Cho a,b,c>0.CM:$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc\geqslant 2(b+\frac{c}{2}-a)^{3}$

BĐT sai với $a=b=c=1$

Cho a,b,c dương thỏa mãn ab+bc+ca=1.Tìm max của: $\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}$

Ta có $P=3-(\frac{a^2}{1+a^2}+\frac{b^2}{1+b^2}+\frac{c^2}{1+c^2})\leqslant 3-\frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+3}$

Lại có $a^2+b^2+c^2+3=(a+b+c)^2+ab+bc+ca\leqslant (a+b+c)^2+\frac{(a+b+c)^2}{3}$

$\Rightarrow P\leqslant 3-\frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2+\frac{(a+b+c)^2}{3}}=\frac{9}{4}$

Vậy ta có đcpm.

Cho x,y,z dương. Cmr:$\frac{x^{2}-z^{2}}{y+z} + \frac{y^{2}-x^{2}}{x+z} + \frac{z^{2}-y^{2}}{x+y}\geq 0$

BĐT tương đương $\frac{x^2-y^2+y^2-z^2}{y+z}+\frac{y^2-z^2}{x+z}+\frac{z^2-y^2}{x+y}\geqslant 0$

$\Leftrightarrow (x^2-y^2)(\frac{1}{y+z}-\frac{1}{x+z})+(y^2-z^2)(\frac{1}{y+z}-\frac{1}{x+y})\geqslant 0$

$\Leftrightarrow \frac{(x-y)^2(x+y)}{(x+z)(y+z)}+\frac{(y-z)^2}{x+y}\geqslant 0$

Vậy ta có đpcm

Cho a,b,c>0 ;$a+b+c \geq 1/a + 1/b + 1/c.$
Chứng minh rằng ;$a+b+c \geq 3/(abc).$

Từ giả thiết ta có $abc(a+b+c)\geqslant ab+bc+ca$

Sử dụng AM-GM $ ab+bc+ca\geqslant \sqrt{3abc(a+b+c)}\Rightarrow abc(a+b+c)\geqslant \sqrt{3abc(a+b+c)}$

$\Rightarrow abc(a+b+c)\geqslant 3$

Đẳng thức khi $a=b=c=1$

$Cho x,y>0 thỏa mãn:x^{2}+y^{2}=3.$

$CMR:\frac{x^{3}}{y^{2}}+\frac{9y^{2}}{x+2y}\geq 4$

Bạn xem lại đề bài là $x^2+y^2=2$ nhé.

Cách 1: Áp dụng C-S ta có 

 $P[x+(x+2y)]\geqslant (\frac{x^2}{y}+3y)^2$

Do vậy ta cần chứng minh $\frac{(\frac{x^2}{y}+3y)^2}{2(x+y)}\geqslant 4$

Ta có $\frac{x^2}{y}+3y=\frac{2-y^2}{y}+3y=2(y+\frac{1}{y})\geqslant 4$

Và $2(x+y)\leqslant 2\sqrt{2(x^2+y^2)}\leqslant 4$

Vậy ta có đpcm

Cách 2: BĐT tương đương $x^3(x+2y)+9y^4\geqslant 4y^2(x+2y)\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}$

Bình phương rồi đặt $t=\frac{x}{y}$ ta có đpcm

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn $x\leq 1 ; y+z\leq \sqrt{2}$

Chứng minh $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\geq 2+3\sqrt{2}$

Bất đẳng thức đã cho sai với $x=y=z=\frac{1}{2}$

Hình chóp A.BCD có $\angle ACB=90=\angle ADB ;AB=2a$.Đáy BCD là tam giác cân tại B,có $\angle CBD=2\alpha$ và CD=a.Tính thể tích khối chóp theo a và $\alpha$

Mình không có máy tính nên sẽ chỉ làm vắn tắt, mong bạn thông cảm.

