Cho $x,y,z$ là các số thực lớn hơn $1$ thỏa mãn điều kiện $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 2$.

Chứng minh rằng : $\sqrt{\sum x} \geq \sum \sqrt{x-1}$

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2\Leftrightarrow 3-\frac{1}{x}-\frac{1}{y}-\frac{1}{z}=1\Leftrightarrow \frac{x-1}{x}+\frac{y-1}{y}+\frac{z-1}{z}= 1$$

Vì $x,y,z >1 $ nên các phân số trên đều dương,

$$1=\frac{x-1}{x}+\frac{y-1}{y}+\frac{z-1}{z}\geq \frac{\sum (\sqrt{x-1})^2}{\sum x}$$

$$\Leftrightarrow \sum x\geq \sum (\sqrt{x-1})^2$$

$$\Leftrightarrow \sqrt{\sum x}\geq\sum \sqrt{x-1}$$

Dấu đẳng thức khi  $x=y=z=1,5$

__________________

Chào ban quản trị...dấu like mà BQT đặt ra để tỏ lời cảm ơn của người hỏi đối với người trả lời...vậy mà có 1 số người lại làm dụng điều đó quá mức ( tự lập nick này và like nick kia ) ( em đã để ý và thấy rằng bạn có nick là quoctuanqbdh làm thường xuyên ) 

Việc tự like cho mình thì không quản lí được đâu bạn. Số lượng like cũng chẳng đánh giá được điều gì . 

__________________

Có phải bạn là thành viên cũ của diễn đàn và tạo nick mới để nói về vấn đề này ? 

Giải hệ:

$$\left\{\begin{matrix} \sqrt{2x^3+y+1}-\sqrt{-x^3+2x^2\sqrt{y}}+x^2=2x\\ 5x^2+x(1-2x\sqrt{2x+y+1})-4x\sqrt{-4+2\sqrt{y}}+\sqrt{y}(\sqrt{y}+2)+1=0 \end{matrix}\right.$$

 

Đây là chuyên đề Phương trình lượng giác tôi soạn để dạy. Gồm có 2 file dành cho giáo viên và học sinh riêng biệt. Mọi người góp ý. Tài liệu được soạn trong 3 ngày nên chắc chắn còn nhiều sơ suất. Mong nhận được phản hồi của mọi người.

Thầy hungch chuyển tài liệu này sang $\LaTeX$ giúp chúng em được không ạ ?

À há . Thôi xong tên X rồi , anh tới với chú đây   

Cách khác;
Đặt $x=\frac{b}{a};y=\frac{c}{b};z=\frac{a}{c}$nên $xyz=1$ thì bđt cần chứng minh tương đương$\sum \frac{1}{\sqrt{x^2+7x+1}}\geq 1$
Đđặt $x=\frac{n^2p^2}{m^4};y=\frac{p^2m^2}{n^4};z=\frac{m^2n^2}{p^4}$ nên cần chứng minh $\sum \frac{m^4}

Có phương pháp đặt không hay đặt theo cảm hứng vậy Hùng?

Có phương pháp đặt không hay đặt theo cảm hứng vậy Hưng?

có phương pháp đó bạn

có phương pháp đó bạn

Bạn cho mình biết tên phương pháp được không?

 

Dinh Xuan Hung:Tên mình là HÙNG chứ không phải HƯNG

Trong mặt phẳng hệ tọa độ $Oxy$. Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A(1;2)$, $E$ là chân đường cao hạ từ $A$ , $F$ là điểm đối xứng của $E$ qua $A$, $H(1;-1)$ là trực tâm của $\Delta FBC$. Tìm tọa độ $B,C$ biết $S_{\Delta FBC}=78$ và $B$ có hoành độ âm

Em mới lên $11$ , định thi $A1$ . Vậy em chỉ cần thi $4$ môn : Toán, Lí, Văn , Anh thôi phải không ạ? Nếu đậu tốt nghiệp, các trường sẽ xét điểm như thế nào ạ? Có ai biết quy chế xét của Đại học Bách Khoa năm nay không ạ? Có anh/ chị nào đã thi $A1$ rồi cho em kinh nghiệm ôn thi từ lớp $11$ được không ạ ? 

