Bài 83: Giải phương trình nghiệm nguyên dương:
$x^3-(x+y+z)^2=(y+z)^3+34$
Có 95 mục bởi xuanhoan23112002 (Tìm giới hạn từ 29-04-2020)
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 22-04-2018 - 23:08 trong Tài liệu - Đề thi
Bài 83: Giải phương trình nghiệm nguyên dương:
$x^3-(x+y+z)^2=(y+z)^3+34$
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 22-04-2018 - 23:11 trong Tài liệu - Đề thi
Cách của bạn Linh đúng rồi mọi người thử tìm các cách khác chẳng hạn như dùng nguyên lí Đirichlet
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 22-04-2018 - 23:14 trong Tài liệu - Đề thi
Bài 79: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$. CMR:
$(a^2-a+1)(b^2-b+1)(c^2-c+1)\geq 1$
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 23-04-2018 - 13:07 trong Tài liệu - Đề thi
Bài 81(VMO 2015): Cho a, b, c là các số thực dương. CMR:
$3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq (a+b+c)^2$
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 23-04-2018 - 13:14 trong Tài liệu - Đề thi
Bài 85(VMO 2007): Cho x, y là các số nguyên, $x\neq -1, y\neq -1$ thoả mãn: $\frac{x^4-1}{y+1}+\frac{y^4-1}{x+1}$ là số nguyên. CMR
$x^{4}y^{44}-1$ chia hết cho x+1
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 23-04-2018 - 19:52 trong Tài liệu - Đề thi
Bài 84: Cho $0< x, y, z< 1$ thỏa mãn: $xyz=(1-x)(1-y)(1-z)$. CMR: $x^2+y^2+z^2\geq \frac{3}{4}$
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 23-04-2018 - 19:56 trong Tài liệu - Đề thi
Bài 85: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+abc=4$. CMR:
$a+b+c\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 23-04-2018 - 20:09 trong Tài liệu - Đề thi
Bài 91: Tìm tất cả các cặp số (p, n) với p là số nguyên tố và n là số nguyên dương thỏa mãn:
$p^3-2p^2+p+1=3^n$
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 23-04-2018 - 21:32 trong Tài liệu - Đề thi
Bài 94: Giải phương trình nghiệm nguyên: $x^3-x^2+8=y^2$
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 28-04-2018 - 15:19 trong Bất đẳng thức - Cực trị
Problem: Cho $a_{1}, a_{2},...,a_{19}$ là các số tự nhiên thỏa mãn: $a_{1}+a_{2}+...+a_{19}=26.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của: $S=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{19}^{2}.$
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 29-04-2018 - 07:55 trong Tài liệu - Đề thi
Bài 106: Cho a1, a2,...,a19 là các số tự nhiên thỏa mãn: a1+a2+...+a19 =26. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
S=a12+a22+...+a192
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 06-05-2018 - 16:28 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.
2 ngày thì mọi người làm đc mấy bài
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 08-05-2018 - 21:35 trong Bất đẳng thức và cực trị
BĐT$\Leftrightarrow \frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{bc+bd}+\frac{c^2}{cd+ca}+\frac{d^2}{da+db}\geq 2$
Ta có VT$\geq \frac{(a+b+c+d)^2}{(a+d)(b+c)+(c+d)(a+b)}$( theo BĐT Cauchy-Schwarz)
Mà cũng theo BĐT AM-GM ta cũng có $(a+d)(b+c)+(a+b)(c+d)\leq \frac{(a+b+c+d)^2}{2}$
Do đó VT$\geq 2$
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra$\Leftrightarrow$ $a= b= c= d> 0$
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 08-05-2018 - 22:54 trong Tài liệu - Đề thi
P/s: Topic dạo này buồn quá. Bài mới nha mọi người
Bài 123: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq 1$. Chứng minh rằng:
$a^2+b^2+c^2+7(ab+bc+ca)\geq \sqrt{8(a+b)(b+c)(c+a)}$
Chúc 2k3 thi tốt bình tĩnh, tự tin, chiến thắng đạt được những mục tiêu đã đề ra!
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 26-05-2018 - 15:38 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2+abc=4$. Chứng minh rằng:
$2a+b+c\leq \frac{9}{2}$
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 26-05-2018 - 17:55 trong Bất đẳng thức và cực trị
Đây là đề của ban xã hội bạn ạ.
Còn đây là lời giải của mình cho bài toán này các bạn có thể tham khảo:
Coi phương trình trên là phương trình bậc 2 ẩn a theo công thức nghiệm ta được
$a=\frac{-bc+\sqrt{(4-b^2)(4-c^2)}}{2}$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho căn thức trong biểu thức trên, ta có:
$a\leq \frac{-bc+\frac{4-b^2+4-c^2}{2}}{2}= \frac{8-(b+c)^2}{4}$
Từ đó ta có: $2a+b+c=\frac{8-(b+c)^2+2(b+c)}{2}=\frac{9-(b+c-1)^2}{2}\leq \frac{9}{2}$
P/s: Mình nghĩ đây là cách ngắn nhất và có thể thay số 2 trong đề bài bởi các số khác vẫn có thể giải tương tự.
