Mong các anh chị chỉ cho em biết về các khái niệm : 

Định lí THẶNG DƯ Trung Hoa, 

Định lí VỀ SỐ DƯ Trung Hoa, 

Định lí PHẦN DƯ Trung Hoa. 

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỒNG DƯ.

Cho mình hỏi $(\frac{a+b}{2})^{2} \leq \frac{a^{2}+b^{2}}{2}$ là bất đẳng thức Cauchy quen biết phải không ạ? Mọi người nói rõ hơn về bất đẳng thức này giúp mình với. Cảm ơn nhiều nhé!

]

Theo mình thì đây ko phải là Bất đẳng thức Cauchy đâu bạn !

$(\frac{a+b}{2})^{2}\leq \frac{a^{2}+b^{2}}{2}\Leftrightarrow 2(a^{2}+b^{2})\geq (a+b)^{2}\Leftrightarrow (a-b)^{2}\geq 0$

Có nghĩa là BĐT này đúng với mọi số, trong khi BDT Cauchy là : $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$ chỉ đúng với mọi số a, b không âm.

Ta có thể gọi đây là 1 BDT phụ trong giải toán.

ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10

Môn : Toán Chuyên

Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Bài 1 : 

a) Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho $16p + 1$ là lập phương của một số tự nhiên.

b) Cho các số thực phân biệt $a,b,c$ thỏa mãn : $(a-b)(b-c)(c-a)=(a+b)(b+c)(c+a)$

Tính giá trị biểu thức :

$P=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$

Bài 2 : 

a) Giải phương trình : $3\sqrt{x+4}+3\sqrt{1-x}+4\sqrt{3x+9}=x^{2}+7x+21$

b) Tìm tất cả các bộ số dương $(x;y;z)$ thỏa mãn hệ phương trình : 

$\left\{\begin{matrix} 2yz=x^{2}-73\\2zx=y^{2}+2 \\ 2xy=z^{2}+71 \end{matrix}\right.$

Bài 3 : 

a) Cho $a< b< c$ là các số dương thỏa mãn : $ab+bc+ca=3$. Chứng minh rằng : $ab^{2}c^{3}<4$

b) Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn : $ab+bc+ca=3$. Tìm Giá trị lớn nhất của biểu thức : 

$P=4(\frac{a}{\sqrt{a^{2}+3}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+3}})+\frac{9c}{\sqrt{c^{2}+3}}$

Bài 4 : Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$, có tia $AB$ cắt tia $CD$ tại $E$ và tia $AD$ cắt tia $BC$ tại $F$. Gọi $M$ là giao điểm thứ hai (khác $C$) của hai đường tròn $(BCE)$ và $CDF$. Chứng minh rằng : 

a) Ba điểm $E,M,F$ thẳng hàng.

b) Điểm $M$ thuộc đường tròn $(ADE)$.

c) $OM$ vuông góc $EF$

Bài 5 : Xét các số nguyên $a,b,c\in (-10^{6},10^{6})$ sao cho trong chúng có ít nhất một số khác 0. Chứng minh rằng : 

$\left | a+b\sqrt{3}+c\sqrt{5} \right |> \frac{1}{10^{21}}$

---HẾT---

(Võ Quốc Bá Cẩn)

Có bạn đăng rồi đấy bạn. Link : http://diendantoanho...uyên-2016-2017/

Cho mình hỏi ký hiệu gạch đứng đó có ý nghĩa gì vậy ?

có nghĩa là m là ước của n đó bạn.

Cho đa thức $A(x)$ khác đa thức không, thỏa mãn : $x.A(x-2)=(x-4).A(x)$ với mọi x. 

Chứng minh : Đa thức $A(x)$ có bậc hai

@Bổ sung : Trong đề, câu 1a thầy Cẩn có tham khảo từ trang web brilliant.org, câu 3 là đề thi học sinh giỏi thành phố Hồ Chí Minh, câu 5 thầy có tham khảo và chế lại từ đề thi Ams. (Các câu khác là sản phẩm cá nhân, nếu có trùng khớp ở đâu thì thành thật xin lỗi tác giả) - Thầy Cẩn nói. 

Bài 3 đấy bạn. http://diendantoanho...bc/#entry627271

Giải pt: $x^{4}-4x^{3}+x^{2}+4x+1=0$

Bạn lên mạng xem "PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LỆCH" là biết giải bài này ngay.

Mình cũng giải : 

Nhận thấy $x=0$ ko là nghiệm nên chia 2 vế của pt cho $x^{2}$

$x^{4}-4x^{3}+x^{2}+4x+1=0\Leftrightarrow (x^{2}+\frac{1}{x^{2}})-4(x-\frac{1}{x})+1=0$

Đặt $t=x-\frac{1}{x}\Rightarrow t^{2}+2=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$

Từ đó thế vào pt rồi giải t, tìm ra x.