Với điều kiện tam giác $BCD$ cân và biết góc $B$, biết cạnh $CD$, ta sẽ tính được diện tích tam giác này, và tam giác này hoàn toàn " xác định " trong không gian.

Công việc còn lại là tìm được đường cao kẻ từ $A$ xuống mặt phẳng $(BCD)$

Giả sử $AO$ là đường cao, khi đó $AO$ vuông góc với $BC$, mà $AC$ cũng vuông góc với $BC$, khi đó $BC$ vuông góc với $ACO$, hay $BC$ vuông góc với $OC$

Tương tự $BD$ vuông góc với $DO$

Vậy $O$ là giao điểm của 2 đường thẳng $\Delta _1,\Delta _2$, trong đóc $\Delta _1$ vuông góc với $BC$ tại $C$, $\Delta _2$ vuông góc với $BD$ tại $D$

Cho a,b,c dương thỏa mãn: $3(bc)^2 +a^2 =2(a+bc)$. Tìm Min:

 

$P=\frac{a^2}{bc}+\frac{4}{(a+b)^2}+\frac{4}{(a+c)^2}$

Từ giả thiết ta có $(bc-1)^2+(a-1)^2+2b^2c^2-2=0\Rightarrow bc\leqslant 1$

Áp dụng BĐT phụ sau $\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}\geqslant \frac{1}{1+xy}$

Ta có $\frac{1}{(a+b)^2}+\frac{1}{(a+c)^2}=\frac{1}{a^2}[\frac{1}{(1+\frac{b}{a})^2}+\frac{1}{(1+\frac{c}{a})^2}]\geqslant \frac{1}{a^2}.\frac{1}{1+\frac{bc}{a^2}}=\frac{1}{a^2+bc}$

$\Rightarrow P\geqslant \frac{a^2}{bc}+\frac{1}{a^2+bc}\geqslant a^2+\frac{1}{a^2+1}\geqslant 3\Leftrightarrow (a^2-1)^2\geqslant 0$

Vậy $P_{min)=3$ khi $a=b=c=1$

Nhờ mod coi lại mấy vấn đề trên.

Bạn có thể nói rõ nhờ MOD nào xóa mà lại đi nhắc nhở lại không ? Hay tất cả các link mà bạn nói ở trên.

Forum đã có quy định rất rõ ràng về chuyện tiêu đề, ví dụ, bất đẳng thức như bạn kia có thể dùng kí hiệu $\sum$, hệ phương trình thì chỉ cần viết 1 phương trình, phương trình 2 có thể để trống.

Còn thành viên nào thấy tiêu đề sai mà vẫn vào giải bài thì nhắc nhở còn tùy vào các ĐHV, không phải ai cũng thích đi nhắc nhở người khác cả.

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng $\frac{ab}{a^{5}+b^{5}+ab}+\frac{bc}{b^{5}+c^{5}+bc}+\frac{ca}{c^{5}+a^{5}+ca}\leq 1$.

Sử dụng AM-GM ta có $a^5+b^5\geqslant ab(a^4+b^4)\Rightarrow \sum \frac{ab}{a^5+b^5+ab}\leqslant \sum \frac{1}{a^4+b^4+1}$

Chuyển $(a^4,b^4,c^4)\rightarrow (x,y,z)\Rightarrow xyz=1$

Ta cần chứng minh $\sum \frac{1}{x+y+1}\leqslant 1$

Chuyển $(x,y,z)=(u^3,v^3,w^3)$, khi đó $uvw=1$, cần chứng minh

 $\sum \frac{1}{x+y+1}=\sum \frac{1}{u^3+v^3+uvw}\leqslant 1$

Dễ thấy $u^3+v^3+uvw\geqslant uv(u+v)+uvw=uv(u+v+w)$            

$\Rightarrow \sum \frac{1}{u^3+v^3+1}\leqslant \sum \frac{1}{uv(u+v+w)}=\frac{w}{u+v+w}=1$

Cho $a,b,c>0$ . Chứng minh rằng : 

$\sum (\frac{a}{a+b})^{2}+3\geq \frac{5}{2}(\sum \frac{a}{a+b})$

 

P/s : Đây là bài bất trên THTT số ..... . Thấy hay và nhiều ứng dụng nên post lên .

