Tính giới hạn: $\lim_{n \rightarrow +\infty }\left ( n^{1/n} \right )^{S_n}$ với $S_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}$

Bài 1: Bằng qui nạp dễ dàng chứng minh $0< x_n <1 \forall n\ge 0       (*)$

Ta cần chứng minh dãy $x_n$ đơn điệu tăng hoặc giảm.

Xét hàm số $f(x)=\frac{1}{4+2011x} \forall x\in (0;+\infty)$

$f'(x)=\frac{-2011}{(4+2011x)^2}<0 \Rightarrow f(x)$ nghịch biến trên $(0;+\infty)$

Mà $x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)>f(x_2)  \Rightarrow x_2 > x_3 .... \Rightarrow x_{n+1}<x_n$ hay dãy $x_n$ đơn điệu giảm.

Kết hợp với $(*)$ thì ta suy ra $x_n $ hội tụ. 

Gọi $L  (0<L<1)$ là giới hạn của dãy $x_n$, ta có: 

$L=\frac{1}{4+2011L}$ hay $L=\frac{-2+\sqrt{2015}}{2011}$

Hàm nghịch biến thì suy ra hai dãy con với chỉ số chẵn và lẻ với tính đơn điệu trái ngược nhau   

Cho $x \geq 1.$ Chứng minh rằng $2x(x+1)ln( \dfrac{1}{x}+1)< 2x+1.$

Cho số nguyên dương $n \geq 2,$ tìm hằng số $k$ lớn nhất có tính chất: Nếu các số thực $a_0,a_1,...,a_n$ thỏa mãn $0=a_0 \geq a_1 \geq a_2 \geq ... \geq a_n$ và $2a_i \geq a_{i-1}+a_{i+1}, \forall i=1,2,...,n-1$ thì

$$\left ( a_1+2a_2+...+na_n \right )^2 \geq k \left ( a_1^2+a_2^2+...+a_n^2 \right ).$$

Ngày 1 (03/10/2014) :

 

Câu 2 : Cho dãy số $(x_n)$ được xác định như sau : 

$x_1=1,x_2=2013,x_{n+2}=4026x_{n+1}-x_n\,\,\,\, , n=1,2,...$

Chứng minh rằng $\frac{x_{2014}+1}{2014}$ là số chính phương.

 

Ai giải giúp câu dãy số ngày 1 với!

giải thích giúp mình bài này với

Cơ bản là dùng lượng liên hợp

$\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n\sqrt{(n+1)}}=\frac{(n+1)\sqrt{n}-n\sqrt{(n+1)} }{\left [ (n+1)\sqrt{n}+n\sqrt{(n+1)} \right ]\left [ (n+1)\sqrt{n}-n\sqrt{(n+1)} \right ]} \\ =\frac{(n+1)\sqrt{n}-n\sqrt{(n+1)}}{n\left ( n+1 \right )}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}$

Cho dãy đa thức $P_n(x)$ với:

$\left\{\begin{matrix} P_0(x)=0\\ P_{n+1}(x)=P_n(x)+\frac{x-P_n^2(x)}{2},\forall n \in \mathbb{N} \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng nếu $\forall x \in \left [ 0;1 \right ],n \in \mathbb{N}$ thì $0\leq \sqrt{x}-P_n(x)\leq \frac{2}{n+1}.$

 

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH 

ĐĂKLĂK

KÌ THI LẬP ĐỘI TUYỂN DỰ THI QUỐC GIA 

NĂM HỌC 2014-2015

ngày: 22/10/2014

Ngày 1

 

 

Câu 4:(5đ)

      Cho a, b, c là các số thực dương . CM rằng 

 

$\frac{(a+b-c)^{2}}{(a+b)^{2}+c^{2}}+\frac{(a+c-b)^{2}}{(a+c)^{2}+b^{2}}+\frac{(c+b-a)^{2}}{(c+b)^{2}+a^{2}}\geq \frac{3}{5}$

 

 

 

Nếu không chuẩn hóa, ta biến đổi đôi chút BĐT như sau đây:

$\sum \frac{(b+c-a)^2}{(b+c)^2+a^2}\geq \frac{3}{5}\Leftrightarrow \sum \frac{(b+c)^2+a^2-2a(b+c)}{(b+c)^2+a^2}\geq \frac{3}{5}\\ \Leftrightarrow 3-2\sum \frac{a(b+c)}{(b+c)^2+a^2}\geq \frac{3}{5}\Leftrightarrow \sum \frac{a(b+c)}{(b+c)^2+a^2}\leq \frac{6}{5},(1)$

BĐT đã cho trở thành một BĐT quen thuộc, ta giải $(1)$ như sau:

