+) x=0 không là nghiệm của phương trình 

+) $x\neq 0$ chia cả 2 vế của P(x) cho $x^{2}$ ta được

$x^{2}+ax+b+\frac{a}{x}+\frac{1}{x^{2}}=0$

Đặt $x+\frac{1}{x}=t(\left | t \right |\geq 2)$

PT trở thành 

$t^{2}-2+at+b=0$

$\Leftrightarrow at+b=2-t^{2}\Rightarrow (at+b)^{2}=(t^{2}-2)^{2}\Rightarrow (a^{2}+b^{2})(t^{2}+1)\geq (t^{2}-2)^{2}\Rightarrow a^{2}+b^{2}\geq \frac{(t^{2}-2)^{2}}{t^{2}+1}$

ta cần cm $\frac{(t^{2}-2)^{2}}{t^{2}+1}\geq \frac{4}{5}$ biến đổi tương đương là ra

Phân tích đa thức thành nhân tử:

6x² + 21xy + 9y² - 2x - y

 

PT =(y+2x).(9y+3x-1)

bạn tham khảo tại đây:https://diendantoanh...sincosxcossinx/

bạn tham khảo tại đây:

https://diendantoanh...chia-hết-cho-x/

Giải pt:  $\sqrt{1-\sqrt{x^2-x}}=\sqrt{x}-1$

ĐK $1\leq x\leq \frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Bình phương 2 vế ta được

$1-\sqrt{x^{2}-x}=x-2\sqrt{x}+1\Rightarrow -\sqrt{x-1}=\sqrt{x}-2\Rightarrow x-1=x-4\sqrt{x}+4\Leftrightarrow x=\frac{25}{16}$

tìm các nghiệm nguyên của phương trình:

$x^{2}+2y^{2}+3xy-x-y+3=0$

Ta có :

$x^{2}+2y^{2}+3xy-x-y+3=0$

$\Rightarrow x^{2}+2y^{2}+2xy+xy-x-y=-3$

$(x^{2}+xy)+(2y^{2}-y)+(2xy-x)=-3$

$x(x+y)+y(2y-1)+x(2y-1)=-3$

$(x+y)(x+2y-1)=-3$

đến đây là PT ước số

mà bạn ơi mình đang cần chứng minh hihi

Xét $\bigtriangleup ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn (O;R)

Gọi OD;OE;OF là khoảng cách từ O đến BC;CA;AB.Đặt AB=c;BC=a;CA=b;OD=x;OE=y;OF=z.

Ta có

$OA.EF=AF.OE+AEOF\Rightarrow R.\frac{a}{2}=\frac{c}{2}.y+\frac{b}{2}.z$

$\Rightarrow aR=cy+bz$

Tương tự ta có $bR=az+cx;cR=ay+bx$ Từ đây suy ra R(a+b+c)=a(z+y)+b(x+z)+c(x+y) (1)

Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC thì ta có

$r(a+b+c)=ax+by+cz$(2)

Cộng vế theo vế của (1) và (2) suy ra đpcm

Cho $\triangle ABC$. Đường trung tuyến $AD$, đường cao $BH$, đường phân giác $CE$ đồng quy. Chứng minh đẳng thức: $(BC + CA)(BC^2 + CA^2 - AB^2) = 2BC.CA^2$.

Mình xin cm như sau

Ta có

$CH^{2}=BC^{2}-BH^{2}=BC^{2}-(AB^{2}-AH^{2})=BC^{2}-AB^{2}+AH^{2}=BC^{2}-AB^{2}+(CA-AH)^{2}\Rightarrow BC^{2}-AB^{2}+AC^{2}=2CA.AH$

$\Rightarrow CH=\frac{BC^{2}+CA^{2}-AB^{2}}{2AC}$

Cm tương tự ta được $AH=\frac{CA^{2}+AB^{2}-BC^{2}}{2CA}$

$\Rightarrow \frac{CH}{AH}=\frac{BC^{2}+CA^{2}-AB^{2}}{CA^{2}+AB^{2}-BC^{2}} (1)$

Trong $\bigtriangleup ADC$ có CO là phân giác nên $\frac{OD}{OA}=\frac{CD}{CA}=\frac{BC}{2CA}$ (2)

Từ D kẻ $DK \perp CA$từ đây suy ra $BH\parallel DK$

$\Rightarrow \frac{OD}{OA}=\frac{KH}{KA}=\frac{CH}{2HA}$ (3)

Từ (1);(2);(3) suy ra $\frac{BC^{2}+CA^{2}-AB^{2}}{CA^{2}+AB^{2}-BC^{2}}=\frac{BC}{CA}$

$\Rightarrow \frac{BC^{2}+CA^{2}-AB^{2}}{2CA^{2}}=\frac{BC}{BC+CA}$

Từ đây suy ra đpcm

bạn tham khảo tại đây:https://vi.wikipedia...h_tam_gi.C3.A1c

Cho 3 số dương $0\leq x\leq y\leq z\leq 1$

CMR $\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{xz+1}+\frac{z}{xy+1}\leq 2$

Chứng minh định lý PYTAGO đảo bằng max cách !