BĐT tương đương

 $\sum (\frac{a}{a+b})^2+\frac{5}{2}\sum \frac{b}{a+b}\geqslant \frac{9}{2}$

$\Leftrightarrow 2\sum (\frac{a}{a+b})^2+5\sum \frac{b}{a+b}\geqslant 9$

$\Leftrightarrow \sum \frac{2a^2+5ab+5b^2}{(a+b)^2}\geqslant 9$

$\Leftrightarrow \sum \frac{2(a+b)^2+ab+3b^2}{(a+b)^2}\geqslant 9$

$\Leftrightarrow \sum \frac{ab+3b^2}{(a+b)^2}\geqslant 3$

Đặt $\frac{a}{b},..=x,..\Rightarrow xyz=1$

Ta cần chứng minh $\sum \frac{x+3}{(x+1)^2}\geqslant 3\Leftrightarrow \sum \frac{1}{x+1}+\sum \frac{2}{(x+1)^2}\geqslant 3$

Giả sử $xy \geqslant 1,z \leqslant 1$

$\Rightarrow \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}\geqslant \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$

Lại có $\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(y+1)^2}\geqslant \frac{1}{xy+1}$

$\Rightarrow P\geqslant \frac{2}{1+\sqrt{xy}}+\frac{2}{1+xy}+\frac{z+3}{(z+1)^2}=\frac{2\sqrt{z}}{\sqrt{z}+1}+\frac{2z^2+3z+3}{(z+1)^2}$

Và $\frac{2\sqrt{z}}{\sqrt{z}+1}-1+\frac{2z^2+3z+3}{(z+1)^2}-2=\frac{\sqrt{z}-1}{\sqrt{z}+1}+\frac{1-z}{(z+1)^2}\geqslant 0\Leftrightarrow z\leqslant 1$

Vậy ta có đpcm

Cho x,y>0 thỏa mãn $x^4+y^4+\frac{1}{xy} = xy+2$. Tìm Max:

$P=\frac{2}{1+x^2}+\frac{2}{1+y^2}-\frac{3}{1+2xy}$

Áp dụng bất đẳng thức phụ $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\leqslant \frac{2}{1+\sqrt{ab}}$ với $ab\leqslant 1$

$\Rightarrow P\leqslant \frac{4}{1+xy}-\frac{3}{1+2xy}=\frac{4}{1+t}-\frac{3}{1+2t}=f(t),t=xy$

Sử dụng giả thiết 

$t+2=x^4+y^4+\frac{1}{t}\geqslant 2t^2+\frac{1}{t}\Rightarrow t \in [\frac{1}{2};1]$

Sau đó khảo sát hàm số.

$\large \int_{0}^{\propto }x^3e^{-x^2}dx$

Ta có $\lim_{t\rightarrow +\infty }\int_{0}^{t}x^3e^{-x^2}dx$

Để cho đỡ rắc rối mình chỉ tính nguyên hàm $I=\int x^3e^{-x^2}dx=\frac{-1}{2}\int x^2e^{-x^2}d(-x^2)$

Đặt $-x^2=u$ $\Rightarrow I=\frac{-1}{2}\int -ue^udu=\frac{1}{2}\int ue^udu=\frac{1}{2}(ue^u-e^u)=\frac{1}{2}(-x^2e^{-x^2}-e^{-x^2})$

Bài toán này đã có 1 lần được đăng lên trang chủ nhưng mình không tìm thấy link. Nhận thấy trong 1 lớp tầm 50 học sinh, kiểu gì cũng tìm được 2 người cùng ngày sinh, nên xác suất không phải nhỏ lắm !!!

