Thêm THPT chuyên Phan Bội Châu, Nghệ An: Cao Hữu Đạt (datcoi1999), Nguyễn Trung Phúc (nguyentrungphuc26041999) , Phan Đức Tiến (pdtienArsFC) (nếu mình không nhầm), Trần Nguyên Lân (Tran Nguyen Lan 1107).
Còn anh thì sao ?
Có 1000 mục bởi I Love MC (Tìm giới hạn từ 09-05-2020)
Đã gửi bởi I Love MC on 29-01-2017 - 08:06 trong Tin tức - Vấn đề - Sự kiện
Thêm THPT chuyên Phan Bội Châu, Nghệ An: Cao Hữu Đạt (datcoi1999), Nguyễn Trung Phúc (nguyentrungphuc26041999) , Phan Đức Tiến (pdtienArsFC) (nếu mình không nhầm), Trần Nguyên Lân (Tran Nguyen Lan 1107).
Còn anh thì sao ?
Đã gửi bởi I Love MC on 27-01-2017 - 07:39 trong Tin tức - Vấn đề - Sự kiện
Em xin cập nhật một số người trên diễn đạt (khu vực em biết)
xuantrandong (Quốc Học Huế) giải kk (bạn này tên Huỳnh Hữu Nhật)
Nguyen Minh Hai (Huế) ,hoanglong2k (Lê Hoàng Long), Hoang Nhat Tuan ,2 bạn cuối cùng đều là Quảng Bình. Cả 3 bạn cùng dãy đều được giải 3
Đã gửi bởi I Love MC on 26-01-2017 - 22:15 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
ĐKXĐ: $0 \le x \le \frac{81}{2}$
$\sqrt{5+4\sqrt{9-(2x)^{0,5}}}=2.13^{0,5}(13-x)$
$\Leftrightarrow x \le 13 $ và $5+4\sqrt{9-(2x)^{0,5}}=52(13-x)^2$
$\Leftrightarrow 4(\sqrt{9-(2x)^{0,5}}-2)=13(4(13-x)^2-1)$
$\Leftrightarrow \frac{5-(2x)^{0,5}}{\sqrt{9-(2x)^{0,5}}+2}=\frac{13}{4}(25-2x)(27-2x)$
$\Leftrightarrow \frac{25-2x}{(\sqrt{9-(2x)^{0,5}}+2)(5+(2x)^{0,5})}=\frac{13}{4}(25-2x)(27-2x)$
Nhận thấy $x=\frac{25}{2}$ là một nghiệm bài toán nên ta có đpcm
Đã gửi bởi I Love MC on 26-01-2017 - 19:02 trong Số học
Bài toán sau là đề ra kì này của tạp chi PI của bạn tháng 11/2016 và đã được đưa giải trong số đầu của tạp chí PI. Tác giả bài toán là thầy Võ Quốc Bá Cẩn. Mình post bài này để các bạn thảo luận cùng tìm các cách khác nhau để giải.
P3. (Võ Quốc Bá Cẩn) Cho các số nguyên dương $a,b,c,d$ thoả mãn điều kiện $a^2+1=bc, c^2+1=da$.
a) Chứng minh rằng $P= \frac{a+d}{c}+ \frac{b+c}{a}$ là một số nguyên.
b) Tìm tất cả các giác trị có thể của $P$.
Lời giải :
Ta đi chứng minh $b=3a-c,d=3c-a (1)$
Nhận thấy $(1)$ so với các điều sau đây là tương đương nhau :
$b=3a-c \Leftrightarrow a^2+1=(3a-c)c \Leftrightarrow a^2+c^2+1=3ac \Leftrightarrow d=3c-a$
Vậy chỉ cần chứng minh rằng nếu $a^2+1$ là bội của $c,c^2+1$ là bội của $a$ thì $a^2+c^2+1=3ac$
Giả sử $c \ge a$ .Ta chứng minh theo $S=a+c$ .
Nếu $S=2 \Rightarrow a=c=1 \Rightarrow$ điều chứng minh là đúng.
