Đặt $\left ( x,y,z \right )=\left ( \tan A, \tan B, \tan C \right )$ thì $\left\{\begin{matrix} x,y,z>0\\ x+y+z=xyz \end{matrix}\right.$
Áp dụng bất đẳng thức $Holder$
$x^{5}+y^{5}+z^{5}\geq \frac{1}{3^{4}}\left ( x+y+z \right )^{5}$
Theo bất đẳng thức $AM-GM$ ta thấy
$x+y+z=xyz\leq \left ( \frac{x+y+z}{3} \right )^{3}$
$\Rightarrow x+y+z\geq 3\sqrt{3}$
Do đó $x^{5}+y^{5}+z^{5}\geq \left ( \frac{3\sqrt{3}}{3} \right )^{4}\left ( x+y+z \right )=9\left ( x+y+z \right )$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $A=B=C=\pi /3$
Bạn có thể viết rõ chỗ sử dụng bất đẳng thức Holer được không. Nếu đk thì cm hộ mình vs