Bài toán: 1 lớp học có 53 học sinh. Tính xác suất để có ít nhất 2 bạn có cùng ngày, tháng ( mọi người đều bằng tuổi )

Bài toán 2: Biết trong 1 lớp, xác suất để có 2 bạn cùng ngày, tháng sinh là $x$ cho trước. Tính số học sinh xấp xỉ của lớp đó.

Bài 7 (B-2008) Cho x, y thay đổi thỏa mãn $x^{2}+y^{2}=1$ . Tìm min $P=\frac{2\left ( x^{2}+6xy \right )}{1+2xy+2y^{2}}$

Ta có $\frac{P}{2}=Q=\frac{x^2+6xy}{x^2+2xy+3y^2}$

Nếu $y=0$ thì $P=2$

Nếu $y\neq 0\Rightarrow \frac{P}{2}=Q=\frac{t^2+6t}{t^2+2t+3}$

$\Rightarrow (Q-1)t^2+(2Q-6)t+3Q=0$

Nếu $Q=1$ thì $P=2$

Xét $Q \neq 1$, ta phải có $\Delta =(2Q-6)^2-4.3Q(Q-1)\geqslant 0\Leftrightarrow -3\leqslant Q\leqslant \frac{3}{2}\Rightarrow -6\leqslant P\leqslant 3$

Vậy $max_{P}=3, min_{P}=-6$ tại .....

Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau $\left\{\begin{matrix} x=2 \\ y=2t \\ z=1-2t \end{matrix}\right.$ và $\left\{\begin{matrix} x=-2-2t \\ y=-4 \\ z=3-t \end{matrix}\right.$

Gọi $M$ là giao điểm của 2 đường thẳng, khi đó $M(2;-4;5)$

Gọi $\overrightarrow{n}$ là vtpt của mặt phẳng đã cho

$\Rightarrow \overrightarrow{n}=[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}]$

Sau đó viết được phương trình mặt phẳng.

Nếu cấu vô cơ trên rơi vào bế tắc thì chuyển hữu cơ nha mọi người :

Câu 38: Một bình chứa 0,5 mol axetilen,0,4 mol vinylaxetilen,0,65 mol hidro và một ít bột Ni.Nung bình một thời gian, thu được khí X có tỉ khối so với hidro là 19,5. Khí X tác dụng vừa đủ với 0,7 mol  $AgNO_3$ trong dung dịch $NH_3$, thu được m(g) kết tủa và 10,08 (l) hỗn hợp khí Y (dktc). Khí Y phản ứng tối đa với 0,55 mol $Br_2$ trong dung dịch. Giá trị m ?

A,76,1

B,92

C,75,9

D,91,8

Chất tác dụng với $AgNO_3$ là $C_2H_2:a, C_4H_4=b, C_4H_6=c$

Bảo toàn liên kết pi ta có $2a+3b+2c=0,5.2+0,4.3-0,65-0,55=1$

Tác dụng với $0,7 AgNO_3$, ta có $2a+b+c=0,7$

Số mol X là $0,9$, khi đó $a+b+c=0,9-a,45=0,45$

Giải hệ....................

Bài 39:

  Cho hh gồm 1,12 g Fe và 1,92 g Cu vào dd 400ml chứa hh gồm H₂SO₄ 0,5M và NaNO₃ 0,2M .Sau khi phản ứng xảy ra hoàn toàn ,thu được dd X chứa m g muối và khí NO (sản phẩm khử duy nhất). Cho V ml dd NaOH 1M vào dd X thì lượng kết tủa là lớn nhất.Giá trị tối thiểu của V là

A.240                            B.120                                   C.360                                        D.400

