Chứng minh:  $\inline \frac{2}{\sqrt{4-3\sqrt[4]{5}+2\sqrt{5}-\sqrt[4]{125}}}=1+\sqrt[4]{5}$

Để ý thấy

$4=5-1=(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)=(\sqrt[4]{5}-1)(\sqrt[4]{5}+1)(\sqrt{5}+1)$

Do vậy, ta sẽ chứng minh

$2\sqrt{4-3\sqrt[4]{5}+2\sqrt{5}-\sqrt[4]{125}}=(\sqrt[4]{5}-1)(\sqrt{5}+1)$

$\Leftrightarrow 4(4-3\sqrt[4]{5}+2\sqrt{5}-\sqrt[4]{125})=(\sqrt[4]{5}-1)^2(\sqrt{5}+1)^2$

$\Leftrightarrow 16-12\sqrt[4]{5}+8\sqrt{5}-4\sqrt[4]{125}=(\sqrt{5}-2\sqrt[4]{5}+1)(6+2\sqrt{5})$

Nhân tung ra thấy 2 vế bằng nhau là được.

chứng minh $\frac{2}{4-3\sqrt[4]{5}+2\sqrt{5}-\sqrt[4]{125}}=1+\sqrt[4]{5}$

Bấm máy tính thấy sai đề :v

Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta có BĐT:

$(1+\frac{1}{n})^n< 3$

https://diendantoanh...ac1n-right-n-3/

c1, mk tách thành $(4x^{2}+5x+4x+5+x+2)(x+2)=\sqrt[3]{4x+5}$

rồi đặt $a=x+2; b=\sqrt[3]{4x+5}$

$\Rightarrow a^{2}b^{3}-ab^{3}+a^{2}-b=0$

..các bạn phân tích giúp mk theo cách này đc k

Cái phương trình lúc sau không phân tích thành nhân tử được đâu nhé .

Mọi người giúp em với ạ

 

Cho hàm số $f(x)=x^4-2x^2$. Hàm số $g(x)=f'(x)-4x^2$ đạt cực trị tại hai điểm $x_1$, $x_2$. Tích $g(x_1).g(x_2)$ có giá trị bằng: 

A. $\frac{80}{27}$

B. $-\frac{80}{27}$

C. $-\frac{248}{27}$

D. $\frac{248}{27}$

Có $g(x)=f'(x)-4x^2=4x^3-4x-4x^2$

Suy ra $g'(x)=12x^2-4-8x$

Lại có $g'(x)=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x_1=1\\ x_2=\frac{-1}{3} \end{bmatrix}$

Mà $g''(x)=24x-8$

Nên $\left\{\begin{matrix} g''(x_1)>0\\ g''(x_2)<0 \end{matrix}\right.$

Do đó hàm số $g(x)$ có điểm cực đại tại $x_2$ và cực tiểu tại $x_1$, thay vào tính được $g(x_1).g(x_2)=\frac{-80}{27}$

Vậy chọn B.

Tìm Min của:

$y=\left ( cos^{2}3x+\frac{1}{2}sinxsin5x\right )^{4}+\left (sin^{2}2x+\frac{1}{2}sinxsin5x\right )^{4}$

Áp dụng $\frac{x^4+y^4}{2}\geq(\frac{x+y}{2})^4$ có 

$y\geq2.(\frac{cos^23x+sin^22x+sinx.sin5x}{2})^4=2.(\frac{1}{2})^4=\frac{1}{8}$

Dấu $"="$ xảy ra khi $cos^23x=sin^22x\Leftrightarrow x=\pm\frac{\pi}{2}+k2\pi$

1) Cho phương trình: $\frac{sin^{6}x+cos^{6}x}{cos^{2}x-sin^{2}x}=m.tan2x$. Có bao nhiêu số nguyên $m\in [-10;10]$ để phương trình có nghiệm.

