Giải phương trình nghiệm nguyên $x^3+x^2y+xy^2+y^3=8(x^2+xy+y^2+1) (1)$

Ta có: $(1)  <=> (x^2+y^2)(x+y)=4(x^2+2xy+y^2)+4(x^2+y^2)+8$

                  $<=> (x^2+y^2)(x+y)=4(x+y)^2+4(x^2+y^2)+8 (2)$

Đặt $x^2+y^2=b$ và $x+y=a$. 

Ta có: $(2)  <=> ab=4a^2+4b+8$

                  $<=> (4a^2-64)+(4b-ab)= -8-64$

                  $<=> 4(a-4)(a+4) - b(a-4)= -72$

                  $<=> (a-4)(4a-b+16)=-72$

Đến đây giải phương trình tích nghiệm nguyên $a,b$ rồi sử dụng $Viète$ tìm $x,y$ rồi đối chiếu.

Tự đăng tự giải vậy !
 
Ta có: $(x-y)(y-z)(z-x)=xyz$
 
Nếu trong 3 số $x,y,z$ không có số nào chia hết cho $3$ thì theo nguyên lí Đi-rích-lê, tồn tại ít nhất $2$ số có cùng số dư nên hiệu của chúng chia hệt cho $3$.
$=> 3|(x-y)(y-z)(z-x)$
$=> 3|xyz$ (vì $(x-y)(y-z)(z-x)=xyz$)
$=>$ Vô lí
$=>$ Loại.
 
Do đó trong $3$ số $x,y,z$ tồn tại ít nhất một số chia hết cho $3$ (giả sử $3|x$ thì $3|xyz$) .
Xét các trường hợp sau:
 
+) $y,z$ chia $3$ dư $1;2$
=> $x-y;y-z;z-x$ đều không chia hết cho $3$ 
$=> (x-y)(y-z)(z-x)$ không chia hết cho $3$
$=>$ $xyz$ không chia hết cho $3$ (Vô lí)
 
+) $y;z$ không chia hết cho 3 nhưng cùng số dư.
Dễ dàng chứng minh: $(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3=3(x-y)(y-z)(z-x)$
$=>3|(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3$  
Vì $3|x$ và $3|y-z$ và $y,z$ không chia hết cho $3$ nên $(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3$ không chia hết cho $3$ 
( vì nó sẽ đồng dư với $1^3+0^3+1^3=2$ hoặc $2^3+0^3+2^3=16$ nên chia dư $2$ hoặc $1$).
$=>$ Vô lí.
$=>$ Loại.
 
Do đó, $3|x,y,z$
           $=>$ $27|xyz$ 
           $=>$ $Q.E.D$

Mình nhầm rồi ở chỗ gạch đỏ, haizzzzzzzzzzzz!

Tự đăng tự giải vậy !
 
Ta có: $(x-y)(y-z)(z-x)=xyz$
 
Nếu trong 3 số $x,y,z$ không có số nào chia hết cho $3$ thì theo nguyên lí Đi-rích-lê, tồn tại ít nhất $2$ số có cùng số dư nên hiệu của chúng chia hệt cho $3$.
$=> 3|(x-y)(y-z)(z-x)$
$=> 3|xyz$ (vì $(x-y)(y-z)(z-x)=xyz$)
$=>$ Vô lí
$=>$ Loại.
 
Do đó trong $3$ số $x,y,z$ tồn tại ít nhất một số chia hết cho $3$ (giả sử $3|x$ thì $3|xyz$) .
Xét các trường hợp sau:
 
+) $y,z$ chia $3$ dư $1;2$
=> $x-y;y-z;z-x$ đều không chia hết cho $3$ 
$=> (x-y)(y-z)(z-x)$ không chia hết cho $3$
$=>$ $xyz$ không chia hết cho $3$ (Vô lí)
 
+) $y;z$ không chia hết cho 3 nhưng cùng số dư.
Dễ dàng chứng minh: $(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3=3(x-y)(y-z)(z-x)$
$=>3|(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3$  
Vì $3|x$ và $3|y-z$ và $y,z$ không chia hết cho $3$ nên $(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3$ không chia hết cho $3$ 
( vì nó sẽ đồng dư với $1^3+0^3+1^3=2$ hoặc $2^3+0^3+2^3=16$ nên chia dư $2$ hoặc $1$).
$=>$ Vô lí.
$=>$ Loại.
 
Do đó, $3|x,y,z$
           $=>$ $27|xyz$ 
           $=>$ $Q.E.D$

cảm ơn bạn!