$\sum \frac{a(b+c)}{(b+c)^2+a^2}\leq \sum \frac{a(b+c)}{a^2+\frac{(b+c)^2}{4}+\frac{3(b+c)^2}{4}}\leq \sum \frac{4a(b+c)}{4a(b+c)+3(b+c)^2}$

Do $\sum \frac{4a(b+c)}{4a(b+c)+3(b+c)^2}=3-3\sum \frac{(b+c)^2}{4a(b+c)+3(b+c)^2}$

nên $\sum \frac{a(b+c)}{(b+c)^2+a^2}\\  \leq 3-3\sum \frac{(b+c)^2}{4a(b+c)+3(b+c)^2}=3-3 \sum \frac{(b+c)^2}{3(b^2+c^2)+(4ab+6bc+4ac)}$

Mặt khác $\sum \frac{(b+c)^2}{3(b^2+c^2)+(4ab+6bc+4ac)}\geq \sum \frac{4(a+b+c)^2}{6(a^2+b^2+c^2)+14(ab+bc+ca)}\\ =\sum \frac{2(a+b+c)^2}{3(a+b+c)^2+(ab+bc+ca)}\geq \sum \frac{2(a+b+c)^2}{3(a+b+c)^2+\frac{(a+b+c)^2}{3}}=\frac{3}{5}$

Do đó: $\sum \frac{a(b+c)}{(b+c)^2+a^2}\leq3-3.\frac{3}{5}=\frac{6}{5}$

Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c$

Các thầy cho em xin hỏi làm thế nào để post hình ảnh vào trong khi soạn thảo Latex ạ, em xin cảm ơn!

Giải phương trình nghiệm nguyên $\left ( x^{2}+y^{2} +1\right )^{2}-5x^{2}-4y^{2}-5=0$

$\left ( x^{2}+y^{2} +1\right )^{2}-5x^{2}-4y^{2}-5=0\Leftrightarrow \left ( x^{2}+y^{2} +1\right )^{2}-4\left ( x^{2}+y^{2} +1 \right )+4-x^2=5\Leftrightarrow \left ( x^2+y^2-1 \right )^2-x^2=5\Leftrightarrow \left ( y^2-1 \right )\left ( 2x^2+y^2-1 \right )=5\Leftrightarrow ...$

Tính $B=\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\frac{1}{60}+\frac{1}{120}+\frac{1}{210}+...+\frac{1}{6840}$

 

Chú ý: Cách gõ công thức Toán.

Ta có: $\frac{1}{n\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )}=\frac{1}{2}\left [ \frac{1}{n\left ( n+1 \right )}-\frac{1}{\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )} \right ]$

Nên $B=\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+...+\frac{1}{18.19.20}=$

$\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3} \right +\frac{1}{2.3}-...+\frac{1}{18.19}-\frac{1}{19.20})=\frac{189}{760}$

Em có những tài liệu PDF do các thành viên của nhóm mình chia sẻ lên, hôm nay em mới để ý font thấy các tài liệu đó dùng $Latex$ để viết công thức chứ không dùng $Mathtype$. Em muốn hỏi là có cách nào để ghi công thức toán vào tài liệu riêng của mình bằng $Latex$ không ạ? Hình như em nhớ là lúc trước diễn đàn mình có khóa học $Latex$ phải không?

Thắc mắc của em chỉ có bấy nhiêu, mong các thầy, các ĐHV giúp đỡ ạ. Em xin cảm ơn!

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                        KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 CẤP TỈNH

          QUẢNG NGÃI                                                                  NĂM HỌC 2014-2015

       ĐỀ CHÍNH THỨC                                                                  MÔN THI: TOÁN

   Đề thi này gồm 01 trang                                                         Thời gian làm bài: 180 phút

                                                                                                         Ngày thi: 08/04/2015                      

Bài 1: (4 điểm) Giải các phương trình sau:

          a) $x^2\left ( x+6 \right )=\left ( 5x-1 \right )\sqrt{x^3+3}+2x-3$

          b) $\left ( tanx+1 \right )sin^2x+cos2x+2=3\left ( cosx+sinx \right )sinx$

Bài 2: (4 điểm) Cho dãy số $\left ( u_n \right )$ được xác định như sau: 

$$\left\{\begin{matrix} u_1=u_2=1\\ u_{n+1}=\sqrt{u_n}+\sqrt{u_{n-1}},\left ( n\geq 2,n\in \mathbb{N} \right ) \end{matrix}\right.$$

Chứng minh $\left ( u_n \right )$ có giới hạn hữu hạn. Tính giới hạn đó.