Mình có cách như thế này

Xét $\bigtriangleup ABC$ có $a^{2}=b^{2}+c^{2}$

Kẻ AH vuông góc với BC

Ta có $AB^{2}=BH^{2}+AH^{2};AC^{2}=AH^{2}+CH^{2};BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$

$\Rightarrow AH^{2}=BH.CH\Rightarrow \bigtriangleup ABH\sim \bigtriangleup CAH\Rightarrow \widehat{BAH}=\widehat{ACH}\Rightarrow \widehat{BAC}=90^{\circ}$

Cho $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$.CMR:

$\frac{1}{a^{2015}}+\frac{1}{b^{2015}}+\frac{1}{c^{2015}}=\frac{1}{a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}}$

Ta có 

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$

$\Rightarrow (a+b+c)(ab+bc+ca)=abc\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a)=0$

$\begin{bmatrix} a=-b\\ b=-c\\ c=-a \end{bmatrix}$

Đến đây thay và là ra 

Cho a,b,c dương thỏa mãn $\sum a^3$=3. CMR: 4 $\sum \frac{1}{a}$ + 5$\sum a^2$ >= 27

Do $\sum a^{3}=3\Rightarrow max(a,b,c)\leq \sqrt[3]{3}$

Ta sẽ cm bđt sau 

$\frac{4}{a}+5a^{2}\geq 9+2(a^{3}-1)\Leftrightarrow 2(a-1)^{2}(a-\frac{1+\sqrt{33}}{4})(a+\frac{\sqrt{33}-1}{4})\leq 0$(đúng do $a\leq \sqrt[3]{3}$)

Tương tự ta được $VT\leq 27+2(\sum a^{3}-3)=27$

bạn tham khảo ở đây: http://k2pi.net.vn/s...trong-mat-phang

B5, Tìm nghiệm nguyên của phương trình x² +y²=2x²y²

 

Ta có:

$x^{2}+y^{2}=2x^{2}y^{2}$

$(2x^{2}-1)(2y^{2}-1)=1$

đến đây thì tìm Ư(1)

B6, Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình x²-3xy+2y²+6=0

$PT\Leftrightarrow (y-x)(2y-x)$

đến đây thì quy về tìm $Ư(-6)$

Chứng minh rằng trong 8 số tự nhiên có 3 chữ số, bao giờ cũng chọn được 2 số sao cho khi viết chúng liền nhau tạo thành 1 số có 6 chữ số và 1 số chia hết cho 7.

Do có 8 số tự nhiên nên tộn tại 2 số có cùng số dư khi chia cho 7

Giả sử là $\overline{abc}$ và $\overline{def}$ 

Ta có

$\overline{abcdef}=1000\overline{abc}+\overline{def}=1001\overline{abc}+(\overline{def}-\overline{abc})\vdots 7$ nên ta có đpcm

Cho a,b,c>0,$a+b+c=1$, biết $Q=\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}$. Tìm giá trị lớn nhất của Q

Ta có

$\sqrt{a+bc}=\sqrt{a(a+b+c)+bc}=\sqrt{(a+b)(a+c)}\leq \frac{2a+b+c}{2}$

Tương tự công vế ta được 

$Q\leq 2(a+b+c)=2$

1) Cho a,b,c đôi một khác nhau thỏa $(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}$. Tính P=$\frac{a^{2}}{a^{2}+2bc}+\frac{b^{2}}{b^{2}+2ac}+\frac{c^{2}}{c^{2}+2ab}$

ta có $(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}\Rightarrow ab+bc+ca=0$

$\Rightarrow P=\frac{a^{2}}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^{2}}{(b-c)(b-a)}+\frac{c^{2}}{(c-a)(c-b)}=-\frac{a^{2}(b-c)+b^{2}(c-a)+c^{2}(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)}=1$

Cho các số dương x,y,z thỏa: $\left\{\begin{matrix} xy+x+y=3\\ yz+y+z=8\\ zx+x+z=15 \end{matrix}\right.$. Tính giá trị Q= x+y+z

Từ hpt suy ra $\left\{\begin{matrix} (x+1)(y+1)=4\\ (y+1)(z+1)=9\\ (z+1)(x+1)=16 \end{matrix}\right.\Rightarrow (x+1)(y+1)(z+1)=24$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x+1=\frac{8}{3}\\ y+1=\frac{3}{2}\\ z+1=6 \end{matrix}\right.\Rightarrow x+y+z=\frac{43}{6}$

1) $\left\{\begin{matrix} x^{2}+ xy +2 = 3x +y & \\ x^{2}+y^2 =2 & \end{matrix}\right.$

Ta có $x^(2)+xy+2=3x+y\Leftrightarrow (x-1)(x+y-2)=0$

$\Rightarrow \begin{bmatrix} x=1\\ x=-y+2 \end{bmatrix}$

Đến đây bạn tự giải tiếp nha

bạn tham khảo tại đây:http://lazi.vn/edu/e...ri-tuong-doi-ac

mong nhận được sự hỗ trợ của các bạn

Bài 1

ta có

$\sqrt{\frac{a}{b+c}}=\frac{a}{\sqrt{a(b+c)}}\geq \frac{2a}{a+b+c}$

Tương tự công vế ta được

$VT\geq 2$

Đẳng thức không xảy ra nên ta có đpcm

Bài 3

TA có

$M\geq \frac{(2+\sqrt{3})^{2}}{1-x+x}=(2+\sqrt{3})^{2}$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=4-2\sqrt{3}$

Thử lại x= -2 tm pt

$x\approx- 2,67$

3. Cho a, b, c $\geq \frac{-3}{4}$ thỏa mãn: $a+b+c = 1$

cmr: $\frac{a}{a^{2}+1}+\frac{b}{b^{2}+1}+\frac{c}{c^{2}+1}  \leq  \frac{9}{10}$ 

Ta có BĐT sau

$\frac{a}{a^{2}+1}\leq \frac{18}{25}a+\frac{3}{50}\Leftrightarrow \frac{(3a-1)^{2}(4a+3)}{50(a^{2}+1)}\geq 0$

tương tự công vào ta có đpcm