Với $n$ nguyên dương, chứng minh hệ thức sau:

$$\boxed{(C_{n}^{0})^2+(C_{n}^{1})^2+....+(C_{n}^{n})^2=C_{2n}^{n}}$$

Cho a,b,c > 0, chứng minh : $\frac{ab}{3a+4b+5c}+\frac{bc}{3b+4c+5a}+\frac{ca}{3c+4a+5b}\leq \frac{a+b+c}{12}$

 

có ở đây http://diendantoanho...014-2015/page-5 (bài 47)

Bài 1: Tìm GTNN của $P=\frac{a^3}{1+b}+\frac{b^3}{1+a}$ với $a,b$ là các số dương thỏa mãn điều kiện $ab=1$

$$\frac{a^3}{1+b}+\frac{1+b}{4}+\frac{1}{2}\geq \frac{3a}{2}$$

$$\frac{b^3}{1+a}+\frac{1+a}{4}+\frac{1}{2}\geq \frac{3b}{2}$$

$$\Rightarrow \frac{a^3}{1+b}+\frac{b^3}{1+a}\geq \frac{5(a+b)}{4}-\frac{3}{2}\geq \frac{5.2\sqrt{ab}}{4}-\frac{3}{2}=1$$

Dấu $=$ khi $a=b=1$

Cho $d:x-y+1=0$ và $(C):x^2+y^2+2x-4y=0$. Tìm điểm M thuộc đường thằng d mà qua đó kẻ được hai đường thằng tiếp xúc với (C) tại A và B sao AMB bằng $60^o$

 

Gọi $I$ là tâm đường tròn $(C)$. Vậy $I(-1;2)$ và $R^2=5$ 

Gọi $AB\cap MI = {O}$. Ta có : $$\angle AMI =30^o \Rightarrow 2AI=MI$$ $$\Leftrightarrow 4AI^2=MI^2$$ $$\Leftrightarrow 4R^2=MI^2$$ $$\Leftrightarrow MI^2=20$$

Gọi $M(a;a+1)$, ta có: $$(a+1)^2+(a+1-2)^2=20$$ $$\Leftrightarrow a=3 \vee a=-3$$

Vậy $M(3;4)$ hoặc $M(-3;-2)$.

ĐHV Box THCS mở Topic này rồi gộp vào Topic mới này luôn nhé. Ẩn luôn mấy bài Spam đi nhìn rối quá. Chúc các bạn đậu vào trường mình muốn nha 

ĐỀ

 

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh hoặc phủ định bất đẳng thức sau:

 

$$\sum \frac{\sqrt{a}}{b+c}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{a+b+c}}$$

ĐỀ:

 

 

Bài 1. Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$$ab+bc+ca+max\begin{Bmatrix} \begin{vmatrix} a-b \end{vmatrix};\begin{vmatrix} b-c \end{vmatrix};\begin{vmatrix} c-a \end{vmatrix} \end{Bmatrix}\leq 1+\frac{1}{3}(a+b+c)^2$$

 

Bài 2. Cho các số nguyên dương $a,b,c$. Gọi $p$ là số nguyên tố có đồng thời các tính chất sau:

 

$i)$ $p$ là ước của $a^2+ab+b^2$

$ii)$ $p$ là ước của $a^5+b^5+c^5$

$iii)$ $p$ không là ước của $a+b+c$

 

Chứng minh rằng $p$ là số nguyên tố có dạng $6k+1$.

 

Bài 3. Cho tam giác $ABC$ nhọn khác tam giác cân nội tiếp đường tròn $\omega$. Gọi $D,E,F$ lần lượt là tâm đường tròn bàng tiếp tương ứng với đỉnh $A,B,C$ là $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $EFI$ cắt $\omega$ tại $A_{1},A_{2}$.

 

$a)$ Chứng minh các đường thẳng $A_{1}A_{2}, EF, BC$ đồng quy.

$b)$ Đường tròn ngoại tiếp tam giác $DIF$ cắt $\omega$ tại $B_{1},B_{2}$; đường tròn ngoại tiếp tam giác $DIF$ cắt $\omega$ tại $C_{1},C_{2}$. Các đường thẳng $A_{1}A_{2}, B_{1}B_{2}, C_{1}C_{2}$ đôi một cắt nhau tạo thành một tam giác, chứng minh rằng diện tích tam giác nhỏ hơn $\frac{1}{4}$ diện tích tam giác $ABC$.

