Áp dụng cái $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \frac{9}{a+b+c}$

Ok luôn.

Bài 56. Cho (O;R) và đường thẳng a cắt đường tròn tại 2 điểm A,B. Gọi M là điểm thuộc a và nằm ngoài đường tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến MC,MD. Khi M thay đổi trên a, CD luôn đi qua một điểm cố định

Còn có câu dễ là với M nằm trong tam giác ABC, tìm vị trí điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến AB,AC,BC nhỏ nhất

Hiện tại ngoài biến đổi tương đương thi vẫn chưa nhìn thấy cách làm khác

$\frac{1}{a+1} = 1 - \frac{1}{b+1} + 1 - \frac{1}{c+1}$

 $= \frac{b}{b+1} +  \frac{c}{c+1}$ $\geq$ $\sqrt{\frac{bc}{(b+1)(c+1)}}$

Tương tự rồi nhân vế theo vế 

2. (a-2)² $\geq$ 0

Nên a² $\geq$ 4a -4

Tương tự với b²,c²

3. $\frac{1}{a} +\frac{1}{b} + \frac{1}{b} \geq \frac{9}{a+2b}$  

4. Đang suy nghĩ 

1. Vẽ các đt x=6, x=42, y=2, y=17 trên cùng một mf tọa độ.

C/mr hình chữ nhật giới hạn các dt trên 0 có điểm nguyên nào thuộc 3x + 5y = 7

2. CHo mf tọa độ Oxy cho xét đt (a) xác định bởi phương trình

(m-1)x + (m+1)y = $\sqrt{2(m^{2}+1)}$ với m là tham số

Tính k/c từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (a)

3. Trong mf tọa độ oxy cho 3 đt d, d₁, d₂, lần lượt

y=x-4: x+ 2y = -2: y =-2x+2

C/mr nếu M thuộc (d) thì sẽ cách đều d_1, d₂

GT=>$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$ hay $\frac{ab+bc+ca}{abc}=\frac{1}{a+b+c}\Rightarrow (ab+bc+ca)(a+b+c)-abc=0\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a)=0$

+)nếu a=-b =>c=0

Tương tự, ta có đpcm.

 

P/S: bạn gõ nhanh quá, vừa gõ xong gửi thì đã có trả lời

Quá khen

1, $10 \sqrt{x^{3} + 1} = 3(x^{2} + 2)$

Đặt $\sqrt{x+1}$ là a,  $\sqrt{x² - x + 1}$ là b

Phương trình cần chứng minh tương đương với

10 ab= 3a²+ 3b²  $\Leftrightarrow$ (3a-b)(a-3b)=0

2, $(\sqrt{x+8} - \sqrt{x+3})(\sqrt{x^{2}+ 11x +24} +1 )= 5$

Đặt $\sqrt{x+8}$ = a, $\sqrt{x+3}$=b

Phương trình cần chứng minh tương đương với 

(a-b)(ab +1) = a² - b² 

$\Leftrightarrow$ (a-b)(a-1)(b-1) = 0

3, Đăt $\sqrt{x-1} + \sqrt{x^{3}+ x^{2}+x+1} = 1 + \sqrt{x^{4}-1}$

Đặt $\sqrt{x-1}$ = a, $\sqrt{x^{3}+ x^{2}+x+1}$=b

Phương trình cần chứng minh tương đương với 

(a-1)(b-1)=0

4, x² + $\sqrt{x+2015}$= 2015

 x² = 2015-  $\sqrt{x+2015}$

 $\Leftrightarrow$x² + x+ $\frac{1}{4}$= x+2015  -  $\sqrt{x+2015}$ + $\frac{1}{4}$

 $\Leftrightarrow$ (x+ $\frac{1}{2}$)²= ( $\sqrt{x+2015}$ - $\frac{1}{2}$)

Mấy bài còn lại dễ cả :v

Ta có $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a+b+c}$

$\Leftrightarrow$ (ab + bc +ca)(a+b+c) = abc

$\Leftrightarrow$ (ab + bc +ca)(a +b) + c(bc + ca) +abc - abc = 0

$\Leftrightarrow$ (a + b)( ab +bc +ca + c²) = 0

$\Leftrightarrow$ (a +b)(a + c)(b + c)=0

Áp dụng Cauchy $\frac{a^{3}}{b} + \frac{b^{3}}{c} + bc \geq 3ab$

Tương tự với các cái còn lại

Ta biết sin²a + cos²a =1

Bài toán trở về c/m

Với a+b=1 tìm min a³ + b³

Áp dụng Cauchy ta có

a³ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ $\geq \frac{3}{4}a$

Tương tự vậy  a³ + b³ $\geq$ 1/4

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=45 độ

choba số thực a,b,c không âm sao cho a+b+c=1 chứng minh $b+c\geqslant 16abc$ , dấu bằng xảy ra khi nào