Ta có $\frac{sin^6x+cos^6x}{cos^2x-sin^2x}=m.tan2x$

$\Leftrightarrow \frac{1-3sin^2x.cos^2x}{cos2x}=m.tan2x$

$\Rightarrow 1-\frac{3}{4}.sin^22x=m.sin2x$

$\Leftrightarrow \frac{3}{4}.sin^22x+msin2x-1=0$

Đến đây thì đơn giản rồi, chỉ cần tìm m để phương trình có nghiệm $sin2x$ thuộc khoảng $(-1;1)$ (bằng cách dùng $\Delta$ và định lí Viète)

Chứng minh rằng

$cosx\geq cos(x+sinx)$

Đặt $a_k=x+k2\pi$ (cho dễ viết :v)

Dế thấy hàm $cosx$ nghịch biến trên khoảng $(0;\pi)$ và đồng biến trên khoảng $(\pi;2\pi)$

Xét $a\in(0;\pi)$, suy ra $sina>0$, suy ra $a<a+sina$, nên $cosa>cos(a+sina)$

Xét $a\in(\pi;2\pi)$, suy ra $sina<0$, suy ra $a>a+sinx$, nên $cosa>cos(a+sina)$

Xét $a=0$, a=$\pi$, $a=2\pi$, thay trực tiếp

Vậy ...

p/s: làm bừa :v

1, $\left\{\begin{matrix} (x+\sqrt{x^{2}+4})(y+\sqrt{y^{2}+1})=2 & & \\ 12y^{2}-10y+2=2\sqrt[3]{x^{3}+1}& & \end{matrix}\right.$

Xét phương trình thứ nhất, ta có

$(x+\sqrt{x^2+4})=\frac{2}{y+\sqrt{y^2+1}}$

$\Leftrightarrow \frac{-4}{x-\sqrt{x^2+4}}=-2(y-\sqrt{y^2+1})$

$\Leftrightarrow (x-\sqrt{x^2+4})(y-\sqrt{y^2+1})=2$

Do đó ta có hệ

$\left\{\begin{matrix} (x+\sqrt{x^2+4})(y+\sqrt{y^2+1})=2\\ (x-\sqrt{x^2+4})(y-\sqrt{y^2+1})=2 \end{matrix}\right.$

Lấy phương trình trên trừ phương trình dưới được 

$x\sqrt{y^2+1}=-y\sqrt{x^2+4}$

Suy ra $x$ và $y$ trái dấu, do đó

$\Leftrightarrow \frac{-x}{y}=\sqrt{\frac{x^2+4}{y^2+1}}$

$\Leftrightarrow \frac{x^2}{y^2}=\frac{x^2+4}{y^2+1}$

$\Leftrightarrow x^2=4y^2$

Do đó có

$x=-2y$

Thay vào phương trình thứ hai tìm được nghiệm.

P/s: Còn một cách xét hàm số để chứng minh $x=-2y$

Từ phương trình thứ nhất suy ra $x+\sqrt{x^2+4}=\frac{2}{y+\sqrt{y^2+1}}=-2(y-\sqrt{y^2+1})=(-2y)+\sqrt{(-2y)^2+4}$

Đến đây xét $f(t)=t+\sqrt{t^2+4}$ rồi chứng minh đồng biến suy ra $x=-2y$

Tìm 2 số có tổng là 170 . Nếu tăng số thứ nhất lên 5 lần và tăng số thứ 2 lên 3 lần thì tổng mới là 794 . 

Gọi 2 số là a và b, ta có hệ $\left\{\begin{matrix} a+b=170\\ 5a+3b=794 \end{matrix}\right.$ Giải hệ tìm được $a=142, b=28$

Tìm quỹ tích điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn: $|z+2+i|=|\overline{z}-3i|$

Đặt $z=a+bi\Rightarrow \overline{z}=a-bi$

Khi đó $\left\{\begin{matrix} z+2+i=(a+2)+(b+1)i\\ \overline{z}-3i=a-(b+3)i \end{matrix}\right.$

Như vậy ta có $(a+2)^2+(b+1)^2=a^2+(b+3)^2\Rightarrow a=b+1$

Do đó quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng $x-y-1=0$

Sao 45=25 vậy anh ,em chưa hiểu

Nhìn kĩ phần trước số 45 và phần trước số 25 sẽ hiểu

Cho p(x) bậc 10 thoả mãn p(2^i) =i với i<11,i tự nhiên. Tìm hệ số của x

$P(2^i)=i$ với mọi i tự nhiên bé hơn 11 hay i cố định cho trước?