Viết phương trình ion 

        $Fe+4H^{+}+NO_3^{-}\rightarrow Fe^{3+}+NO+2H_2O$

       $3Cu+8H^{+}+2NO_3^{-}\rightarrow 3Cu^{2+}+2NO+4H_2O$

Khi đó $H^{+}$ dư $0,4-0,08-0,08=0,24$

Kết tủa là $Fe(OH)_3, Cu(OH)_2$

Khi đó số mol $OH^{-}$ là $0,02.3+0,03.2+0,24=0,36$

Cho các số thực dương a, b, c. CMR:

$\frac{a^{11}}{bc}+\frac{b^{11}}{ca}+\frac{c^{11}}{ab}+\frac{3}{a^{2}b^{2}c^{2}}\geq \frac{a^{6}+b^{6}+c^{6}+9}{2}$

Áp dụng AM-GM

$\frac{a^{11}}{bc}+abc\geqslant 2a^6$

Tương tự $\Rightarrow \sum \frac{a^{11}}{bc}\geqslant 2(a^6+b^6+c^6)-3abc$

$\Rightarrow \sum \frac{a^{11}}{bc}+\frac{3}{a^2b^2c^2}\geqslant 2(a^6+b^6+c^6)-3abc+\frac{3}{a^2b^2c^2}$

Do đó ta cần chứng minh $2(a^6+b^6+c^6)-3abc+\frac{3}{(abc)^2}\geqslant \frac{a^6+b^6+c^6+9}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{3}{2}(a^6+b^6+c^6)-3abc+\frac{3}{(abc)^2}\geqslant \frac{9}{2}$ (*)

Lại có $a^6+b^6+c^6+3\geqslant 6abc\Rightarrow \frac{3}{2}(a^6+b^6+c^6)\geqslant 9abc-\frac{9}{2}$

$\Rightarrow VT(*)\geqslant 6abc+\frac{3}{(abc)^2}-\frac{9}{2}\geqslant 9-\frac{9}{2}=\frac{9}{2}=VP(*)$

Vậy ta có đpcm

Cho a,b,c là các số thực không đồng thời bằng 0 và thỏa mãn:

$(a+b+c)^2=2(a^2+b^2+c^2)$.Tìm min và max của biểu thức:

$P=\frac{a^3+b^3+c^3}{(a+b+c)(ab+bc+ac)}$

Từ giả thiết ta có $4(ab+bc+ca)=(a+b+c)^2$

Khi đó $P=\frac{4(a^3+b^3+c^3)}{(a+b+c)^3}\Rightarrow \frac{P}{4}=\frac{a^3+b^3+c^3}{(a+b+c)^3}$

Đặt $\frac{a}{a+b+c},..=x,...\Rightarrow x+y+z=1, xy+yz+zx=\frac{1}{4}$  (*)

Khi đó cần tìm Min, Max của $\frac{P}{4}=Q=x^3+y^3+z^3=x^3+(y+z)^3-3yz(y+z)$

Ta có $xy+yz+zx=x(y+z)+yz=x(1-x)+yz=\frac{1}{4}\Rightarrow yz=\frac{1}{4}-x(1-x)$

Khi đó $Q=x^3+(1-x)^3-3[\frac{1}{4}-x(1-x)](1-x)=f(x)$

Đến đây khảo sát hàm số, kết hợp (*) để tìm điều kiện của $x$

Cho a,b,c>0 thỏa mãn $ab+bc+ca=3$ Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{b^2+2}+\frac{1}{c^2+2}\leq 1$

Mình thấy cách này đơn giản hơn nhiều !!!

