bt phương trình nghiệm nguyên

d, $x^{4}, y^{4}, z^{4}\equiv 0;1(mod 16)$

$\Rightarrow x^{4}+y^{4}+z^{4}\equiv 0;1;2;3(mod 16)$

Mà $2014\equiv 14(mod 16)$

$\Rightarrow$ Pt không có nghiệm nguyên

Giải hệ phương trình \: $\left\{\begin{matrix} \left ( 4x+3 \right )\left ( \sqrt{4-y} +\sqrt[3]{3x+8}-1\right )=9 & & \\ \left ( x+\sqrt{x^2+4} \right )\left ( y+\sqrt{y^2+4} \right )=4 & & \end{matrix}\right.$

P/S: cần lời giải phần sau

Pt(2)$\Leftrightarrow (x+\sqrt{x^{2}+4})(x-\sqrt{x^{2}+4})(y+\sqrt{y^{2}+4})=4(x-\sqrt{x^{2}+4})$

$\Leftrightarrow -4(y+\sqrt{y^{2}+4})=4(x-\sqrt{x^{2}+4})$

$\Leftrightarrow x+y=\sqrt{x^{2}+4}-\sqrt{y^{2}+4}$(*)

Liên hợp pt(2) một lần nữa với $(y-\sqrt{y^{2}+4})$ ta được: $x+y=\sqrt{y^{2}+4}-\sqrt{x^{2}+4}$(**)

(*)+(**)$\Rightarrow x+y=0$

Đến đây dễ rồi

Giải các phương trình sau bằng phương pháp đặt ẩn phụ:

7. ĐK: $2-x^{2}\geq 0, 2-\frac{1}{x^{2}}\geq 0$

Pt$\Leftrightarrow (\sqrt{2-x^{2}}+x)+(\sqrt{2-\frac{1}{x^{2}}}+\frac{1}{x})=4$

Ta có:

$(\sqrt{2-x^{2}}.1+x.1)^{2}\leq (2-x^{2}+x^{2})(1+1)\leq 4 \Rightarrow \sqrt{2-x^{2}}+x\leq 2$

Tương tự: $\sqrt{2-\frac{1}{x^{2}}}+\frac{1}{x}\leq 2$

$\Rightarrow VT\leq VP$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} &\dfrac{\sqrt{2-x^{2}}}{x}=1 \\ &\dfrac{\sqrt{2-\dfrac{1}{x^{2}}}}{\dfrac{1}{x}}=1 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow x=1$

5.$7x^{2}+7x=\sqrt{\frac{4x+9}{28}}$

7.$2x^{2}+4x=\sqrt{\frac{x+3}{2}}$

5. ĐK: $x\geq \frac{-9}{4}$

Đặt $\sqrt{\frac{4x+9}{28}}=y+\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{4x+9}{28}=y^{2}+y+\frac{1}{4}$

$\Leftrightarrow x+\frac{9}{4}=7y^{2}+7y+\frac{7}{4}$

$\Leftrightarrow x+\frac{1}{2}=7y^{2}+7y$

Mà $y+\frac{1}{2}=7x^{2}+7x$ nên ta có hệ:

$\left\{\begin{matrix} &x+\frac{1}{2}=7y^{2}+7y \\ &y+\frac{1}{2}=7x^{2}+7x \end{matrix}\right.$ 

Đây là hệ đối xứng loại 2 nên dễ rồi

7. Đặt $\sqrt{\frac{x+3}{2}}=y+1$, làm tương tự

8. Pt$\Leftrightarrow 81x^{2}+54x=\sqrt{9x+12}$

Đặt $\sqrt{9x+12}=9y+3$, làm tương tự

Tham khảo bài 2 tại đây nhé

2)Cho $0\leq a,b,c\leq 2$ thỏa mãn $a+b+c=3$

Chứng minh rằng $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 5$

3)Cho $-1\leq a,b,c\leq 1$ thõa mãn $a+b+c=0$

Chứng minh rằng $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 2$

2) Ta có:

$(2-a)(2-b)(2-c)\geq 0$

$\Leftrightarrow 2(ab+bc+ca)\geq abc+4\geq 4 \Leftrightarrow (a+b+c)^{2}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}+4$

$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 5$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow (a;b;c)=(0;1;2)$ và các hoán vị

3) Làm tương tự

 Cho a ≥ 0, b ≥ 0; a và b thoả mãn 2a + 3b ≤ 6 và 2a + b ≤ 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = a² - 2a – b

3.Cho 2y>x>0.CM: $\frac{1}{x^{3}(2y-x)}+x^{2}+y^{2}\geq 3$

Ta có: $\frac{1}{x^{2}.x(2y-x)}+x^{2}+y^{2}\geq \frac{1}{x^{2}.\frac{(x+2y-x)^{2}}{4}}+x^{2}+y^{2}=\frac{1}{x^{2}y^{2}}+x^{2}+y^{2}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{x^{2}y^{2}}.x^{2}.y^{2}}=3$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow x=y$

