Ta có: $x_{n+1}=\frac{x_{n}}{2\left ( 2n+1 \right )x_{n}+1}$

      suy ra: $\frac{1}{x_{n+1}}=2\left ( 2n+1 \right )+\frac{1}{x_{n}}$

     hay: $\frac{1}{x_{n+1}}-\frac{1}{x_{n}}=2\left ( 2n+1 \right )$

  Do đó: $\frac{1}{x_{n}}-\frac{1}{x_{n-1}}=2\left ( 2(n-1)+1 \right )$

...........................................................................................................

              $\frac{1}{x_{2}}-\frac{1}{x_{1}}=2\left ( 2.1+1 \right )$

  Cộng các đẳng thức trên vế theo vế ta được:

        $x_{n+1}=\frac{2}{4\left ( n+1 \right )^{2}-1}$

  suy ra: $x_{n}=\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$

  suy ra: $\sum_{i=1}^{n}x_{i}=1-\frac{1}{2n+1}$

 suy ra lim=1

nếu làm theo cách của bạn thì $x_{1}=\frac{2}{3}$ chứ không phải $\frac{3}{2}$

Latex của mình không hiện ra khi , khi bấm vào ra 1 ô trắng 

Mình nghĩ ý của bạn kaito kuroba là thế này

 giả sử bđt cần chứng minh đúng ta có

$\sum a^{2}+\sum a\sqrt{bc}\geq 2\sum ab\Rightarrow \sum a^{2}\geq 2\sum ab-\sum a\sqrt{bc}(1)$

mà

$\sum a\sqrt{bc}\leq \sum ab$

nên từ (1) suy ra

$\sum  a^{2}\geq \sum ab$ luôn đúng

nếu giả sử bdt đúng thì cần CM làm gì nữa

với lại từ a^2+b^2+c^2 > ab+bc+ca thì cũng ko thể suy ra a^2+b^2+c^2+a căn bc + b căn ca + c căn ab > 2ab+2bc+2ca được do ab+bc+ca > a căn bc +b căn ca +c căn ab 

$\sum ab\geq \sum a\sqrt{bc}$ chứ sao lại be hơn hoặc= được!

bạn nên đọc kĩ lại nhé, mình nói là bđt ngược dấu do ab+bc+ca lớn hơn hoặc bằng 

 vì  ta  có:  $\left(a-1 \right)\left(b-1 \right)\geq 0\Leftrightarrow a^2+ab-a-b\geq 0\Leftrightarrow 1+ab\geq a+b$

nếu giả sử a>b>c, thì chỉ suy ra a>1, chứ không thể suy ra b > 1, nên bất đẳng thức đó sai 

ừ nhỉ! cảm ơn bạn nhé!

 

vậy thì làm thế này:

 

ta có: $\sum ab\geq \sum a\sqrt{bc}$  đã cm ở trên.

 

 

bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: $\sum a^2\geq \sum ab$

 

 

đến đây chắcổn rồi!

như vậy cũng không được, bất đẳng thức ngược dấu do ab+bc+ca lớn hơn hoặc bằng chứ không  phải nhỏ hơn hoặc bằng 

 đầu tiên, sorry vì mình giải hơi khó hiểu.

OK. mình sẽ giải thích rõ ràng hơn.

 

áp dung AM-GM cho 3 số:

 

$a\sqrt{ab}+a\sqrt{ab}+b^2\geq 3\sqrt[3]{a\sqrt{ab}.a\sqrt{ab}.b^2}=3ab
\Rightarrow \sum \left(a\sqrt{ab}+a\sqrt{ab}+b^2 \right)\geq 3\left(\sum ab \right)\Leftrightarrow \sum a^2+2a\sqrt{bc}\geq 3\sum ab$

 

 

 

bây giờ để C/m bđt, thì chúng ta phải đi chứng minh:

$\sum \left(ab+bc \right)\geq \sum a\sqrt{bc}$

 

 

ta đí Cm:

ta có:$ab+bc\geq 2\sqrt{ab.bc}=2a\sqrt{bc}\Rightarrow \sum ab\geq \sum a\sqrt{bc}$

 

từ đây ta được:

$a^2+b^2+c^2+a\sqrt{bc}+b\sqrt{ac}+c\sqrt{ab}\geq 2(ab+bc+ca)$

 