BĐt tương đương với 

  $\frac{a^2}{a^2+2}+\frac{b^2}{b^2+2}+\frac{c^2}{c^2+2}\geqslant 1$

BĐT trên luôn đúng theo C-S

 $\frac{a^2}{a^2+2}+\frac{b^2}{b^2+2}+\frac{c^2}{c^2+2}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+6}=\frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)}=1$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

Cho x,y thỏa mãn $x+y-1= \sqrt{2x-4} +\sqrt{y+1}$. Tìm Min, Max của biểu thức:

$P=(x+y)^{2} - \sqrt{9-x-y} +\frac{1}{\sqrt{x+y}}$

Đặt $t=x+y$, khi đó $P=f(t)=t^2-\sqrt{9-t}+\frac{1}{\sqrt{t}}$

Từ giả thiết ta có 

$t-1=\sqrt{2}.\sqrt{x-2}+1.\sqrt{y+1}\leqslant \sqrt{3(x-2+y+1)}=\sqrt{3(t-1)}$

$\Rightarrow t\leqslant 4$

Lại có $t-1=\sqrt{2x-4}+\sqrt{y+1}\geqslant 0\Rightarrow t\geqslant 1\Rightarrow t \in [1;4]$

Sau đó khảo sát hàm số.

Cho các số $a_{1},...a_{i}>0$ và n là số tự nhiên
CMR:${n}\sqrt{\prod_{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k}})\geq{n}\sqrt{\prod_{k=1}^{n}a_{k}}+{n}\sqrt{\prod_{k=1}^{n}b_{k}}$

Cái này là bất đẳng thức Holder luôn.

 $(x_1+y_1)(x_2+y_2)....(x_n+y_n)\geqslant (\sqrt[n]{x_1x_2...x_n}+\sqrt[n]{y_1y_2....y_n})^n$

 

Câu $37$:

Cho một luồng khí $CO$ đi qua $m$ gam hỗn hợp $Fe_2O_3, CuO, Al_2O_3$. Trong đó số mol của $Fe_2O_3$ bằng $3$ lần số mol $CuO$, số mol $CuO$ bằng $2$ lần số mol $Al_2O_3$. Sau phản ứng thu được $30$ gam chất rắn và chất khí. Cho hỗn hợp khí thoát ra tác dụng hết với $150$ ml dd $Ba(OH)_2$ $1M$, sau phản ứng thu được $19,7$ gam kết tủa. Giá trị $m$ là ?

Gọi số mol $Al_2O_3=x, CuO=2x,Fe_2O_3=6x$

Số mol $O$ là $23x$

Tính được số mol $CO_2$ trong hồn hợp khí là $0,2$ mol

Do $CO$ dư nên bao nhiêu $O$ trong $m$ kia chạy hết vào $CO_2$

Hoi thêm là 30g kia là hồn hợp cả chất rắn và chất khí đúng không ? Bài này khả năng là cả oxit lẫn $CO$ đều phản ứng một phần thôi.

Tìm max M= abc biết a, b,c > 0 và$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=2$

Từ giả thiết ta có 

   $\frac{1}{1+a}=1-\frac{1}{1+b}+1-\frac{1}{1+c}=\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\geqslant \frac{2\sqrt{bc}}{\sqrt{(1+b)(1+c)}}$

Tương tự 2 bất đẳng thức còn lại rồi nhân vào ta được

   $1\geqslant 8abc\Rightarrow abc\leqslant \frac{1}{8}$

Đẳng thức xảy ra khi $2a=2b=2c=1$

  Cho $x,y,z$ dương thỏa mãn $xyz=1$. Tìm GTNN của

 

             $\sum_{cyc}\frac{x^{2}(y+z)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}$

 

P/s: Số $2$ rất khó chịu. Mong mọi người giúp đỡ.

Sử dụng AM-GM

$\frac{x^2(y+z)}{y\sqrt{y}}+2z\sqrt{z}\geqslant \frac{2x^2\sqrt{yz}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}=\frac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}$

Do $xyz=1$

Đặt $(x\sqrt{x},.,)=(a,b,c)\Rightarrow P\geqslant \sum \frac{2a}{b+2c}=\sum \frac{4a^2}{2ab+4ac}\geqslant \frac{4(a+b+c)^2}{6(ab+bc+ca)}\geqslant 2$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$