Câu 3. Ta cần chứng minh

$P=\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\geq \sqrt{3}$

$\Leftrightarrow a^{2}b^{2}+c^{2}a^{2}+b^{2}c^{2}\geq \sqrt{3}abc$

$\Leftrightarrow (a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})^{2}\geq 3a^{2}b^{2}c^{2}= 3a^{2}b^{2}c^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$(luôn đúng)

Ap dụng AM-GM cho 3 số dương ta có

$\frac{a}{b}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^{2}b}{b^{2}c}}= \frac{3a}{\sqrt[3]{abc}}$

Tương tự ta có$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\geq \frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}= \frac{1}{\sqrt[3]{abc}}$

Có $1=a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\leq \frac{1}{27}$

$\Rightarrow VT\geq \frac{1}{\sqrt[3]{abc}}+\sqrt[3]{abc}= \frac{1}{\sqrt[3]{abc}}+9\sqrt[3]{abc}-8\sqrt[3]{abc}\geq 6-8.\frac{1}{3}= \frac{10}{3}$

ví dụ $a=12;b=14\Rightarrow 2a=24;2b= 28$

giữa 24 và 28 ko có số nào nguyên tố

Nghiệm của pt là 2 nghiệm của pt $x^{2}-\sqrt{3}x+(1-\sqrt{3})= 0$

tức là $x=\frac{1}{2}(\sqrt{3}\pm \sqrt{4\sqrt{3}-1})$

Nghiệm xấu quá https://www.wolframa...+1)√(5x^2+6x+6)

$\sum a$

Có $\sum \frac{a}{b^{2}+c^{2}+2}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}b+ab^{2}+ac^{2}+a^{2}c+b^{2}c+bc^{2}+2a+2b+2c}= \frac{(a+b+c)^{2}}{(a+b+c)(ab+bc+ca)-3abc+2(a+b+c)}= \frac{(a+b+c)^{2}}{3a+3b+3c-3abc}$

Cần chứng minh$8(a+b+c)^{2}+9\sqrt{3}abc\geq 9\sqrt{3}(a+b+c)$ với ab+bc+ca=1 là xong ,không biết có đúng ko

Ta có  $(y+1)^{2}=(y+2)x^{2007}$

Do $(y+1;y+2)= 1\Rightarrow ((y+1)^{2};y+2)= 1$

Nên $(y+1)^{2}\vdots y+2\Leftrightarrow$ y+2=1 hoặc y+2=-1

Từ đây tìm y suy ra x

BĐT $\Leftrightarrow (ab+bc+ca-3)^{2}\geq (\sqrt{a^{2}+1}+\sqrt{b^{2}+1}+\sqrt{c^{2}+1})^{2}$

Có $(ab+bc+ca-3)^{2}= (ab+bc+ca)^{2}-6(ab+bc+ca)+9\geq 3(a+b+c)abc-6(ab+bc+ca)+9= 3(a+b+c)^{2}-6(ab+bc+ca)+9= 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+9$

Ta cần chứng minh  $(\sum \sqrt{a^{2}+1})^{2}\leq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2}+3)$   

Ap dụng bất đẳng thức Bunhia ta có

$(\sqrt{a^{2}+1}+\sqrt{b^{2}+1}+\sqrt{c^{2}+1})^{2}\leq 3(a^{2}+1+b^{2}+1+c^{2}+1)= 3(a^{2}+b^{2}+c^{2}+3)$

$\Rightarrow dpcm$

Ta có   $3-yz= x^{2}+y^{2}+z^{2}-yz \leq x^{2}+\frac{y^{2}+z^{2}}{2}= \frac{3+x^{2}}{2}$

       $\Rightarrow \frac{x}{3-yz}\leq \frac{2x}{3+x^{2}}\leq \frac{x^{2}+1}{x^{2}+3}= 1-\frac{2}{x^{2}+3}$