Cho A=444....444( 2n chữ số 4) , B=2222........2222( n+1 chữ số 2) , C=888.....88(n chữ số 8_

CMR: A +B+C + 7 là sô chính phương

Ta có

                                                       $A+B+C+7$

                                                     $=4.\frac{10^{2n}-1}{9}+2.\frac{10^{n+1}-1}{9}+8.\frac{10^n-1}{9}+7$

                                                     $=\frac{4(10^{2n}-1)+2(10^{n+1}-1)+8(10^n-1)+63}{9}$

                                                     $=\frac{4.10^{2n}+2.10^{n+1}+8.10^n+49}{9}$

                                                     $=\frac{4(10^{2n}+2.10^n+1)+2.10^{n+1}+45}{9}$$=\frac{4(10^n+1)^2+2.10.(10^n+1)+25}{9}$

                                                     $=\frac{\left[2.(10^n+1)\right]^2+2.\left[2.(10^n+1)\right].5+5^2}{9}$

                                                     $=\frac{\left[2(10^n+1)+5\right ]^2}{9}=\left(\frac{2.10^n+7}{3}\right )^2$

Vậy ta có đpcm.

Cho dãy $\left\{x_n\right\}: \left\{\begin{matrix} x_1=1,x_2=a>0\\ x_{n+2}=\sqrt[3]{x_{n+1}^2.x_n} \end{matrix}\right.$

Chứng minh $x_n$ hội tụ, tìm giới hạn

bạn phải chuyển vế rồi căn bậc 2 cả 2 vế vì nếu dấu bằng xảy ra thì:

$sin(\frac{2x}{1+x^2})=\frac{1}{4}\Leftrightarrow \frac{2x}{1+x^2}\approx 14,7^{\circ}$ vô lí 

Sai rồi, đơn vị góc phải đo bằng radian, nếu $sin(\frac{2x}{1+x^2})=\frac{1}{4}\Leftrightarrow \frac{2x}{1+x^2}\simeq 0,2526$ thì vô lý ở đâu?

Cho dãy $(x_n):\left\{\begin{matrix} x_1=x_2=1\\ x_{n+1}=x_n+\frac{2\sqrt{x_{n-1}}}{n^3} \end{matrix}\right.$

Chứng minh $x_n<\frac{25}{4},\forall n$

Bài 21:

a, x^8 +14x^4 +1

b,x^8 +98x^4 +1

a, $(x^4-2x^3+2x^2+2x+1)(x^4+2x^3+2x^2-2x+1)$

b, $(x^4-4x^3+8x^2+4x+1)(x^4+4x^3+8x^2-4x+1)$

Giải phương trình

$3cosx(1-\sqrt{sinx})-cos2x=2\sqrt{sinx}.sin^2x-1$

$63$ Cho hàm số $y=3-2cosx-cos2x$ đạt cực tiểu tại:

2017-08-04_152130.png

Mọi người giúp em bài này với ạ... E đạo hàm hoài ko được...

Câu 63.

Đặt $y=f(x)=3-2cosx-cos2x$, suy ra $f'(x)=2sinx+sin2x$

Khi đó $f'(x)=0\Leftrightarrow 2sinx+sin2x=0\Leftrightarrow 2sinx+2sinxcosx=0\Leftrightarrow 2sinx(cosx+1)=\Leftrightarrow \begin{bmatrix} sinx=0\\ cosx=-1 \end{bmatrix}\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=k\pi\\ x=\pi+k2\pi \end{bmatrix}$

Đến đây tính các $f(x)$ thì tìm được $Minf(x)=0\Leftrightarrow x=k2\pi$

Vậy chọn A.