$x^{4}-4x^{3}+x^{2}+4x+1= 0$

$\Leftrightarrow (x^{2}-3x-1)(x^{2}-x-1)= 0$

bài này hên nên mới có thể phân tích đc. Còn phương pháp giải dạng này nói chung là ở trên mình đã nói.

P/s : bạn đăng đến 2 lần.

A. Giải các phương trình : 

1/ $x^{3}=\frac{2x+10}{x^{4}}$

2/ $4x^{4}+3x^{3}+2x^{2}+5=0$

B.(nguồn : fb)

Solve the equation in $\mathbb{R}^{+}$

 $x+\frac{2016}{x}=[x]+\frac{2016}{[x]}$

pn ơi!! giải thick cụ thể chỗ (1) giúp mình đi !! chỗ đó mình k hiểu     

 

b) 

 

_ Có : $BE$ là phân giác nên : $\frac{CE}{BC}=\frac{EA}{AB}=\frac{EA-EC}{AB-BC}=\frac{(ED+AD)-(CD-ED)}{AB-BK}=\frac{2ED}{KA}$

$\Rightarrow \frac{CE}{ED}=\frac{2BC}{KA}=\frac{2BK}{KA}$  $(1)$

 

Bạn xem lại dòng trên của số (1) nhé. Có phải là ta có : $\frac{CE}{BC}=\frac{2ED}{KA}\Rightarrow \frac{CE}{ED}=\frac{2BC}{KA}$

Còn $BC=BK$ là do chứng minh ở câu a).   

 

$VT=\sqrt[3]{3(a+b+c)(ab+bc+ca)} \geq \sqrt[3]{(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})^2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})}=\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$

Ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$

$1. (a+b+c) \geq \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$

Bạn hien2000a có nói em mới đề ý chỗ đỏ ? Hình như theo BĐT anh nói thì ko đúng lắm ... 

chỗ này cơ:

3√3(a+b+c)(ab+bc+ca)≥3√√ab+√bc+√ca)2(ab+bc+ca)

$3(a+b+c)\geq (\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})^{2}$

$\Leftrightarrow 3(a+b+c)(ab+bc+ca)\geq (ab+bc+ca)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})^{2}$

$\Leftrightarrow \sqrt[3]{3(a+b+c)(ab+bc+ca)}\geq \sqrt[3]{(ab+bc+ca)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})^{2}}$

Bạn nên coi kỹ nhé ! Chỗ VP mà bạn hỏi là số 2 trong khi anh royal1534 ghi là mũ 2

cái dẳng thức ở giữa làm sao lam ra vậy ạ?

Dể hiểu mà bạn.

$(ab;bc;ca)\rightarrow (x;y;z)$ ($x;y;z$ dương)

Viết lại Bất đẳng thức : 

$3(x+y+z)\geq (\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^{2}\Leftrightarrow (x+y+z)+2(x+y+z)\geq (x+y+z)+2(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx})\Leftrightarrow x+y+z\geq \sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}$

Trở về BĐT 1.

Tam giác ABC có $AB > BC$ . BE là phân giác và BD là trung tuyến của tam giác. đường thẳng qua C vuông góc với BE cắt BE, BD, BA lần lượt tại F, G và K. DF cắt BC tại M. Chứng minh rằng:

   a) M là trung điểm của đoạn thẳng BC

   b) $\frac{DA}{DE}=1+\frac{BK}{DF}$

   c) Đường thẳng GE song song với đường thẳng BC

_ Mà theo kết quả câu b), có : $\frac{ED}{CE}=\frac{DF}{BK}$

nên $\frac{GD}{GB}=\frac{ED}{CE}$ 

_ Theo Ta-lét đảo, ta có : $GE//BC$

P/S : Mình quên vẽ điểm K, bạn chịu khó đọc ...   

dấu "=" xảy ra khi nào?

x=y=z=1

* Bài 1 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : 

1/ $x^{3}+3367=2^{y}$

2/ $1!+2!+...+x!=y^{2}$

* Bài 2 : Tìm nghiệm nguyên tố của phương trình :  $xyz=x+y+z+200$

* Bài 3 : Giải các phương trình nghiệm nguyên : 

1/ $1+x+x^{2}+x^{3}=1997^{y}$ (Ko biết có thể tổng quát bài toán lên được ko  )

2/ $(x^{2}-y^{2})^{2}=16y+1$

_ Ta có : 

$(a+\frac{1}{a})^{2}+(b+\frac{1}{b})^{2}=(a^{2}+b^{2})+(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}})+4$

_ Bằng biến đổi tương đương, ta có : 

$2(a^{2}+b^{2})\geq (a+b)^{2}\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}\geq \frac{1}{2}$

_ Áp dụng Bất đẳng thức $Cauchy$, ta có : 

$a+b\geq 2\sqrt{ab}\Leftrightarrow \sqrt{ab}\leq \frac{1}{2}\Leftrightarrow a^{2}b^{2}\leq \frac{1}{16}\Leftrightarrow \frac{1}{a^{2}b^{2}}\geq 16\Leftrightarrow \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}b^{2}}\geq \frac{1}{2}.16=8$

_ Nên : 

$VT\geq \frac{1}{2}+8+4=\frac{25}{2}=VP(đpcm)$

_ Dấu "=" khi : $a=b=\frac{1}{2}$

P/S : Bài này sẽ hay hơn nếu hỏi $min$ của biểu thức.  