Bài 3: (4 điểm)

          Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành và $C_1$ là trung điểm $SC$. Mặt phẳng $(P)$ tùy ý chứa $AC_1$ cắt các cạnh $SB,SD$ lần lượt tại $B_1,D_1$.

          a) Chứng minh rằng: $\frac{SB}{SB_1}+\frac{SD}{SD_1}=3$

          b) Xác định vị trí của $(P)$ để tam giác $SB_1D_1$ có diện tích bé nhất.

Bài 4: (3 điểm)

          Có bao nhiêu số tự nhiên có $4$ chữ số sao cho trong mỗi số đó, có một chữ số xuất hiện hai lần, các chữ số còn lại xuất hiện không quá một lần.

Bài 5: (3 điểm)

          Cho một tam giác có độ dài ba cạnh là một số nguyên tạo thành cấp số cộng công sai $d>0$. Tính độ dài các cạnh của tam giác đó biết rằng bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó bằng $3$.

Bài 6: (2 điểm)

          Cho hai số thực dương $a,b$ thỏa $2014<\frac{a}{b}<2015$. Xét $2015$ số thực dương $x_1,x_2,...,x_{2015}$ thay đổi thỏa điều kiện $0 < x_i \leq b,\forall i=1,2,...,2015$ và $\sum_{i=1}^{2015}x_i=a$. Tìm $GTLN,GTNN$ của $P=\prod_{i=1}^{2015}x_i$ theo $a$ và $b$.

                                 Hết                                 

Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

P/s: Bản Word với PDF up lên sau. Mình làm không được câu cuối, câu $2$ sai rất đáng tiếc (đứt từng đoạn ruột). Đề dễ mà sai câu đó chắc xác định!

Cho tứ diện đều $SABC$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $SO$ của tứ diện; mặt phẳng $P$ cắt các mặt phẳng $(SBC),(SCA),(SAB)$ lần lượt theo các giao tuyến $SM,SN,SP$. Các giao tuyến này lần lượt tạo với mặt phẳng $(ABC)$ các góc $\alpha, \beta, \gamma$.Chứng minh:

$$tan^2\alpha +tan^2\beta +tan^2\gamma =12$$

Cho tứ diện $SABC$ có $SA=SB=SC=1.$ Mặt phẳng $(P)$ thay đổi luôn đi qua trọng tâm $G$ của tứ diện $SABC$ lần lượt cắt các cạnh $SA,SB,SC$ tại $M,N,P.$ Chứng minh rằng $\frac{1}{SM}+\frac{1}{SN}+\frac{1}{SP}=4.$

 

KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG QUỐC GIA

Khóa ngày 18 tháng 9 năm 2012

MÔN TOÁN (Vòng II)

Thời gian làm bài: 180 phút

 

Câu 1. (4,0 điểm)

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 2y=\left ( x-y \right )\left ( y+3x \right )                    (1) & \\ 3\frac{y^{2}}{x^{2}}+2\frac{y^{2}}{x}+x-3y=0     (2) & \end{matrix}\right.$

 

Câu 2. (4,0 điểm)

Cho tam giác ABC có $\widehat{BAC}=120^{o}$. Chứng minh rằng khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp đến trực tâm của tam giác ABC bằng $AB+AC$.

 

Câu 3. (4,0 điểm)

Cho các số dương $x_{1},x_{2},...,x_{n}$, nằm trên một đoạn $\Delta$ có độ dài bằng $2$, với $n\geq 2$. Chứng minh rằng:

$x_{1}+x_{2}+...+x_{n}\leq \sqrt{x_{1}x_{2}+1}+\sqrt{x_{2}x_{3}+1}+...+\sqrt{x_{n}x_{1}+1}\leq x_{1}+x_{2}+...+x_{n}+n$.

 

Câu 4. (4,0 điểm)

Cho các dãy số $\left ( a_{n} \right )$ và $\left ( b_{n} \right )$ thõa mãn các điều kiện: $a_{1}=1,b_{1}=2$ thì

$a_{n+1}=\frac{1+a_{n}+a_{n}b_{n}}{b_{n}},b_{n+1}=\frac{1+b_{n}+a_{n}b_{n}}{a_{n}}$

Tính $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n}}{\sqrt{n}}$.

 

Câu 5. (4,0 điểm)

Có bao nhiêu số tự nhiên có $2013$ chữ số mà số các chữ số $0$ xuất hiện là chẵn?

 

P\s: Mình không chắc đề Câu 4 lắm

 

Câu 4 có vấn đề

Từ giả thiết ta có: $$\left\{\begin{matrix} a_{n+1}b_n=1+a_n+a_nb_n\\ a_nb_{n+1}=1+b_n+a_nb_n \end{matrix}\right.$$

Trừ theo vế $\Rightarrow b_n\left ( a_{n+1}+1 \right )=a_n\left ( b_{n+1}+1 \right )$

Tương đương với $\frac{a_{n+1}+1}{a_n}=\frac{b_{n+1}+1}{b_n}\Leftrightarrow a_n=b_n$

Nhưng $a_1\neq b_1$...