Nếu $c>1,c \ne a$ thì $c-1 \ge a$suy ra $c^2>a^2+1$ suy ra $c>b$ , Từ các đẳng thức $a^2+1=bc,c^2+1=da$ ta thu được :
$(a^2+1)^2=b^2(da-1) \Rightarrow 1 \equiv -b^2 \pmod{a}$
Vậy $a|1+b^2$ mà do $b|a^2+1$ mà $a+b<a+c$ nên theo giả thiết quy nạp :
$a^2+b^2+1=3ab$
Vậy $(a^2+1)^2=b^2c^2=(3ab-a^2-1)c^2=3abc^2-(a^2+1)c^2\Rightarrow (a^2+c^2+1)(a^2+1)=3abc^2=3ac(a^2+1) \Rightarrow a^2+c^2+1=3ac$
Từ đó ta có $(1)$ được chứng minh tức là : $b=3a-c,d=3c-a$
a,b) Ta có $P=\frac{a+d}{c}+\frac{b+c}{a}=\frac{3c}{c}+\frac{3a}{a}=6$
Đã gửi bởi I Love MC on 26-01-2017 - 13:52 trong Số học
Cho $p,q>1;(p,q)=1$ nguyên dương.
Chứng minh: Tồn tại $k$ nguyên sao cho $(pq-1)^{n}k+1$ là hợp số với mọi $n$ nguyên dương.
Theo định lí phần dư Trung Quốc tồn tại $k$ sao cho :
$\begin{cases} &k \equiv 1 \pmod{p}&\\&k \equiv -1 \pmod{q}& \end{cases} (1)$
Nếu $n$ chẵn thì $(pq-1)^nk+1 \equiv -1+1 \equiv 0 \pmod{q} (2)$
Nếu $n$ lẻ thì $(pq-1)^nk+1 \equiv 0 \pmod{p} (3)$
Từ $(1),(2),(3)$ ta có điều phải chứng minh.
Đã gửi bởi I Love MC on 25-01-2017 - 11:20 trong Số học
Lời giải bài toán 5 : Phương trình đã cho tương đương với $6x^2+3=(2y+1)^2$ .
Đặt $k=2y+1 \Rightarrow 3|k \Rightarrow k=3q$ phương trinh $\Leftrightarrow 2x^2+1=3q^2 (1)$
Xét $x=q \Rightarrow x=q=1 \Rightarrow x=y=1$
Rõ ràng $q<x$ . Đặt $q=x-m,m>0 \Rightarrow (1) \Leftrightarrow 3m^2-6mx+x^2-1=0$ để cho phương trình này có nghiệm nguyên thì $\Delta=12x^2-3=3(2x^2-1)$ là số chính phương (vô lí vì $2x^2-1$ không chia hết cho $3$)
Vậy $x=y=1$ là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
Đã gửi bởi I Love MC on 24-01-2017 - 21:22 trong Số học
Qua trao đổi với anh Zaraki thì mình xin mở TOPIC này .
Mục đích của TOPIC này là trau dồi kiến thức số học,tạo ra sân chơi cho các bạn vào dịp tết và hơn nữa thì chuẩn bị hành trang cho những kì thi học sinh giỏi sắp tới.
Marathon số học THCS cũng như Marathon số học Olympic vậy . Cụ thể như sau :
Khi bạn giải đúng được bài toán hiện có thì bạn có thể đăng lên tại đây và mình sẽ cộng thêm cho các bạn một điểm, và các bạn có quyền được đề xuất bài toán mới. Như vậy ai giải thì người đó sẽ có quyền đề xuất, trừ khi bạn không biết đề xuất bài nào thì bạn có thể nhờ hỗ trợ.
Và một số quy định yêu cầu các bạn tuân thủ:
0,50,5 điểm.
Khuyến khích mọi người tự đưa lời giải của chính mình thay vì lời giải của người khác hoặc dẫn link lời giải.