Từ đây ta có $VT\leq 3-(\sum \frac{2}{x^{2}+3})\leq 3-\frac{18}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+9} = 3-\frac{18}{12}= \frac{3}{2}$

bài này hơi khó đấy

bài này hơi khó đấy

Công nhận hay thật

Gọi H là trung điểm của CD $\Rightarrow OH$ vuông góc với CD (Do $\bigtriangleup OCD$ cân tại O)

Khi đó $\lozenge OHPB$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{DHB}= \widehat{PHB}= \widehat{POB}= \widehat{AOE}$

Xét $\bigtriangleup DHB$  và $\bigtriangleup AOE$ ta có

     $\widehat{HDB}= \widehat{OAE}$ (Vì cùng bù với $\widehat{CAB}$ )

      $\widehat{DHB}= \widehat{AOE}$ (chứng minh trên )

$\Rightarrow \bigtriangleup HDB\sim \bigtriangleup OAE$ (g-g)

 $\Rightarrow \frac{BD}{DH}= \frac{AE}{AO}\Rightarrow \frac{BD}{2DH}= \frac{AE}{2AO}\Leftrightarrow \frac{BD}{DC}= \frac{AE}{AB}$

Từ đây $\Rightarrow \bigtriangleup BDC\sim \bigtriangleup EAB$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{EBA}= \widehat{BCD}= \widehat{BAD}$

Suy ra đpcm

Kẻ ON vuông góc với BC tại N

Bạn cm được ON$= \frac{1}{2}AH$

(VÌ  đây là hệ thức Ơ le quen thuộc tra mạng có)

Bạn có thể làm như sau kéo dài AO cắt (0) tại F rồi cm BHCF là hình bình hành(có 2 cặp cạnh song song) rồi CM HNFthẳng hàng suy ra OM là đường trung bình của tam giác AHF suy ra dpcm

Gọi K,J,K' là hình chiếu của B;A,E lên AC; BC,BC

$\Rightarrow EK'=\frac{1}{2}AH=MK$(vìEK'=ON)

Có $\frac{BK}{BC}=sin C$

Có$\frac{MK}{EC}= \frac{EK'}{EC}= sinC$

$\Rightarrow \frac{MK}{BK}= \frac{EC}{BC}= sin C$

CM được $\widehat{MKB}=\widehat{ECB}$

$\Rightarrow \bigtriangleup MKB\sim \bigtriangleup ECB(C.G.C)$

$\Rightarrow \widehat{BMK}= \widehat{BEC} \Rightarrow \widehat{BMK}+\widehat{BEK}=180$

 

$\Rightarrow \lozenge BMJE$ laf tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{BME}= \widehat{BKE}= 90$

BMKE  là tứ giác nội tiếp

https://diendantoanh...dehatbme90circ/

 *

Đặt $\sqrt{a}= x(x\geq 0)$ ta có $P=\frac{a}{a^{3}-3a+3}$

Ta cần tìm a không âmsao cho P nguyên

Dễ thấy P$\geq 0$

Ta có $a^{3}+3-3a= a^{3}+\frac{3}{2}+\frac{3}{2}-3a\geq 3\sqrt[3]{a^{3}.\frac{3}{2}.\frac{3}{2}}-3a= 3a(\sqrt[3]{\frac{9}{4}}-1)\Rightarrow \frac{a}{a^{3}+3-3a}\leq \frac{1}{3(\sqrt[3]{\frac{9}{4}}-1)}$  xấp xỉ số nguyên nào đó

Đến đây chặn P, tìm giá trị nguyên rồi tìm a suy ra x

Bài này hay đấy mà m thấy bạn đăng mấy lần rồi cho hỏi bạn có lời giải chưa?