Cho hàm số $f\left ( x \right )=a_1sinx+a_2sin2x+...+a_nsinnx$. Chứng minh rằng nếu $\left | f\left ( x \right ) \right |\leq \left | sinx \right |; \forall x\in \left [ -1;1 \right ]$ thì $\left | a_1+2a_2+...+na_n \right |\leq 1$

Cho hình chóp $S.ABCD$, lấy $A'$ trên $SA$ sao cho $SA=3SA'$, $B',C'$ lần lượt là trung điểm của $SB,SC$. $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Gọi $G'$ là giao của $SG$ với $(A'B'C')$. Biết $SG=kSG'$. Hỏi $k$?

cho hinh chop sabcd co day a.sa=sb=sc=sd =a.tren canh sc lay f sao cho sf=(1/3) ^k sc..CHO MẶT PHẲNG (P) qua A,F VÀ SONG SONG VỚI BD CẮT SB,SD LẦN LƯỢT TẠI E,L.CHƯNG MINH THIẾT DIỆN AEFL CỦA (P) VỚI HÌNH CHÓP CÓ CÁC ĐƯỜNG CHÉO VUÔNG GÓC.TÍNH DIỆN TÍCH THIẾT DIỆN THEO a,k

Chỗ màu đỏ chưa rõ, bạn xem lại nhá.

-Bạn ơi, chỗ cuối sao lại là 9 được? Theo công thức của bạn thì phải là 99 chứ!

Bạn cho mình hỏi là dòng thứ 2 và thứ 4 có liên quan gì với nhau vây?

Ừa gõ thiếu, sửa lại rồi     

Mình đoán số cuối cùng là 99. Có thể bạn ấy gõ nhầm thôi mà. Nhưng dòng thứ hai chứng minh bằng quy nạp ạ? 

Dùng quy nạp có thể chứng minh được đấy bạn à. 

Xét tập $X=\left \{ k\in \mathbb{N};0\leq k\leq 9 \right \}$ và $a\in X\setminus \left \{ 0 \right \};$ $b,c,d\in X$.Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số $\overline{abcd}$,  thỏa: $\overline{ab}>\overline{cd}$

P/s: Mình làm ra kết quả là $4905$ số, không biết kết quả chính xác là như thế nào.        

Mình có bài này chắc là sử dụng fermat nhỏ nhưng làm mà ko ra à. Mọi người chỉ mình nhé:

Tìm dư trong phép chia a cho b biết rằng:

a=1³+2³+3³+...+99³

^{b=1+2+3+...+99}

^{Cách làm của mình này:}

$1^{3}\equiv 1(mod 3); 2^{3}\equiv 2(mod 3); 3^{3}\equiv 3(mod 3); ....... 99^{3}\equiv99(mod 3); \Rightarrow 1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+99^3\equiv1+2+3+..+99(mod 3)$

Đến đây thì mình xin chịu. Mà cách làm của mình chẳng biết có đúng ko nữa. ai biết làm chỉ mình nhé. Mình sắp thi rồi.

Dùng cái này:

$1^3+2^3+3^3+...+n^3=\left ( 1+2+3+...+n \right )^2=\frac{n^2\left ( n+1 \right )^2}{4}$

Khi đó:

$1^3+2^3+3^3+...+99^3=\left ( 1+2+3+...+99 \right )^2\\ \Leftrightarrow a=b^2$

 

• Tính : S = $\sqrt{6+2\sqrt{5}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}$
• http://www.facebook....tinh.trithuctre

 

phương pháp là như thế này

- Cái căn bậc hai thì dễ rồi

- Cái căn bậc ba thì ta làm như sau:

  cần tìm $a,b$ sao cho $\left ( a+b\sqrt{5} \right )^3=9-4\sqrt{5}\Leftrightarrow a^3+3a^2b\sqrt{5}+3ab^2.5+b^3.5\sqrt{5}=9-4\sqrt{5}\\ \Leftrightarrow \left ( a^3+15ab^2 \right )+\left ( 3a^2b+5b^3 \right )\sqrt{5}=9-4\sqrt{5}\\ \Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^3+15ab^2=9\\ 3a^2b+5b^3=-4 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=1,5\\ b=-0,5 \end{matrix}\right.$

Như vậy $9-4\sqrt{5}=\left ( 1,5-0,5.\sqrt{5} \right )^3$