Cho A=2$x$+$\frac{9}{x-1}$ ($x>1$). Tìm GTNN của A

Áp dụng Cô-si ta có:

$A=2(x-1)+\frac{9}{x-1}+2\geq 2\sqrt{2(x-1).\frac{9}{x-1}}+2=2+6\sqrt{2}$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow 2(x-1)=\frac{9}{x-1}\Rightarrow x=\frac{3}{\sqrt{2}}+1$

$\sqrt{2-4x}+\sqrt{6+4x}=x^{2}+x+\frac{17}{4}$

ĐK: $\frac{-3}{2}\leq x\leq \frac{1}{2}$

Ta có: $(1.\sqrt{2-4x}+1.\sqrt{6+4x})^{2}\leq 2(2-4x+6+4x)=16$

$\Rightarrow x^{2}+x+\frac{17}{4}=\sqrt{2-4x}+\sqrt{6+4x}\leq 4$

$\Leftrightarrow (x+\frac{1}{2})^{2}\leq 0 \Leftrightarrow x=\frac{-1}{2}$(thoả mãn)

6.Cho a,b,c$>$0.CM: $\frac{ab}{a+3b+2c}+\frac{bc}{b+3c+2a}+\frac{ca}{c+3a+2b}\leq \frac{a+b+c}{6}$

Ta có:

$\sum \frac{ab}{a+3b+2c}=\sum \frac{ab}{(a+c)+(b+c)+2b}\leq \sum \frac{1}{9}(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}+\frac{a}{2})=\frac{1}{9}(a+b+c+\frac{a+b+c}{2})=\frac{a+b+c}{6}$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c$

1.$\left\{\begin{matrix} 3x^{3}-y^{3}=\frac{1}{x+y} & & \\ x^{2}+y^{2}=1 & & \end{matrix}\right.$

Ta có: $3x^{3}-y^{3}=\frac{(x^{2}+y^{2})^{2}}{x+y}$

$\Leftrightarrow (3x^{3}-y^{3})(x+y)=(x^{2}+y^{2})^{2}$

$\Leftrightarrow 2x^{4}-xy^{3}-2x^{2}y^{2}+3x^{3}y-2y^{4}=0$

+) $y=0$ không là nghiệm của hệ

+) $y\neq 0$

$\Rightarrow 2.(\frac{x}{y})^{4}-\frac{x}{y}-2.(\frac{x}{y})^{2}+3.(\frac{x}{y})^{3}-2=0$

Đặt $\frac{x}{y}=t$

$\Rightarrow 2t^{4}+3t^{3}-2t^{2}-t-2=0 \Leftrightarrow (t-1)(t+2)(2t^{2}+t+1)=0$

Đến đây dễ rồi

Bác ơi.Điều kiện 2 bài khác nhau mà.Nếu dùng tiếp tuyến thì phải chứng minh bổ đề khác 

Lời giải đầy đủ ở đây, bạn nào thấy không đúng thì góp ý

Ở đây

Cho a, b, c>0. CMR:

$\dfrac{\dfrac{a}{b}+1}{\dfrac{b^2}{c^2}+1}+\dfrac{\dfrac{b}{c}+1}{\dfrac{c^2}{a^2}+1}+\dfrac{\dfrac{c}{a}+1}{\dfrac{a^2}{b^2}+1}+\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\ge 4$

Chứng minh bất đẳng thức 

$\sqrt{\frac{a}{b+c}} + \sqrt{\frac{b}{c+a}} + \sqrt{\frac{c}{a+b}} \geq \frac{3}{\sqrt{2}}$

Đề thiếu a, b, c dương kìa bạn

Bạn có thể tham khảo ở đây và đây

A,b là số thực thỏa mãn:

$2(a+b)^2+4ab \geq 3$.Tìm Min:

$P=5(a^4+b^4+a^2b^2)-2(a^2+b^2)+2016$

Ta có:

$P=5(a^{2}+b^{2})^{2}-5a^{2}b^{2}-2(a^{2}+b^{2})+2016\geq 5(a^{2}+b^{2})^{2}-5.\frac{(a^{2}+b^{2})^{2}}{4}-2(a^{2}+b^{2})+2016=\frac{15}{4}(a^{2}+b^{2})^{2}-2(a^{2}+b^{2})+2016$

Đặt $a^{2}+b^{2}=t\Rightarrow P=\frac{15}{4}t^{2}-2t+2016$

$6t=4(a^{2}+b^{2})+2(a^{2}+b^{2})\geq 2(a+b)^{2}+4ab\geq 3\Rightarrow t\geq \frac{1}{2}$