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 27-05-2018 - 10:49 trong Tài liệu - Đề thi
Câu 5:
a. Có $\frac{1}{2}\sqrt{(a+3b)(b+3a)}\leq \frac{a+3b+b+3a}{4}=a+b$ (bất đẳng thức AM-GM)
Từ giả thiết: $\sqrt{a}+\sqrt{b}=1$
Bình phương 2 vế ta có: $2\sqrt{ab}=1-a-b$
Hay $4ab=(1-a-b)^2$
Nên bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$3(a+b)^2+(1-a-b)^2\geq 2(a+b)$
$\Leftrightarrow (2a+2b-1)^2\geq 0$ (luôn đúng)
Vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh.
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 27-05-2018 - 15:33 trong Bất đẳng thức và cực trị
Theo bất đẳng thức Schur ta có:
$(x+y+z)^3+9xyz\geq 4(x+y+z)(xy+yz+zx)$
$\Leftrightarrow 9xyz\geq 4(xy+yz+zx)-1$
$\Leftrightarrow 5xyz+1\geq 4(xy+yz+zx-xyz)$
Theo bất đẳng thức AM-GM ta có:
$xyz\leq \frac{(x+y+z)^3}{27}= \frac{1}{27}$
$\Rightarrow xy+yz+zx-xyz\leq \frac{8}{27}$
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 27-05-2018 - 17:05 trong Bất đẳng thức và cực trị
Ta có: $\sum \frac{ab+c^2}{a+b}+\sum c= \sum \frac{(c+a)(c+b)}{a+b}\geq 2(a+b+c)$ (bất đẳng thức AM-GM)
$\Rightarrow \sum \frac{ab+c^2}{a+b}\geq a+b+c$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c> 0$
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 27-05-2018 - 20:34 trong Tài liệu - Đề thi
Câu 6:
Ta có:$\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}=\frac{1}{\sqrt{(2a+b)^2+(a-b)^2}}\leq \frac{1}{2a+b}\leq \frac{1}{9}(\frac{2}{a}+\frac{1}{b})$ (bất đẳng thức Schwarz)
Chứng minh tương tự như trên ta có:
$P\leq \frac{1}{3a}+\frac{1}{3b}+\frac{1}{3c}$
Ta cũng có:$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq \sqrt{3(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})}=\sqrt{3}$ (bất đẳng thức AM-GM)
Từ đó ta có: $P\leq \frac{\sqrt{3}}{3}$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}$
Vậy MaxP = $\frac{\sqrt{3}}{3}\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}$.
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 29-05-2018 - 08:41 trong Tài liệu - Đề thi
Bài 138: Với a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\frac{2}{a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}}-\frac{3}{\sqrt{a+b+c}}$
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 29-05-2018 - 08:53 trong Đa thức
Bài 1: Cho đa thức $f(x)=x^{2018}+\sum a_ix^{i}($a_i\in {-1,1}, $\forall i\in \left \{ 0,1,...,2017 \right \}$$)$ không có nghiệm thực. Tìm số lớn nhất các hệ số = -1 trong f(x)
Bài 2: Tìm đa thức P(x) hệ số thực thỏa mãn:
$(P(x))^{3}-3(P(x))^{2}=P(x^{3})-3P(-x)$, với mọi x là số thực
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 29-05-2018 - 15:47 trong Bất đẳng thức và cực trị
Bài 3: Theo giả thiết ta có $0\leq a, b, c\leq 4$ nên
$$(4-a)(4-b)(4-c) \geq 0$$
$\Leftrightarrow 64+4(ab+bc+ca) \geq abc+16(a+b+c)$
$\Leftrightarrow ab+bc+ca\geq 8+\frac{abc}{4}\geq 8$
Do đó ta có: $P=(a+b+c)^2-(ab+bc+ca)\leq 36-8=28$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow (a, b, c)=(0, 2, 4)$ và các hoán vị của nó
Vậy $MaxP=28$ $\Leftrightarrow (a, b, c)=(0, 2, 4)$ và các hoán vị của nó
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 30-05-2018 - 07:32 trong Số học
Từ giả thiết ta thấy ngay a, b, c đều là các số lẻ mà một số chính phương lẻ chia 8 dư 1
Từ nhận xét trên: $a^{30}+b^{4}+c^{2018}\equiv 3$ (mod 8)
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 30-05-2018 - 09:39 trong Số học
Bài toán này sử dụng phương pháp bước nhảy Viete. Các bài viết khác về bước nhảy Viete trên VMF
http://diendantoanho...ước-nhảy-viete/
Lời giải của bài toán trên bạn có thể tham khảo ở đây: http://math.stackexc...-its-an-integer
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học