$"="\Leftrightarrow a=b=c>0$

 

lần này chắc bạn hiểu rồi nhỉ!

giải sai ngay từ bước đầu tiên. Đề bài không có cái gì là a căn ab cả, không thể thay đổi đề bài thành dữ kiện khác

= 1 (latex lỗi, ko post lời giải được)

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $abc=1$.Chứng minh rằng:

$\frac{a}{b^2+c^2+a}+\frac{b}{a^+c^2+b}+\frac{c}{a^2+b^2+c}\leq 1$

cách khác

đặt $a=\frac{1}{x}, b=\frac{1}{y}, c=\frac{1}{c}$

bđt tương đương $\frac{1}{xz^{2}+xy^{2}+y^{2}z^{2}}+\frac{1}{yz^{2}+yx^{2}+x^{2}z^{2}}+\frac{1}{y^{2}z+x^{2}z+x^{2}y^{2}}\leq 1$

có $\sum \frac{1}{xz^{2}+xy^{2}+y^{2}z^{2}}\leq \sum \frac{1}{2+y^{2}z^{2}}$

giờ cần cm $\sum \frac{1}{2+y^{2}z^{2}}\leq 1$

tương đương $\sum \frac{y^{2}z^{2}}{2+2y^{2}z^{2}}\geq 1$

có $\sum \frac{y^{2}z^{2}}{2+2y^{2}z^{2}}\geq \frac{(xy+yz+xz)^{2}}{6+\sum x^{2}y^{2}}\geq \frac{(xy+yz+xz)^{2}}{\sum x^{2}y^{2}+2xyz(x+y+z)}=1$

đpcm

hoặc có thể sử dụng tốc độ của phương trình 

do $\ln x< x< x^{n}< n^{x}< x^{x}$

nên $\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{\ln x}{x}=0$

Đã bảo ngoài L'Hopitale mà. Tìm cách kẹp . Chắc dễ ( khả năng là chơi Cauchy) .

$\lim_{a\rightarrow \infty }a^{\frac{1}{a}}=\lim_{a\rightarrow \infty }e^{\frac{\ln a}{a}}=e^{\lim_{a\rightarrow \infty }\frac{\ln a}{a}}=e^{\lim_{a\rightarrow \infty }\frac{\ln (a+1)-\ln a}{a+1-a}}=e^{\lim_{a\rightarrow \infty }\ln \frac{a+1}{a}}=e^{0}=1$

thay a=n+1 

giải sai

giải: $\sum \frac{1}{a^{2}}+2a+2b+2c\geq 9$

suy ra $\sum \frac{1}{a^{2}}\geq 9-6=3$

$\frac{2}{3}\sum a^{2}\geq \frac{2}{9}(a+b+c)^{2}=2$

cộng vào suy ra đpcm

CM

$S=\sum \frac{1}{a^{2}}+a^{2}-\frac{1}{3}(\sum a^{2})\geq 6-\frac{(a+b+c)^{2}}{9}=5$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

P/s: nếu thấy dễ thì đừng post?

ngược dấu rồi

bđt tương đương $\sum \frac{y-x}{y(y+1)}\leq 0$

giả sử $x\geq y\geq z$

nếu $y\geq z$, có $\frac{x-y}{x(x+1)}\leq \frac{x-y}{y(y+1)}$; $\frac{y-z}{x(x+1)}\leq \frac{y-z}{z(z+1)}$

suy ra $\frac{x-z}{x(x+1)}\leq \frac{x-y}{y(y+1)}+\frac{y-z}{z(z+1)}$

suy ra $\frac{x-z}{x(x+1)}+\frac{y-x}{y(y+1)}+\frac{z-y}{z(z+1)}\leq 0$ đpcm

tương tự với $y< z$

bài 2 $\frac{ab}{a^{5}+b^{5}+c^{5}}\leq \frac{1}{a^{3}+b^{3}+1}\leq \frac{abc}{ab(a+b+abc}=\frac{c}{a+b+c}$, tương tự có đpcm

bài 7$\sum \frac{x}{1+x^{2}}\leq \sum \sum \frac{x}{2x}=\frac{3}{2}$

$\sum \frac{1}{1+x}\geq \sum \frac{1}{1+1}=\frac{3}{2}$

bài 4 $\sum \frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}=\sum a-\frac{ab(a+b}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \sum a-\frac{a+b}{3}=\frac{a+b+c}{3}$