Cho đường tròn $(O;R)$, hai đường kính $AB,CD$ vuông góc nhau. $M$ là một điểm nằm trên đoạn thẳng $AB$ sao cho $\widehat {MCO} = 30 $ độ. Gọi $I$ là một điểm thay đổi trên đường kính $CD$. $MI$ cắt đường tròn tại $2$ điểm là $R,S$ ($MR<MS$).

Chứng minh:$\frac{1}{MR}=\frac{1}{MI}+\frac{1}{MS}$.

:v what is tứ giác điều hòa? 

Bài toán:

Cho đường tròn $(O;R)$ và một điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho $OA>2R$. Từ $A$ vẽ hai tiếp tuyến $AB,AC$ với đường tròn ($B,C$ là $2$ tiếp điểm). Vẽ dây $BD$ của đường tròn $(O;R)$ sao cho $BD//AC$. $E$ là giao điểm thứ hai của $AD$ với đường tròn $(O)$. Tia $BE$ cắt $AC$ tại $F$. 

1/ Chứng minh rằng: $FA=FC$.

2/ Kẻ đường kính $CK$ của đường tròn $(O;R)$. $M,N$ lần lượt là giao điểm của $FK$ với $CE$ và $ED$. Chứng minh rằng: $MF.KN=MN.KF$.

3/ Đường thẳng $AD$ cắt $BC$ tại $H$. Chứng minh:$\frac{1}{AD}+\frac{1}{HD}=\frac{2}{ED}.$

Mình còn câu 3, ai giúp hộ với!

Đề bài:

Cho $x,y,z$ là các số nguyên thỏa mãn: $(x-y)(y-z)(z-x)=xyz$. Chứng minh rằng: $xyz$ chia hết cho $27$.

P/S: Cần gấp!

Đề bài:

Cho $a,b,c$ là các số không âm thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh rằng:

$ab^2+bc^2+ca^2\leq 2+abc$

Đề bài:

Cho $\Delta ABC$. Độ dài 3 cạnh là $a,b,c$; $h_a;h_b;h_c$ là các đường cao tương ứng; $R,r$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp $\Delta ABC$.

Chứng minh rằng: $\frac{9R}{a^2+b^2+c^2}\leq\sum\frac{1}{h_a+\sqrt{h_b h_c}}\leq\frac{1}{2r}$

Vế sau mình biết làm rồi.

Cảm ơn bạn nhiều !

Đề bài:

Tìm $a,b,c>0$ thỏa mãn: $a+b+c=1$ và $\dfrac{a}{b} +\dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a}=\dfrac{a+b}{b+c} + \dfrac{b+c}{a+b}+1$

Không liên quan nhưng cho mình hỏi bạn có phải Vương ĐÌnh Ân không ? 

=)) thằng bạn em chị ạ

Mọi người cho em hỏi thể thức thi QG là 5 câu tự luận hay 10 câu ghi đáp án như Thi TP, Thi tỉnh? /Đối với năm 2014-2015/

Bạn nhầm rồi.$\Delta =(a-c)^2+(b-d)^2-(ad-bc)^2$ chứ

 Anh ơi cho em hỏi: Bài này bọn anh chữa chưa và nếu chữa rồi anh có thể nói sơ qua cách làm được không ạ?
P/S: cảm ơn anh trước.

Phòng GD&ĐT                                                                         Đề thi học sinh giỏi cấp thành phố 

TP. Bắc Giang                                                                                     Năm học: 2014-2015

                                                                                                               Môn: Toán lớp 9

                                                                                                       Thời gian làm bài: 150 phút

Câu 1:

a/ Cho biểu thức H = $(\dfrac{a-b}{\sqrt{a^{2}-b^{2}}-a+b}+\dfrac{\sqrt{a-b}}{\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}}).\dfrac{a^{2}+3b^{2}}{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}$ với $a>b>0$

Biết $a-b=1$. Tìm GTNN của H.

b/ Cho ba số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn: $a+b+c=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2$

Tính giá trị của: M=$\sum\dfrac{1+a}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$

Câu 2:

a/ Tìm $x,y$ nguyên thỏa mãn: $x^{2}(y^{2}-5)=y(y-x)$

b/ Giải phương trình: $4\sqrt{x^{3}+3x^{2}}+2\sqrt{2x-1}=4x^{2}+3x+3$

Câu 3:

a/ Tìm $a$ biết $a +\sqrt{24}$ và $\dfrac{1}{a}-\sqrt{24}$ là các số nguyên

b/ Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn: $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{3}{2}$

