1+x^2}\to (t-x)^2=1+x^2\to x=\frac{1}{2}[t-\frac{1}{t}]\to dx=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{t^2})dt$

$\int\frac{dx}{1+x+\sqrt{1+x^2}}=\int \frac{t^2+1}{2t^2(1+t)}dt$

Đến đó là cơ bản rồi.

$\int_{\frac{\Pi }{3}}^{\frac{2\Pi }{3}}\frac{x+(x+sinx).sinx}{(1+sinx).sin^{2}x}$

$\int\frac{x+(x+sinx).sinx}{(1+sinx).sin^{2}x}dx=\int [\frac{x}{sin^2x}+\frac{1}{1+sinx}]dx=-\int xd(cotx)+\int \frac{1}{cos^2\frac{x}{2}(tan\frac{x}{2}+1)^2}dx=-xcotx+\int cotxdx-\frac{2}{tan\frac{x}{2}+1}=-xcotx+ln|sinx|-\frac{2}{tan\frac{x}{2}+1}+C$

$I=\int_{0}^{\sqrt{3}}\frac{x^5+2x^2}{\sqrt{1+x^2}}dx$

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x} +\sqrt{x^{2}+3}=3& & \\ \sqrt{x+\sqrt{x^{2}-x+1}}=1+\sqrt{2}-x^{2011} & & \end{matrix}\right.$

ĐK: $x\geq 0$

PT(1): $\sqrt{x}+\sqrt{x^2+3}=3\Leftrightarrow [\sqrt{x}-1]+[\sqrt{x^2+3}-2]=0\Leftrightarrow (x-1)[\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\frac{x+1}{\sqrt{x^2+3}+2}]=0\Leftrightarrow x=1$

Thay vào pt(2) thấy thỏa mãn. nên hpt có nghiệm $x=1$

Giải bất phương trinh sau:

$2\sqrt{\frac{x^{2}+x+1}{x+4}}+x^{2}-4\leq \frac{2}{\sqrt{x^{2}+1}}$

ĐK: $x>-4$

$2\sqrt{\frac{x^2+x+1}{x+4}}+x^2-4 \leq \frac{2}{\sqrt{x^2+1}}\Leftrightarrow 2(\sqrt{\frac{x^2+x+1}{x+4}}-1)+(x^2-3)+(1-\frac{2}{\sqrt{x^2+1}})\leq 0\Leftrightarrow \frac{2(x^2-3)}{\sqrt{x+4}(\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x+4})}+(x^2-3)+\frac{x^2-3}{\sqrt{x^2+1}(\sqrt{x^2+1}+2)}\leq 0\Leftrightarrow [x^2-3][\frac{2}{\sqrt{x+4}(\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x+4})}+1+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}(\sqrt{x^2+1}+2)}]\leq 0\Leftrightarrow x^2\leq 3\Leftrightarrow |x|\leq \sqrt{3}$

Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 3} }},y = 0,x = 3$

xung quanh trục hoành .

Phương trình hoành độ giao điểm là:

$\frac{x+1}{\sqrt{3+x^2}}=0\Leftrightarrow x=-1$

Thể tích quay là:$V=|\pi\int_{-1}^{3}(\frac{x+1}{\sqrt{3+x^2}}-0)^2dx|=\pi\int_{-1}^{3}\frac{(1+x)^2}{3+x^2}dx=4\pi-\frac{\pi^2}{\sqrt{3}}+\pi ln3$

$\int_{1}^{2}\frac{1-x^{2}}{x+x^{3}}$

Ta có:

$I=\int \frac{1-x^2}{x+x^3}dx=\int \frac{\frac{1}{x^2}-1}{x+\frac{1}{x}}dx=-\int \frac{d(x+\frac{1}{x})}{x+\frac{1}{x}}=-ln|x+\frac{1}{x}|+C$