bài 6 $\frac{a^{2}+bc}{abc}=\frac{a}{bc}+\frac{1}{a}\geq \frac{2}{\sqrt{bc}}\geq \frac{4}{b+c}$

suy ra $\sum \frac{abc}{a^{2}+bc}\geq \frac{a+b+c}{2}$ dpcm

đặt lại tiêu đề ko là bị khóa bài đó
$\sum \sqrt{3+4^{x}}\geq \sqrt{(3\sqrt{3})^{2}+(2^{x}+2^{y}+2^{z})^{2}}\geq \sqrt{27+9.2^{x+y+z}}=\sqrt{36}=6$

Ta có :$P=a^2+b^2+c^2+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

Gỉa sử $a\geq b\geq c$

$= > P\geq \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac+c^2}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{(c+a)(c+b)}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2< = > (a-b)^2(a+b-2c)\geq 0$(Luôn đúng)

dấu = khi $ab+bc+ca+c^{2}=ab+bc+ca$, tương đương c= 0? 

cho $a,b,c>0$, CMR:

$a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\leq \frac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{3}$

$\sum \frac{a^{2}+b}{b+c}+\sum a=\frac{a^{2}+ab+ac+b}{b+c}=\sum \frac{a+b}{b+c}\geq 3$

suy ra dpcm

Có: $tan2x+cotx=\frac{cosx}{cos2xsinx}$

$\Rightarrow sin2x(tan2x+cotx)=2sinxcosx\frac{cosx}{cos2xsinx}=\frac{2cos^{2}x}{cos2x}$ (do $sin2x=2sinxcosx$)
 

Lại có: 
$\sin 2x(\cot x + \tan 2x) = 4\cos^2x$

$\Leftrightarrow \frac{2cos^{2}x}{cos2x}=4cos^{2}x\Leftrightarrow 2cos^{2}x(\frac{1}{cos2x}-2)=0$

Mà $cosx\neq 0\Rightarrow \frac{1}{cos2x}=2\Rightarrow cos2x=\frac{1}{2}\Rightarrow x=30$

 

 

 

Đặt $\left\{\begin{matrix}a=\sqrt{2x+y}\geq 0 & & \\ b=\sqrt{5x+8}\geq 0 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\sqrt{a^{2}+b^{2}-8}-a=4 & & \\ 2a-b=2 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a^{2}+b^{2}-8=16+8a+a^{2} & & \\ 8a=4a+8 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2a=b+2 & & \\ b^{2}-4b-32=0 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \begin{bmatrix}b=8\Rightarrow a=5 & & \\ b=-4\Rightarrow a=-1 & & \end{bmatrix}$

cosx=0 khi x= $\frac{\pi }{2}+k\pi$

$\frac{abc(a+b+c+\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}})}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})(ab+bc+ca)}\leq \frac{\sqrt{3}abc(a+b+c+\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}})}{2\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}(a+b+c)}\leq \frac{a+b+c+\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}{6\sqrt{3}\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\leq \frac{\sqrt{3}+1}{6\sqrt{3}}=\frac{3+\sqrt{3}}{18}$

Mong BQT và các ĐHV xem lại Latex

Mình dùng soạn Latex trên diễn đàn, nhưng cứ soạn được 3, 4 kí tự là LaTex báo lỗi (Invalid Equation) Có ai giúp mình chỉnh lại được không? 

Đặt $\frac{1}{a}=x,\frac{1}{b}=y,\frac{1}{c}=z$

$= >$BĐT $< = > \sum x\geq \frac{\frac{3}{x}}{\frac{1}{x^2}+\frac{2}{yz}}< = > \sum x\geq \frac{xyz}{2x^2+yz}$

Ta có :$xyz(\sum \frac{1}{2x^2+yz})=3xyz(\sum \frac{\frac{(y+z)^2}{2}+yz}{(2x^2+yz)(\frac{(y+z)^2}{2}+yz)})\leq 3xyz(\sum \frac{\frac{(y+z)^2}{2}+yz}{(xy+yz+xz)^2})=\frac{3xyz(\sum x)^2}{(\sum xy)^2}\leq \sum x< = > (\sum xy)^2\geq 3xyz(\sum x)< = > \sum (xy-yz)^2\geq 0$(Luôn đúng)

đã sửa lại