BĐT tương đương với 

(b+c)(a+b+c)² $\geq 16$abc

Áp dụng BĐT (a+b)² $\geq $4ab dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=bta có 

(b+c)(a+b+c)² $\geq$4a(b+c)² $\geq$ 16abc

Dấu bằng xảy ra a=1/2, b=c=1/4

LÀm nhiều bài thì nó lên thôi.

Ví dụ 100 bài là trung sĩ nè

Thử chọn c từ 7 đến 9 ta tìm được số 1681 thỏa mãn

3/Đề bài tương đương với

$\frac{1}{x} +\frac{1}{y} + \frac{1}{z} =3$

Không mất tính tổng quát giả sử x$\geq$y$\geq$z

Vậy $\frac{1}{x}\leq \frac{1}{y}\leq\frac{1}{z}$

Vậy 3$\leq\frac{3}{z}$ Nên z$\leq$ 1 mà z nguyên dương nên z =1

Tương tự ta sẽ có x=1, y=1

1/ (x-3y)² + 4y²= 100

Mà 10² chỉ bằng 8² + 6²

Thử chọn vài lần là ra

2/ y(x-3)= -1

Nếu x=3 thì 0=1 loại

Nếu x khác 3 thì $y = \frac{-1}{x-3}$

Thử chọn 2 lần là ra tiếp

Đề max hay min để mình post max nào 

Unikey hu thong cam

Ap dung cong thuc $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} \geq \frac{16}{a+b+c+d}$

Ta co

$\frac{16}{3x+3y+2z} \leq \frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}$

Tuong tu ta co Q.E.D

cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác.CMR

$\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{a+b-c}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Áp dụng $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a+b}.$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$ hay đó là tam giác đều.

bai nay nua

                      cho m,n thuoc N tm 24m⁴ +1 =n²

                                        ^{Chung minh m.n chia het 5}

Nếu m chia hết cho 5 thì m.n chia hết cho 5

Nếu m không chia hết cho 5 thì m⁴ $\equiv$ 1(mod 5)

                                      $\Rightarrow$ n² = 24m⁴ + 1 chia hết cho 5

                                      $\Rightarrow$ m.n chia hết cho 5

Cho $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} = 7$

Tính tổng $\frac{1}{a^{5}} +\frac{1}{b^{5}}$

Có một vài bài dễ quá thì bạn đừng đăng còn hơn.

Áp dụng a² - b² =(a+b)(a-b) 

Vs mọi x, y, z dương, CM:

$x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq \sqrt{2}(xy + xz)$

Áp dụng AM-GM ta có 

$x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq x^{2} + \frac{(y+z)^{2}}{2}$

$\geq \sqrt{2}x(y+z) = \sqrt{2}(xy + xz)$. Ta có Q.E.D

210 : $\frac{1}{1+a} = 1 - \frac{1}{1+b}+1 - \frac{1}{1+c}$

                                = $\frac{b}{b+1} + \frac{c}{c+1} \geq \sqrt{\frac{bc}{(b+1)(c+1)}}$

Tương tự $\frac{1}{1+b} \geq \sqrt{\frac{ac}{(a+1)(c+1)}}$

                 $\frac{1}{1+c} \geq \sqrt{\frac{ba}{(a+1)(b+1)}}$

Nhân vế theo vế ta có abc $\leq \frac{1}{8}$

a) Nếu cả x,y đều không chia hết cho 3 thì x^2, y²   đều chia 3 dư 1 nên z² chia 3 dư 2 loại

b)  Nếu cả x,y đều không chia hết cho 4 thì x^2, y²   đều chia 4 dư 1 nên z² chia 4 dư 2 loại

Vậy xy chia hết cho 12

Áp dụng AM- Gm 5 số 

2. a⁵ + 3. b⁵ $\geq$ 5 a²b³ 

Tương tự có Q.E.D