Đã gửi bởi I Love MC on 16-01-2017 - 20:21 trong Phương trình hàm
Tìm $f:R\rightarrow R$ thỏa mãn:
$f(x+y^{2}+z^{3})=f(x)+f^{2}(y)+f^{3}(z) (1)$
Với mọi $x,y,z$ là các số thực
Kí hiệu $P(n,m,k)$ là việc thế $x=n,y=m,z=k$ vào $(1)$
Có $P(0,0,0) \Rightarrow f(0)=0$ hoặc $f(0)=-1$
Nếu $f(0)=-1$ thì ta có
$P(0,0,z) \Rightarrow f(z^3)=f^3(z) \Rightarrow f(x+y^2+z^3)=f(x)+f^2(y)+f(z)$
Do đó $f(x+z)=f(x)+f(z)+1 ,\forall x,z \in \mathbb{R}$
Ta có $f(x+y^2+z^3)=f(x+y^2)+f(z^3)+1=f(x)+f(y^2)+f^3(z)+2$ cộng thêm với $(1)$ ta có $f(y^2)=f^2(y)-2 (2)$
Từ $(2)$ ta có $f(y^6)=f^2(y^3)-2=f^6(y)-6 \Rightarrow f^6(y)-2=f(y^6)=f^3(y^2)=(f^2(y)-2)^3 \Leftrightarrow f^2(y)=1$
$\Rightarrow f(y)=\pm 1$
$P(x,y,0) \Rightarrow f(x+y^2)=f(x) \Rightarrow f(x)$ là hàm hằng dễ chứng minh được $f(y)=-1$
Nếu $f(0)=0$
$P(0,y,0) \Rightarrow f(y^2)=f^2(y) \Rightarrow f(y) \ge 0 ,\forall y \ge 0$
$P(0,0,z) \Rightarrow f(z^3)=f^3(z) \Rightarrow f(x+z^3)=f(x)+f^3(z) \Rightarrow f(x+z)=f(x)+f(z),x,z \in \mathbb{R}$
Ta đi chứng minh $f$ đơn điệu tại $0$ . Từ dòng trên ta có $f(x-x)=f(x)+f(-x) \Rightarrow f(x)=-f(-x) (+)$
Kết hợp với $f(y) \ge 0,y \ge 0 \Rightarrow f(y) \le 0 ,\forall y \le 0$ . Từ đó suy ra $f$ dơnđiệu tại $0 (++)$
Từ $(+),(++) \Rightarrow f(x)=ax$ thế vào $(1) \Rightarrow a=0,a=1$ . Thử lại $f(x)=0,f(x)=x$ điều thỏa
Vậy có ba hàm thỏa điều kiện đề bài là $f(x) \equiv -1 ,f(x) \equiv 0, f(x) \equiv x ,\forall x \in \mathbb{R}$
Đã gửi bởi I Love MC on 16-01-2017 - 16:06 trong Đa thức
Ta phát biểu tiêu chuẩn sau đây :
Tiêu chuẩn Oskar Perron : Cho $f(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+..+a_0 \in \mathbb{Z[x]},a_0 \ne 0$ . Nếu $|a_{n-1}|>1+..+|a_0|$ thì $f$ bất khả quy trên $\mathbb{Z}$
Áp dụng tiêu chuẩn cho $P(x)$ ta có đpcm (cách chứng minh tiêu chuẩn bạn có thể tham khảo tài liệu khác)
Đã gửi bởi I Love MC on 08-01-2017 - 16:52 trong Tài liệu - Đề thi
12) Giải hệ
$\begin{cases} &x^4-y^4=\frac{121x-122y}{4xy}&\\&x^4+14x^2y^2+y^4=\frac{122x+121y}{x^2+y^2}& \end{cases}$
Đã gửi bởi I Love MC on 07-01-2017 - 14:08 trong Số học
Mình có ý tưởng mà vướng khúc cuối.
Trường hợp: $a,c$ cùng số dư khi chia cho $3$.
Thì được $a^2+ac+c^2$ chia hết cho $3$ nên $a=c=1$. Suy ra $b=1$.
Còn trường hợp còn lại :
Do $(a;c)=1$ và $ac=b^2$ thì $a,c$ là các số chính phương. ...
Còn vướng chỗ này.
P/S: Cách của NguyenTaiTue giải thích rõ được không ? Trong trường hợp $k$ hữu tỉ thì sao ?
Tìm các số nguyên dương a,b,c thỏa mãn đòng thời các điều kiện : $\frac{a-b\sqrt{5}}{b-c\sqrt{5}}$ là số hữu tỉ và $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ là số nguyên tố
Để $\frac{a-b\sqrt{5}}{b-c\sqrt{5}}$ là số hữu tỉ thì $ca=b^2$
Từ đó suy ra $a^2+b^2+c^2=(a+c-b)(a+c+b)$ là số nguyên tố ....
