Cho $A_{1},A_{2},...,A_{2n}$ là các số thực dương và $B_{1},B_{2},...,B_{2n}$ cũng là các số ấy nhưng xếp theo thứ tự giảm dần. Chứng minh:
$B_{1}B_{2}...B_{n}+B_{n+1}B_{n+2}...B_{2n} \geq A_{1}A_{2}...A_{n}+A_{n+1}A_{n+2}...A_{2n}.$

Cho trước $k \in \mathbb{N}^{*},$ xác định tất cả các đa thức $f(x) \in \mathbb{Z}[x]$ sao cho $(n!)^{k} \vdots f(n)\forall n \in \mathbb{N}^{*}.$

Tìm tất cả các hàm $f:R \rightarrow R$ thỏa mãn:
$f(x^{2}+y^{2}+2f(xy))=(f(x+y))^{2}.$

Xếp bộ bài $52$ quân thành 1 cột từ trên xuống dưới. Ta nói bộ bài được xếp đúng nếu như hai quân bài cạnh nhau hoặc cùng chất (rô, cơ, chuồn, bích) hoặc cùng giá trị (từ 3 tới heo) và hai quân trên cùng và dưới cùng cũng thế. Ngoài ra con trên cùng luôn phải là át bích. Gọi số cách xếp đúng là $a,$ chứng minh $a$ chia hết cho $13!.$

Cho trước số nguyên dương $N.$ Tìm tất cả các hàm $f:Z \rightarrow R$ Sao cho với mọi $k \in Z, f(2k)=2f(k)$ và $f(N-k)=f(k).$

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O),$ đường tròn $A-inmixtilinear$ có tâm là $T_{a}$ tiếp xúc trong $(O)$ ở $D.G$ đối xứng $D$ qua $T_{a}.$ Tương tự có $T_{b},T_{c},E,F,H,I.$ Chứng minh $AG,BH,CI$ đồng quy.

Cho tam giác $ABC,I$ là điểm $Isodynamic$ thứ nhất ( giao điểm nằm trong tam giác của các đường tròn $A-Apollonius,B-Apollonius,C-Apollonius$ ). Gọi $I_{a},I_{b},I_{c}$ là tâm nội tiếp các tam giác $IAB,IBC,ICA.$ Chứng minh $AI_{a},BI_{b},CI_{c}$ đồng quy.

Tìm số thực $a$ để $cos(2^{n}a) \leq 0$ với mọi số tự nhiên $n.$

Cho $a,b$ là hai số tự nhiên lẻ thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+48=14ab.$ Chứng minh $ab$ chia hết cho $7.$

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp $(O),AB$ không là đường kính. Gọi $P$ là một điểm bất kì tren cung $CD$ không chứa $A,B.PB$ cắt $CD,CA$ ở $F,G.HG$ cắt $EF$ ở $Q.AC,AB$ cắt $BD,CD$ ở $T,S.$ Chứng minh rằng $P,Q,T$ thẳng hàng khi và chỉ khi $OS$ vuông góc $PQ.$

Gọi $S$ là tập hợp gồm $2011$ điểm tren mặt phẳng, hai điểm bất kì của $S$ cách nhau ít nhất $1$ đơn vị độ dài. Chứng minh $S$ có chứa tập con $T$ gồm $250$ điểm mà hai điểm bất kì thuộc $T$ cách nhau ít nhất $\sqrt{3}$ đơn vị độ dài.

Còn phần GTLN nữa mà bạn.

Cho $S$ là tập các số tự nhiên từ $1$ tới $3000.$
Hỏi có tồn tại một tập con $A$ có $2000$ phần tử của tập $S$ thỏa mãn tính chất:
"Nếu $x \in A$ thì $2x \notin A$ "
hay không $?$

Giả sử $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.$
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\frac{x}{1+yz} + \frac{y}{1+zx} + \frac{z}{1+xy}$

Tìm $x,y,z$ nguyên dương thỏa mãn:
$x^{z+1} - y^{z+1} = 2^{100}$

Gọi $(K)$ là đường tròn $(AEF).$ Xét cực và đối cực với $(K).$

$CM$ là cực của $B$ suy ra $CM$ vuông góc $BK.$ Mà $KM$ vuông góc $BC$ nên ta có đpcm. 

Cho hỏi $MN,AB,EF$ đồng quy ở $R$ là đề cho sẵn hay là cần chứng minh?

Theo $Menelaus: \overline{B,K,E}\Leftrightarrow \frac{\overline{EA}}{\overline{EC}}.\frac{\overline{BC}}{\overline{BD}}.\frac{\overline{KD}}{\overline{KA}}=1$

$\Leftrightarrow \overline{DK}=2\overline{KA}.$

$1/$  Cho số thực $a\in [0;1].$ Tìm số thực $x$ sao cho $a+bx\notin \mathbb{Z} , \forall b\in \mathbb{Z}.$

$2/$  Cho hai số thực $p,q\in [0;1].$ Tìm số thực $r$ sao cho $\forall k\in \mathbb{Z},$ các điều kiện sau xảy ra đồng thời $:$

Cho tam giác $ABC,AD,BE,CF$ là các đường cao. Đường tròn nội tiếp tam giác $DEF$ tiếp xúc $DE,EF,FD$ tại $C',A',B'.$ Các đường thẳng qua $B',C'$ vuông góc $BE,CF$ cắt nhau ở $A_{1}.$ Tương tự có $B_{1},C_{1}.$ Chứng minh $AA_{1},BB_{1},CC_{1}$ đồng quy tại một điểm thuộc đường thẳng $Euler$ của tam giác $ABC.$