Trang 3, đề của anh phamngochung9a.

Link đây ạ : http://diendantoanho...năm-2016/page-3

Bài 1 :

Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$

Tìm min 

$P=\frac{bc}{a^{2}(b+c)}+\frac{ca}{b^{2}(c+a)}+\frac{ab}{c^{2}(a+b)}$

Bài 2 :

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=1$

Chứng minh :

$7(ab+bc+ca)\leq 2+9abc$

Bài 3 :

Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh tam giác. Chứng minh : 

$\frac{4a}{b+c-a}+\frac{9b}{a+c-b}+\frac{16c}{a+b-c}\geq 26$

P/S : Các bạn giải càng nhiều cách càng tốt !

Xin đóng góp câu Bất đẳng thức :

$\Leftrightarrow (\frac{3b+4c+2020}{1+2a}+1)+(\frac{2a+4c+2020}{1+3b}+1)+(\frac{2a+3b+2020}{1+4c}+1)\geq 18 \Leftrightarrow (2a+3b+4c+2020)(\frac{1}{1+2a}+\frac{1}{1+3b}+\frac{1}{1+4c})\geq 18\Leftrightarrow \frac{1}{1+2a}+\frac{1}{1+3b}+\frac{1}{1+4c}\geq \frac{18}{4036}=\frac{9}{2018}$ (do : $\frac{18}{2a+3b+4c+2010}=\frac{18}{4036}$ )

mà theo Cauchy-Schwarz, ta có : 

$\frac{1}{1+2a}+\frac{1}{1+3b}+\frac{1}{1+4c}\geq \frac{9}{3+2a+3b+4c}=\frac{3}{2018}$

nên ta có đpcm.

Dấu "=" khi : $a=\frac{2015}{6};b=\frac{2015}{9};c=\frac{2015}{12}$

* Bài 1 :

Cho các số $a,b,c$ thỏa : $a\geq 72;b\geq 60;c\geq 55$

Tìm min : 

$P=\frac{ab\sqrt[12]{c-55}+bc\sqrt[19]{a-72}+ca\sqrt[21]{b-60}}{abc}$

 * Bài 2 :

Tìm số nguyên tố $n$ để $n^{3}+9$ là số chính phương. 

Đề thi : 

Nguồn : FB

Có ai có được đề SASMO (Singapore and Asian Schools Math Olympiads) năm 2016 vừa thi vào ngày 10/4/2016 không ạ ? Nếu anh chị/bạn nào có đề thì cứ đăng lên đi ạ (nhất là trong cấp THCS).

Link thông tin thi : http://titan.edu.vn/...intuc.asp?id=85 

Áp dụng bất dẳng thức $C-S$ có

$\frac{1}{1+a+b^2}\leq\frac{a+c+1}{(a+b+c)^2}$

Suy ra

$\sum\frac{1}{1+a+b^2}\leq\frac{2(a+b+c)+3}{(a+b+c)^2}$

Hay cần chứng minh 

$\frac{2(a+b+c)+3}{(a+b+c)^2}\leq 1$

$\Leftrightarrow (a+b+c+1)(a+b+c-3)\geq 0$

Vậy ta có $Q.E.D$

_ Bài của bạn hay thật. Tuy nhiên một vài chỗ mình chưa hiểu :

* Nếu a = b = c = 1 thì dấu bằng xảy ra, không kể.

* Nếu a < 1, b = 1, c > 1 ví dụ như số của bạn kieutuanduc (a = 0.5; b = 1; c = 2) thì rõ ràng không có :

$\sum \frac{1}{1+a+b^{2}} \leq \frac{2(a+b+c)+3}{(a+b+c)^{2}}$

do

$\frac{1}{1+c+a^{2}}\leq \frac{1+b+c}{(a+b+c)^{2}}\Leftrightarrow \frac{1}{1+2+0.5^{2}}\leq \frac{1+1+2}{(0.5+1+2)^{2}}\Leftrightarrow \frac{4}{13}\leq \frac{4}{49}(vô lí)$

Tuy nhiên mình nghĩ hướng bài này là vận dụng Cauchy-Schwarz.