Đã gửi bởi I Love MC on 07-01-2017 - 13:41 trong Bất đẳng thức - Cực trị
Phương pháp gì đây bạn
$p,q,r$
Đã gửi bởi I Love MC on 06-01-2017 - 17:06 trong Thông báo tổng quan
1. Tên Nick ứng viên : Zaraki,Baoriven,Baopbc
2. Thành tích (đóng góp) nổi bật : Theo em thì anh Toàn thì không phải nói rồi Luôn tích cực tham gia thảo luận cho TOPIC diễn đàn
3. Ghi chú thêm (nếu có) : Ko có
Đã gửi bởi I Love MC on 06-01-2017 - 17:03 trong Thi HSG Quốc gia và Quốc tế
Bài 5 . (6,0 điểm).
Tìm tất cả các hàm số : $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn hệ thức:
$$f\left ( xf\left ( y \right )-f\left ( x \right ) \right )=2f\left ( x \right )+xy$$ (1)
với mọi số thực $x,y$
Lời giải :
Theo chứng minh của các bạn trên thì ta có $f$ là một song ánh
Ta tiếp tục làm như sau :
Kí hiệu $P(u,v)$ chỉ việc thay $x$ bởi $u,y$ bởi $v$ vào $(1)$
Ta có $P(0,0) \Rightarrow f(-f(0))=2f(0)$ (2)
$P(-f(0),2) \Rightarrow f(-f(0)f(2)-2f(0))=2f(0)$ (3)
Từ $(2),(3) \Rightarrow f(0)=-f(0)f(2) \Rightarrow f(0)=0$ hoặc $f(2)=-1$
Trường hợp 1 : $f(0)=0$ . $P(x,0) \Rightarrow f(-f(x))=2f(x) (4)$
$P(1,y) \Rightarrow f(f(y)-f(1))=2f(1) (5)$
Từ $(4)$ cho $x=1$ và kết hợp với $(5)$ cho ta $f(y)-f(1)=-f(1) \Rightarrow f(x) \equiv 0$
Cho $P(1,2)$ thì thấy không thỏa mãn nên loại trường hợp này
Trường hợp 2 : $f(2)=-1$
$P(2,2) \Rightarrow f(-1)=2$
Tính được $f(0)=1$
$P(1,y) \Rightarrow f(f(x))=x$
$P(x,2) \Rightarrow f(-x-f(x))=2f(x)+2x (6)$
$P(f(x+f(x)),2)$ kết hợp với $f(f(x))=x \Rightarrow f(-x-f(x))=2(x+f(x))+2f(x+f(x)) (7)$
Từ $(6),(7)$ cho ta $f(x+f(x))=0=f(1) \Rightarrow x+f(x)=1 \Rightarrow f(x)=1-x$ (thỏa)
Đã gửi bởi I Love MC on 06-01-2017 - 12:23 trong Thi HSG Quốc gia và Quốc tế
Câu 6a mình có ý tưởng về việc sử dụng định lý sau :
Định lí Lerch : Với $p$ là số nguyên tố thì : $\sum_{i=1}^{p-1} i^{p-1} \equiv p+(p-1)! \pmod{p^2}$
mình làm hết ngày 2 nè he he
Incredable
Đã gửi bởi I Love MC on 05-01-2017 - 13:05 trong Thi HSG Quốc gia và Quốc tế
$Q(x)-(3x-1)$ chia hết cho $B(x)$ thì mọi nghiệm của $B(x)$ là mọi nghiệm của $Q(x)-(3x-1)$, nhưng tại sao lại thế vậy anh ?
Ý bạn là sao ?