Câu 64 

Đặt $y=f(x)=sinx-cosx$, suy ra $f'(x)=cosx+sinx$

Khi đó $f'(x)=0\Leftrightarrow sinx+cosx=0$, mà lại có $sin^2x+cos^2x=1$ nên suy ra $2sinxcosx=(sinx+cosx)^2-(sin^2x+cos^2x)=-1$, do đó $sinx-cosx=\pm\sqrt{(sinx-cosx)^2}=\pm\sqrt{2}$

     Nếu $sinx-cosx=\sqrt{2}$ thì $\left\{\begin{matrix} sinx=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ cosx=\frac{-\sqrt{2}}{2} \end{matrix}\right.$

          Suy ra $x=\frac{3\pi}{4}+k2\pi$

     Nếu $sinx-cosx=-\sqrt{2}$ thì $\left\{\begin{matrix} sinx=\frac{-\sqrt{2}}{2}\\ cosx=\frac{\sqrt{2}}{2} \end{matrix}\right.$

          Suy ra $x=\frac{-\pi}{4}+k2\pi$

Đến đây tính được $f(k2\pi)=-1;f(-\frac{\pi}{4}+k2\pi)=-\sqrt{2};f(\frac{3\pi}{4}+k2\pi)=\sqrt{2}$

Vậy .....

Bạn chỉ mình cách đạo hàm căn thức với... Mình đạo hàm hoài nó ko có ra....

Tổng quát luôn nè, đặt $f(x)=\sqrt[m]{u^n}$ (m,n là 2 số thực, u là 1 hàm của x)

Khi đó $f'(x)=(\sqrt[m]{u^n})'=(u^\frac{n}{m})'=\frac{n}{m}.u^{\frac{n}{m}-1}.u'=\frac{n}{m}.\sqrt[m]{u^{n-m}}.u'$

Với bài của bạn, ta tính $2$ đạo hàm của $f_1(x)=\sqrt{1-x^2}$ và $f_2(x)=2\sqrt[3]{(1-x^2)^2}$

Áp dụng công thức ở trên tính được $f_1'(x)=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$ và $f_2'(x)=\frac{-8x}{3\sqrt[3]{1-x^2}}$

Mọi người giúp em với ^^

2017-08-03_181925.png

Ta có $f'(x)=\frac{8x}{3\sqrt[3]{1-x^2}}-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$

Khi đó $f'(x)=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=0\\ x=\pm 1\\ x=\pm\sqrt{\frac{261415}{262144}} \end{bmatrix}$

Đến đây tính các $f(x)$ thì tìm được max thôi

Anh Trọng muốn tìm người tâm sự, anh Bách cũng muốn tìm người tâm sự, vậy tại sao chúng ta không ủng hộ họ đến với nhau nhỉ?

2017-08-02_212630.png

Tính được $f'(x)=1-\frac{4}{x^2}$, suy ra $f'(x)=0\Leftrightarrow x=2$, do $x\in[1;3]$, từ đó tính được $M=\underset{[1;3]}{Maxf(x)}=f(1)=5$

Tính được $g'(x)=\frac{2x^2+4x-6}{(x+1)^2}$, suy ra $g'(x)=0\Leftrightarrow 2x^2+4x-6=0\Leftrightarrow x=1$, do $x\in[0;2]$, từ đó tính được $m=\underset{[0;2]}{ming(x)}=g(1)=1$

Vậy $M+m=5+1=6$

Cái đoạn

"'$f'(x)=3-\frac{8}{x^3}$. 

Khi đó $f'(x)=0\Leftrightarrow x=\frac{2}{\sqrt[3]{3}}$"

 

Làm sao để suy ra được? Bạn chỉ mình cách bấm với...

Cái này giải phương trình bình thường thôi mà 

$3-\frac{8}{x^3}=0\Leftrightarrow 3=\frac{8}{x^3}\Leftrightarrow x^3=\frac{8}{3}\Leftrightarrow x=\frac{2}{\sqrt[3]{3}}$.