Đến đây thì dễ rồi

Cách khác

Sử dụng bđt Bunhacopski ta có:
$(1+xy)(1+\frac{x}{y}) \geq (1+x)^{2} $

$\rightarrow \frac{1}{(1+x)^{2}} \leq \frac{1}{(1+xy)(1+\frac{x}{y})} $

Thiết lập bđt tương tự và cộng lại ta có

$\frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{2}} \leq \frac{1}{1+xy}(\frac{1}{1+\frac{x}{y}}+\frac{1}{1+\frac{y}{x}})$$=\frac{1}{1+xy}(\frac{y}{x+y}+\frac{x}{x+y})=\frac{1}{1+xy}$

Vậy ta có đpcm.Đẳng thức xảy ra khi $x=y=1$

Ngược dấu rồi bạn ơi

Cho các số thực $a$,$b$:

$2a^{2}+\frac{b^{2}}{4}+\frac{1}{a^{2}}=4$. Tìm GTLN, GTNN của $Q$= $ab$+2014

Ta có:

$4=a^{2}+\frac{1}{a^{2}}+a^{2}+\frac{b^{2}}{4}\geq 4\sqrt[4]{\frac{a^{2}b^{2}}{4}}\Rightarrow a^{2}b^{2}\leq 4$

$2\leq ab\leq 2 \Leftrightarrow 2012\leq Q\leq 2016$

Vậy $Q_{min}=2012\Leftrightarrow a=-1, b=2$ hoặc $a=1, b=-2$

       $Q_{max}=2016\Leftrightarrow a=1, b=2$ hoặc $a=-1, b=-2$

Ngại gì không thử,yêu cầu ghi rõ cách giải:

12.$3\sqrt[3]{x}+\sqrt{x^{2}+8}-2=\sqrt{x^{2}+15}$                                                             

Pt$\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}+15}-4=3(\sqrt[3]{x^{2}}-1)+(\sqrt{x^{2}+8}-3)$

$\Leftrightarrow \frac{x^{2}-1}{\sqrt{x^{2}+15}+4}=\frac{3(x^{2}-1)}{\sqrt[3]{x^{4}}+\sqrt[3]{x^{2}}+1}+\frac{x^{2}-1}{\sqrt{x^{2}+8}+3}$ $\Leftrightarrow x=\pm 1$ hoặc $\frac{3}{\sqrt[3]{x^{4}}+\sqrt[3]{x^{2}}+1}+(\frac{1}{\sqrt{x^{2}+8}+3}-\frac{1}{\sqrt{x^{2}+15}+4})=0$(VN vì $\frac{1}{\sqrt{x^{2}+8}+3}-\frac{1}{\sqrt{x^{2}+15}+4}> 0$)

 

Giải các hệ phương trình sau:

c) $\begin{cases}\ x+y=4xy \\(2x+3)\sqrt{4x-1}+(2y+3)\sqrt{4y-1}=2\sqrt{(2x+3)(2y+3)}\end{cases}$

d) $\begin{cases}\ 1+\sqrt[4]{\sqrt{xy^9}-y^4}=y(1-x) \\\sqrt[4]{x^2y^3}+\sqrt[4]{xy-y+1}=\sqrt[4]{y}\end{cases}$

c) ĐK: $x\geq \frac{1}{4}, y\geq \frac{1}{4}$

Pt(1)$\Leftrightarrow (4x-1)(4y-1)=1 Ta có: (2x+3)\sqrt{4x-1}+(2y+3)\sqrt{4y-1}\geq 2\sqrt{(2x+3)(2y+3)\sqrt{(4x-1)(4y-1)}}=2\sqrt{(2x+3)(2y+3)}$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$

d) Pt(1): $y(1-x)\geq 1+\sqrt[4]{\sqrt{xy^{9}}-y^{4}}\geq 1 \Rightarrow y\geq xy+1$

Mà từ pt(2) ta có: $xy-y+1\geq 0\Leftrightarrow y\leq xy+1$

$\Rightarrow y=xy+1$

Đến đây dễ rồi

Cho $a, b, c> 0$ thoả mãn $a+b+c=3$. CMR:

$\sum \frac{1}{1+ab}\geq \frac{9}{2(\sum \sqrt{a})}$

giải phương trình 

Pt$\Leftrightarrow x^{3}-x^{2}-11x-4+\left [ (x+2)-\sqrt[3]{7x^{2}+23x+12} \right ]=0$

$\Leftrightarrow x^{3}-x^{2}-11x-4+\dfrac{x^{3}+6x^{2}+12x+8-7x^{2}-23x-12}{x+2+\sqrt[3]{7x^{2}+23x+12}}=0$

$\Leftrightarrow (x-4)(x^{2}+3x+1)+\dfrac{(x-4)(x^{2}+3x+1)}{x+2+\sqrt[3]{7x^{2}+23x+12}}=0$

Đến đây dễ rồi.

Giải PT:

$2\sqrt{x-1}+5x=\sqrt{(x^{2}+4)(x+24)}$