 

Câu 4. Tìm tất cả các hàm: $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa:

$$f(xf(y)-1)+f(xy)=2xy-1$$

$\forall x,y$

$(VMO-1991)$

Hãy xác định hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ sao cho bất đẳng thức sau đúng với các số thực $x,y,z$ bất kì:

$$\frac{1}{2}f(xy)+\frac{1}{2}f(xz)-f(x).f(y)\geq \frac{1}{4}$$

 

Trường THPT Chuyên Lương Văn Chánh- Phú Yên

__________________________

Câu $8$: $(4$ điểm $)$:

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ với $BC=a$; $CA=b$ ; $AB=c$. Xác định điểm $I$ thỏa mãn hệ thức:

$$-2a^2\overrightarrow{IA}+b^2\overrightarrow{IB}+c^2\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$$

 

Dựng $\overrightarrow{IN}=2\overrightarrow{IA}$

Ta có:

$$-2a^2\overrightarrow{IA}+b^2\overrightarrow{IB}+c^2\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow -2a^2\overrightarrow{IA}+(b^2+c^2)\overrightarrow{IB}+c^2\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow a^2(\overrightarrow{IB}-2\overrightarrow{IA})=c^2\overrightarrow{CB}\Leftrightarrow a^2\overrightarrow{NB}=c^2\overrightarrow{CB}\Leftrightarrow \overrightarrow{BN}=\frac{c^2}{a^2}\overrightarrow{BC}$$

Xét $H$ là chân đường cao hạ từ $A$ đến $BC$, ta dễ dàng áp dụng hệ thức lượng chứng minh $N \equiv  H$.

Vậy $I$ đối xứng $H$ qua $A$

Câu 4/

Giả sử điều đã cho là đúng.

Lúc ấy, vì không có số nào trong $16$ số đã cho có hiệu chia hết cho 15.

Nên các số dư này khác nhau lần lượt là ${0;1;2;...;14}$.

Mặt khác, số các số dư là 15 số dư. Mà cả thảy là 16 số, nên có ít nhất 2 số khi chia cho 15 có cùng số dư. Mâu thuẫn vs việc các số dư khác nhau.

Ta có đpcm

 

Chứng minh $16$ số này phân biệt đã nhé !!

 

 

 

 

Câu 6/

đáp án: k.

cm: ĐK cần: $3^n+2009$ chia hết 8.

Hay $3^n+1$ chia hết 8.

Chứng tỏ $3^n$ chia 8 dư 7. Mâu thuẫn

 

Cái này chứng minh sao vậy 

 

Trường THPT Chuyên Lương Văn Chánh- Phú Yên

__________________________

 

Câu $6$: $(2$ điểm $)$:

Số $3^n+2009$, $n$ là số nguyên dương , có chia hết cho $184$ không? Hãy chứng minh điều mà bạn khẳng định.

 

 

Khẳng định : Không 

 

Chứng minh : Nhận xét rằng $184=8.23$

 

Xét $n=2k$ $( k \in N^*)$, ta có : $3^n+2009=9^k+2009 \equiv 1^k+1 (mod 8) \equiv 2 (mod 8)$

Vậy $3^n +2009$ không chia hết cho $184$ với $n$ chẵn.

 

Xét $n=2i+1$ $(i \in N^*)$ , ta có $3^n+2009=9^i.3+2009 \equiv -5 + 1 (mod 8) \equiv  -4 (mod 8$

Vậy $3^n +2009$ không chia hết cho $184$ với $n$ lẻ.

 

Hay Vậy $3^n +2009$ không chia hết cho $184$ với vọi $n$.

 

Trường THPT Chuyên Lương Văn Chánh- Phú Yên

__________________________

 

Câu $1$: $(2$ điểm $)$:

Giải phương trình $$x=\sqrt{3-x}\sqrt{4-x}+\sqrt{4-x}\sqrt{5-x}+\sqrt{3-x}\sqrt{5-x}$$

 

Câu $1$:

Đặt $\sqrt{3-x}=a;\sqrt{4-x}=b;\sqrt{5-x}=c$, từ đó phương trình viết lại:

$$x=ab+bc+ca$$ 

Ta có hệ: $$\left\{\begin{matrix} 3=(a+b)(a+c)\\ 4=(b+c)(b+a))\\ 5=(c+a)(c+b) \end{matrix}\right.$$

Từ đó ta dễ dàng có nghiệm $x$ duy nhất.