Tìm GTLN của:

H =$\dfrac{1}{\sqrt{5a^{2}+2ab+2b^{2}}}+\dfrac{1}{\sqrt{5b^{2}+2bc+2c^{2}}}+\dfrac{1}{\sqrt{5c^{2}+2ca+2a^{2}}}$

Câu 4:

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ($AB<AC$). Độ dài 3 cạnh lần lượt là $c,b,a$. Vẽ đường cao $AH$. Vẽ đường tròn $(O;R)$ nội tiếp tam giác $ABC$ và tiếp xúc các cạnh $AB,BC,CA$ lần lượt tại $M,N,E$. Gọi $I$ là trung điểm $AC$. $IO$ căt $AB$ tại $K$. $ME$ cắt $AH$ tại $G$. Chứng minh rằng

a/  $AO$=$\dfrac{\sqrt{2}}{2} (b+c-\sqrt{b^{2}+c^{2}})$

b/ Chứng minh S_ABC=$EB.EC$

c/ $AK=AG$

Câu 5: 

Cho $2014$ số không âm thỏa mãn: 

+) Tổng các số bằng $3$.

+) Tổng bình phương các số bằng $1$.

Chứng minh trong $2014$ số trên luôn tồn tại $3$ số có tổng lớn hơn hoặc bằng $1$.

Đề thi thành phố Bắc Giang năm học 2014-2015.

Câu 1:

a/ Cho biểu thức H = $(\dfrac{a-b}{\sqrt{a^{2}-b^{2}}-a+b}+\dfrac{\sqrt{a-b}}{\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}}).\dfrac{a^{2}+3b^{2}}{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}$

Biết $a-b=1$. Tìm GTNN của H.

b/ Cho ba số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn: $a+b+c=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2$

Tính giá trị của: M=$\sum\dfrac{1+a}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$

Câu 2:

a/ Tìm $x,y$ nguyên thỏa mãn: $x^{2}(y^{2}-5)=y(y-x)$

b/ Giải phương trình: $4\sqrt{x^{3}+3x^{2}}+2\sqrt{2x-1}=4x^{2}+3x+3$

Câu 3:

a/ Tìm$a$ biết $a +\sqrt{24}$ và $\dfrac{1}{a}-\sqrt{24}$ là các số nguyên

b/ Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn: $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{3}{2}$

Tìm GTLN của:

H =$\dfrac{1}{\sqrt{5a^{2}+2ab+2b^{2}}}+\dfrac{1}{\sqrt{5b^{2}+2bc+2c^{2}}}+\dfrac{1}{\sqrt{5c^{2}+2ca+2a^{2}}}$

Câu 4:

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ($AB\geqslant AC$). Độ dài 3 cạnh lần lượt là $c,b,a$. Vẽ đường cao $AH$. Vẽ đường tròn $(O;R)$ nội tiếp tam giác $ABC$ và tiếp xúc các cạnh $AB,BC,CA$ lần lượt tại $M,N,E$. Gọi $I$ là trung điểm $AC$. $IO$ căt $AB$ tại $K$. $ME$ cắt $AH$ tại $G$. Chứng minh rằng

a/  $AO$=$\dfrac{\sqrt{2}}{2} (b+c-\sqrt{b^{2}+c^{2}})$

b/ Chứng minh S_ABC=$EB.EC$

c/ $AK=AG$

Câu 5: 

Cho $2014$ số không âm thỏa mãn: 

+) Tổng các số bằng $3$.

+) Tổng bình phương các số bằng $1$.

Chứng minh trong $2014$ số trên luôn tồn tại $3$ số có tổng lớn hơn hoặc bằng $1$.

Đề bài:

Cho đa giác lồi $100$ đỉnh. Chứng minh rằng có thể chọn ra $3$ đỉnh sao cho đường tròn đi qua $3$ đỉnh đó chứa các đỉnh còn lại của đa giác.

Đề bài:

Cho đa giác lồi 100 đỉnh. Chứng minh có thể chọn ra 3 đỉnh sao cho đường tròn đi qua 3 đỉnh đó chứa các đỉnh còn lại của đa giác.

Đề bài:

Cho đa giác lồi 100 đỉnh. Chứng minh có thể chọn ra 3 đỉnh sao cho đường tròn đi qua 3 đỉnh đó chứa các đỉnh còn lại của đa giác.