$x^{4}+ax^{3}+2x^{2}+bx+1=0$

$\Leftrightarrow x^{4}+2x^{2}+1= -(ax^{3}+bx)$

$\Rightarrow (x^{2}+1)^{4}= (ax^{3}+bx)^{2}\leq (a^{2}+b^{2})(x^{6}+x^{2})$)

$\Rightarrow a^{2}+b^{2}\geq \frac{(x^{2}+1)^{4}}{x^{6}+x^{2}}$

Đặt $x^{2}=a (a\geq 0)$ ta cần chứng minh (a>0 vif x=0 ko la no)

$\frac{(a+1)^{4}}{a^{3}+a}\geq 8$

$\Leftrightarrow a^{4}+6a^{2}+1-4a^{3}-4a\geq 0 \Leftrightarrow (a^{4}-a^{3})-(3a^{3}-3a^{2})+(3a^{2}-3a)-(a-1)\geq 0\Leftrightarrow (a^{3}-3a^{2}+3a-1)(a-1)\geq 0\Leftrightarrow (a-1)^{4}\geq 0$

Ta có $P=2(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)+a^{2}+b^{2}+c^{2}+4abc$

Do $a+b+c= 1\Rightarrow P=2(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)+(a^{2}+b^{2}+c^{2})(a+b+c)+4abc$

$P=2(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)+\sum a^{3}+(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})+4abc$

   $= \sum a^{3}+3\sum a^{2}b+6abc-2(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}+abc)$

$= (a+b+c)^{3}-2(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}+abc)\geq 1-\frac{8}{27}(a+b+c)^{3}= \frac{19}{27}$

Bất đẳng thức phụ $ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}+abc\leq \frac{4}{27}(a+b+c)^{3}$ bạn xem, ở đây

https://diendantoanh...b-b2c-c2a-le-4/

a,$\left\{\begin{matrix} (1-\frac{12}{y+3x})\sqrt{x}=2\\ (1+\frac{12}{y+3x})\sqrt{y}=6 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 1-\frac{12}{y+3x}=\frac{2}{\sqrt{x}}\\ 1+\frac{12}{y+3x}= \frac{6}{\sqrt{y}} \end{matrix}\right.$

Trừ vế với vế , cộng vế với vế ta được hệ sau

$\left\{\begin{matrix} 2=\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{6}{\sqrt{y}}\\ \frac{-24}{y+3x}= \frac{2}{\sqrt{x}}-\frac{6}{\sqrt{y}} \end{matrix}\right.$

Tiếp tục nhân vế với vế của pt trên ta được

$\frac{-48}{y+3x}= \frac{4}{x}-\frac{36}{y}$

Đến đây quy đồng tìm ra quan hệ giữa x,y là xong!

 Bạn nên chỉnh lại tiêu đề cho phù hợp

Dễ thấy $\lozenge AHDE$ nội tiếp$\Rightarrow \widehat{HED}=\widehat{HAD}= \widehat{HAB}$

(2 góc nt cùng chắn 1 cung, $\bigtriangleup BHD$ cân)

$\bigtriangleup DEC$ vuông tại E, M là trung điểm cạnh huyền DC$\Rightarrow DM=ME\Rightarrow \Rightarrow \widehat{DEM}=\widehat{MDE}=\widehat{HAE}$

(Tính chất tứ giác nội tiếp)

 Ta có $\widehat{HEM}= \widehat{HED}+\widehat{DEM}=\widehat{BAH}+\widehat{HAC}=90$

ĐPCM

Bạn nên sửa lại tiêu đề                                                                    

 Mình làm cách này không liên quan đến điểm F ,D,E

Gọi J là trung điểm của BH.

Xét $\bigtriangleup AHB$ có MJ là đường trung bình

$\Rightarrow MJ$ song song với AB$\Rightarrow MJ$ vuông góc với AC

Mặt khác ta có AM vuông góc với CJ

$\Rightarrow M$ là trực tâm của tam giác AJC

$\Rightarrow CM$ vuông góc với AJ

Ta lại có JA là đường trung bình của $\bigtriangleup BHK$

$\Rightarrow JA$ song song với HK 

Từ đây ta có đpcm

1, Gọi AI cắt BC tại D

$\Rightarrow AD$ là tia phân giác của $\widehat{BAC}$

Theo tính chất đường phân giác trong tam giác ta có

$\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{CD}=\frac{AB+AC}{BD+CD}= \frac{AB+AC}{BC}$