Trường THPT Chuyên Lương Văn Chánh- Phú Yên

__________________________

 

Đề thi học sinh giỏi Khối $10$

Năm học: $2014-2015$

Môn: Toán

Lớp : $10$

Thời gian: $180$ phút.

 

Câu $1$: $(2$ điểm $)$:

Giải phương trình $$x=\sqrt{3-x}\sqrt{4-x}+\sqrt{4-x}\sqrt{5-x}+\sqrt{3-x}\sqrt{5-x}$$

Câu $2$: $(2$ điểm $)$:

Cho các số thực $a,b,c$ với $a \neq 0$ sao cho : phương trình $ax^2+bx+c=0$ có hai nghiệm thuộc đoạn $[0;1]$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:$$P=\frac{(a-b)(2a-b)}{a(a-b+c)}$$

Câu $3$: $(2$ điểm $)$:

Dùng phương pháp quy nạp, chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ , ta có:
$$n^n \geq (n+1)^{n-1}$$

Câu $4$: $(2$ điểm $)$:

Dùng phản chứng , chứng minh rằng với $16$ số nguyên dương bất kỳ, ta có ít nhất hiệu của $2$ số trong đó chia hết cho $15$

Câu $5$: $(2$ điểm $)$:

Cho tập hợp $X=\begin{Bmatrix} x \in \mathbb{N}/ 0<x<10 \end{Bmatrix}$ và các tập hợp $A$ và $B$ sao cho $A\subset X ; B \subset  X$ và $A\cap B = \begin{Bmatrix} 4;6;9 \end{Bmatrix};A\cup \begin{Bmatrix} 3;4;5 \end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix} 1;3;4;5;6;8;9 \end{Bmatrix};B\cup \begin{Bmatrix} 4;8 \end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix} 2;3;4;5;6;7;8;9 \end{Bmatrix}$

Xác định các tập hợp $A$ và $B$.

Câu $6$: $(2$ điểm $)$:

Số $3^n+2009$, $n$ là số nguyên dương , có chia hết cho $184$ không? Hãy chứng minh điều mà bạn khẳng định.

Câu $7$: $(4$ điểm $)$:

Cho tam giác $ABC$ . Gọi $D$ và $E$ lần lượt là các điểm thỏa mãn:

$\overrightarrow{BD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}; \overrightarrow{AE}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$. Tìm vị trí của điểm $K$ trên $AD$ sao cho $3$ điểm $B;K;E$ thẳng hàng.

Câu $8$: $(4$ điểm $)$:

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ với $BC=a$; $CA=b$ ; $AB=c$. Xác định điểm $I$ thỏa mãn hệ thức:

$$-2a^2\overrightarrow{IA}+b^2\overrightarrow{IB}+c^2\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$$

 

Hết

 

______________________________

Cho $a,b,c$ là các số tự nhiên lớn hơn $1$ thỏa $a^{2015}+b^{2015} =2.c^{2015}$. Chứng minh rằng:

 

$a+b+c$ là hợp số

Chứng minh với mọi $x>0$ thì : $$ x+ \sqrt{x^2+\frac{1}{x}} \geq 2$$

 

Giải hệ:

$$\left\{\begin{matrix} x^4-x^3y+x^2y^2=1\\ x^3y-x^2+xy=-1 \end{matrix}\right.$$

Trong mặt phẳng cho tập S gồm 2014 điểm. CM tồn tại họ (M) gồm 2013 đường thẳng song song thỏa tính chất với mỗi đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của S đều cắt ít nhất một đưởng thẳng của họ (M)

Bài $1$: Cho $5sin^4x+cos^4x=\frac{5}{6}$. Tính $A=sin^4x+5cos^4x$

 

Bài $2$: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc $x$

$$A=3(sin^8x-cos^8x)+4(cos^6x-2sin^6x)+6sin^4x$$

 

Bài $3$: Cho $\frac{sin^4x}{a}+\frac{cos^4x}{b}=\frac{1}{a+b}$ $(a>0;b>0)$

Chứng minh rằng : $\frac{sin^8x}{a}+\frac{cos^8x}{b}=\frac{1}{(a+b)^3}$

 

Hãy tổng quát bài $3$