Đã gửi bởi I Love MC on 04-01-2017 - 20:38 trong Số học
Bài 3 : a) Đặt $a=\overline{a_k...a_0},b=\overline{b_m...b_0}$
Giả sử $a \ge b \Rightarrow k \ge m$ . Ta qui ước như sau :
Ta chứng minh bằng qui nạp :
$k=0 \Rightarrow m=0$ thì ngang đây dễ có đpcm
Giả sử đúng đến $k-1$ ta chứng minh cũng đúng với $k$
Chú ý $a,b$ có thể viết lại như sau
$a=10.\overline{a_{k-1}...a_1}+a_0,b=10.\overline{b_{k-1}...b_1}+b_0$
Đặt $\overline{a_{k-1}...a_1}=a' \Rightarrow S(10a')=S(a')$
Tương tự với $b'={b_{k-1}...b_1} \Rightarrow S(10b')=S(b')$
Khi đó $S(a)=a_0+S(a'),S(b)=b_0+S(b')$ . Theo giả thiết qui nạp thì $S(a'+b') \le S(a')+S(b')$
Mặc khác $a+b=10(a'+b')+a_0+b_0 \Rightarrow S(a+b) \le S(a'+b')+a_0+b_0 \le S(a')+a_0+S(b')+b_0 \le S(a)+S(b)$
b) Bất đẳng thức đầu không có gì khó : $S(2n) \le S(n)+S(n)=2S(n)$
Bất đẳng thức lại tiếp tục sử dụng bổ đề sau $S(n_1n_2) \le S(n_1)S(n_2)$ với mọi $n_1,n_2$ nguyên dương
Ta có $S(2n)=S(5.2n) \le S(5) \le S(2n)=5S(2n) \Rightarrow 2S(n) \le 10S(2n)$
Đã gửi bởi I Love MC on 04-01-2017 - 16:37 trong Số học
Bài 1 : Để cho tiện việc dễ nhìn đề thì phương trình trên tương đương với việc giải nghiệm ko âm của $(x+1)^y-1=x!$
Xét $x=1 \Rightarrow y=1$
$x=2 \Rightarrow y=1$
$x=3 \Rightarrow y=\varnothing$
$x=4 \Rightarrow y=5$
Xét $x>4$ khi đó ta có $x!+1>x+1$ mà $(x+1)^y=x!+1>x+1 \Rightarrow y>1$ . Phương trình viết lại $(x+1)^y=x!+1$
Nếu $x$ lẻ thì thì $VT$ chẵn còn $VP$ lẻ nên ko thể xảy ra được
Nếu $x$ chẵn suy ra $x$ là hợp số ($x>2$) nên đặt $x=ab$ với $1<a<b<x$ . Dễ thấy $x|(x-1)!$
Ta có $(x+1)^y-1=C_y^1x+C_y^2x^2+...+C_y^yx^y \Rightarrow (x-1)!=C_y^1+C_y^2+..+C_y^yx^{y-1}$
Suy ra $x|y \Rightarrow y \ge x$ mà $(x+1)^x>x!+1$ với $x>4$ từ đó suy ra $(x+1)^y>x!+1$ (vô lí)
Vậy $(x,y)=(1,1),(2,1),(4,5)$
Đã gửi bởi I Love MC on 04-01-2017 - 13:15 trong Số học
Vì $(a_i,a_j)<n \forall 0<i<j<k+1 \Rightarrow$ không tồn tại số nguyên dương nào không vượt quá $m$ là bội của cặp số đã cho
Đặt $A_i=\{x \in \mathbb{N},x \vdots a_i,n \ge x \ge 1}\$
Suy ra $|A_i|=[\frac{n}{a_i}]$
Rõ ràng $|A_i| \cap |A_j|=\varnothing ,i \ne j \Rightarrow |A_1 \cap A_2 \cap... \cap A_k|=\sum_{i=1}^k |A_i|=\sum_{i=1}^k [\frac{n}{a_i}]$ (1)
Rõ ràng $|A_i| \le n-1 \forall 1 \le i \le n$ nên từ (1) suy ra $\sum_{i=1}^k [\frac{n}{a_i}] \le n-1$
Chú ý bất đẳng thức sau $x-1<[x]$ nên từ dòng trên ta có $\sum_{i=1}^k \frac{1}{a_i} \le \frac{n-1+k}{n}=1+\frac{k-1}{n}$
Ta sẽ đi chứng minh $k-1<\frac{n}{2}$
Trong các số $a_1,a_2,..a_k$ thì nếu ta chọn ra $2$ số bất kì thì hai số đó phải có ước lẻ khác nhau (cái này dễ rồi nên bạn tự chứng minh)
Do vậy $k$ sẽ phải bé hơn số số lẻ từ $1 \Rightarrow n$ từ đó $k-1<\frac{n}{2}$
Từ đó ta có $\sum_{i=1}^k \frac{1}{a_i}<\frac{3}{2}<2$ (đpcm)
Đã gửi bởi I Love MC on 02-01-2017 - 16:35 trong Bất đẳng thức và cực trị
BĐT c/m $\Leftrightarrow x(1-yz)+y+z \le 2$
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxky $x(1-yz)+y+z \le (x^2+(y+z)^2)(1+(1-yz)^2)=(2+2yz)(1+(1-yz)^2)$
Ta c/m đc với $a \le 1$ thì $(2+2yz)(1+(1-yz)^2) \le 2$ và chú ý $x^2+y^2+z^2=2 \ge y^2+z^2 \ge 2yz \Rightarrow 1 \ge yz$
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học