Ta có $\widehat{MIB}= \widehat{IAB}+\widehat{IBA}= \frac{\widehat{A}}{2}+\frac{\widehat{B}}{2}$

$\widehat{MBI}= \widehat{MBC}+\widehat{CBI}= \widehat{MAC}+\widehat{CBI}=\frac{\widehat{A}}{2}+\frac{\widehat{B}}{2}$

$\Rightarrow \widehat{MIB}=\widehat{MBI}$$\Rightarrow MI=MA$

Vậy ta cần chứng minh$\frac{BD}{AB}= \frac{MI}{MA}= \frac{MB}{MA}$

Đến đây cần chứng minh 2 tam giác đồng dạng là xong

$AB$ là đường kính, mình sơ suất quá nên ghi thiếu đề. Ủa mà bạn ơi, $K$ là chân đường vuông góc kẻ từ $B$ mà bạn, vậy sao kẻ $OK$ vuông góc $CD$ được?

mình xin lỗi nhé kẻ O.... gì vuông góc với CD cũng được

$BC^{2}+AB.AC-AB^{2}= 0\Leftrightarrow BC^{2}= AB(AB-AC)$(*)

$BC;AB> 0\Rightarrow AB-AC> 0\Leftrightarrow AB> AC$

Trên cạnh AB lấy D sao cho AC=AD nên từ(*) $\Rightarrow BC^{2}= BA.BD$

$\Rightarrow \bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup CBD$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{BDC}= \widehat{ACB};\widehat{BCD}= \widehat{CAB}$

Mặt khác ta có$\bigtriangleup ACD$ cân tại A$\Rightarrow \widehat{ACD}=\widehat{ADC}$

Ta có$\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{BAC}= 180$

$\Rightarrow \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{ACD}+\widehat{DCB}=\widehat{A}+\widehat{B}+\frac{180-\widehat{A}}{2}+\widehat{A}=180$

$\Rightarrow \widehat{A}+\frac{2}{3}\widehat{B}= 60$

Kẻ OK vuông góc với CD.$\Rightarrow K$ là trung điểm của CD(Liên hệ giữa đường kính và dây)(1)

Dễ thấy $\lozenge AHKB$ là hình thang có O là trung điểm của AB

OK song song vs 2 cạnh đáy nên k là trung điểm của HK(2)

Từ(1) và (2) ta có đpcm

theo mình đoán thì AB là đường kính

Bài 1

a, BĐT$\Leftrightarrow a+\frac{(b-c)^{2}}{4}\geq (a+\frac{b+c}{2})^{2}$

$\Leftrightarrow 4a+(b-c)^{2}\leq 4a^{2}+4a(b+c)+(b+c)^{2}$

$\Leftrightarrow 4a^{2}+4a(b+c)+4bc-4a\geq 0$

$\Leftrightarrow 4a^{2}+4a(b+c-1)+4bc\geq 0$

$\Leftrightarrow a^{2}+a(b+c-1)+bc\geq 0$

$\Leftrightarrow a^{2}+a(-a)+bc\geq 0\Leftrightarrow bc\geq 0(Q.E.D)$

b, tương tự câu a ta có

$\sqrt{b+\frac{(a-c)^{2}}{2}}\leq b+\frac{a+c}{2}$

$\sqrt{c+\frac{(a-b)^{2}}{4}}\leq c+\frac{a+b}{2}$

Cộng theo vế ta được đpcm

Dấu bằng xảy ra khi tồn tại 2 trong 3 số =0; 1 số là 1

Bài 2

Dùng bất đẳng thức quen thuộc ta có

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{3}= \frac{3}{4}$

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=$\frac{1}{2}$

Còn max thì hình như đề phải có dấu bằng như$0\leq a,b,c\leq 1$

https://diendantoanh...ng-x2y2z2leq-2/ là 1 bài tương tự