Chủ đề này có 1 trả lời

[Capture]

Cho các số thực dương a, b, c. CMR:

$\frac{a^{11}}{bc}+\frac{b^{11}}{ca}+\frac{c^{11}}{ab}+\frac{3}{a^{2}b^{2}c^{2}}\geq \frac{a^{6}+b^{6}+c^{6}+9}{2}$

 

[25 minutes]

Cho các số thực dương a, b, c. CMR:

$\frac{a^{11}}{bc}+\frac{b^{11}}{ca}+\frac{c^{11}}{ab}+\frac{3}{a^{2}b^{2}c^{2}}\geq \frac{a^{6}+b^{6}+c^{6}+9}{2}$

Áp dụng AM-GM

$\frac{a^{11}}{bc}+abc\geqslant 2a^6$

Tương tự $\Rightarrow \sum \frac{a^{11}}{bc}\geqslant 2(a^6+b^6+c^6)-3abc$

$\Rightarrow \sum \frac{a^{11}}{bc}+\frac{3}{a^2b^2c^2}\geqslant 2(a^6+b^6+c^6)-3abc+\frac{3}{a^2b^2c^2}$

Do đó ta cần chứng minh $2(a^6+b^6+c^6)-3abc+\frac{3}{(abc)^2}\geqslant \frac{a^6+b^6+c^6+9}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{3}{2}(a^6+b^6+c^6)-3abc+\frac{3}{(abc)^2}\geqslant \frac{9}{2}$ (*)

Lại có $a^6+b^6+c^6+3\geqslant 6abc\Rightarrow \frac{3}{2}(a^6+b^6+c^6)\geqslant 9abc-\frac{9}{2}$

$\Rightarrow VT(*)\geqslant 6abc+\frac{3}{(abc)^2}-\frac{9}{2}\geqslant 9-\frac{9}{2}=\frac{9}{2}=VP(*)$

Vậy ta có đpcm