Cho $f_{n}(x) = \sum_{i=0}^{2n}x^{i}$

a)CMR $f_{n}(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất là $y_{n}$ tại duy nhất 1 điểm là $x=x_{n}$

b)Tính $limy_{n}$, $limx_{n}$

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O).$ Các tiếp tuyến của $(O)$ tại $A,B,C$ cắt nhau tạo thành tam giác $A'B'C'.$

Xét phép vị tự tâm $O$ tỉ số bất kì biến tam giác $A'B'C'$ thành tam giác $XYZ.$ Chứng minh $AX,BY,CZ$ đồng quy.

Cho tam giác ABC ngoại tiếp (I). (I) tiếp xúc BC,CA,AB lần lượt tại D,E,F. G là điểm Gergonne của tam giác ABC. X thuộc AC,Y thuộc AB sao cho GX vuông góc DE, GY vuông góc DF. T là trung điểm EF. CMR TG vuông góc XY

Cho tam giác ABC nội tiếp (O) trực tâm H, M là điểm chính giữa cung BAC của (O). Đường thẳng qua O song song AM cắt AB,AC tại P,Q. MH cắt (O) tại điểm thứ hai là N. CMR: NH là tia phân giác góc PNQ

Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có A' đối xứng A qua BC và S là giao điểm hai tiếp tuyến tại B,C của (O). BS cắt A'C tại Y. CS cắt A'B tại X. XY cắt BC tại K. Gọi H là trực tâm tam giác ABC. CMR: OH vuông góc AK

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) ngoại tiếp (I). (I) tiếp xúc BC tại D. D' đối xứng D qua I. AD' cắt (I) tại điểm thứ 2 là E. M là điểm chính giữa cung BC chứa A của (O). MD' cắt BC tại F. CMR: EF // AM

Cho tam giác ABC nội tiếp (O) các đường cao AD,BE,CF và trực tâm H. M,N,P lần lượt là trung điểm của BC,CA,AB. X,Y,Z là các điểm nằm trên đường tròn Euler của tam giác ABC. CMR: MX,NY,PZ đồng quy trên OH <=> DX,EY,FZ đồng quy trên OH

Tìm tất cả các hàm số f liên tục $\mathbb{R}\mapsto \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$f(x+y)+f(xy)=f(xy+x)+f(y)$ với mọi x,y thuộc $\mathbb{R}$

Cho một đồ thị G(V,E) có 100 đỉnh. Mỗi đỉnh có bậc ít nhất là 30. Chứng minh rẳng ta luôn tìm được 2 đỉnh u,v mà tập gồm u,v và các đỉnh nối với u hoặc v có ít nhất 50 phần tử

Cho $(x_{n}) : \left\{\begin{matrix}x_{1}=1,x_{2}=\frac{1}{2} \\ x_{n+2} =\sqrt{2+2x_{n+1}-x_{n}} \end{matrix}\right.$ với $n\geq 1$

Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn

Cho P,Q là hai điểm liên hợp đẳng giác trong tam giác ABC. AP,BP,CP lần lượt cắt BC,CA,AB tại A',B',C'. CMR các đường thẳng đối xứng AQ,BQ,CQ lần lượt qua B'C',C'A', A'B' đồng quy

Giả sử n là số nguyên dương mà 3^n - 2^n là lũy thừa của một số nguyên tố. CM n là một số nguyên tố

Cho tam giác ABC ngoại tiếp (I). (I) tiếp xúc BC tại D. A' là điểm chính giữa cung BC. M là trung điểm ID. CM: A'M là trục đẳng phương của (Ob) và (Oc) với (Ob),(Oc) lần lượt là đường tròn mix đỉnh B,C của tam giác ABC

Cho (O) cố định và dây cung BC cố định. (O') cố định đi qua B,C; cắt AC,AB lần lượt tại E,F sao cho O' gần BC hơn O. A di động trên (O), BE cắt CF tại I. AI cắt BC tại D. FD cắt BI tại M và IC cắt DE tại N. CMR khi A di động trên (O) thì tia phân giác trong của góc MIN và đường cao đỉnh I tam giác IMN luôn đi qua điểm cố định

Cho tam giác ABC đường cao AD,BE,CF và trực tâm H. Gọi I là trung điểm EF và K là hình chiếu kẻ từ A xuống EF. M,N lần lượt là trung điểm BE,CF. CMR: M,N,I,K đồng viên

Cho tam giác ABC nội tiếp (O). AD là tia phân giác góc BAC (D thuộc (O)). Trung trực AB,AC lần lượt cắt AD tại P,Q. M là giao điểm BP,CQ. K đối xứng D qua BC. CMR: AM,AK đẳng giác trong góc BAC

Cho n nguyên dương lớn hơn 1. CMR:

\[{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{2^n}}\\
1
\end{array}} \right)^2} + {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{2^n}}\\
3
\end{array}} \right)^2} + ... + {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{2^n}}\\
{{2^n} - 1}
\end{array}} \right)^2} \vdots {2^{2n + 1}}\]

Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O). AC cắt BD tại E. (O') tiếp xúc EC,ED lần lượt tại H,G và tiếp xúc trong với (O) tại N. Gọi J là tâm bàng tiếp góc ABD của tam giác ABD. CM J,G,H thẳng hàng

Cho (O) và (O') tiếp xúc nhau tại K. Lấy D,A,B,C thuộc (O) sao cho 4 điểm này tạo thành tứ giác ABCD và BC tiếp xúc (O') tại E, AD tiếp xúc (O') tại F. Tia phân giác góc ABC cắt EF tại J. CMR: AKJF nội tiếp

(D nằm giữa A và F, C nằm giữa B,E)

Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O). P là giao điểm của AC, BD. (APD) cắt (BPC) tại điểm thứ hai là Q. (I1),(I2) lần lượt là các đường tròn nội tiếp tam giác AQD, tam giác BQC. CMR tâm vị tự ngoài của (I1) và (I2), Q, O thẳng hàng

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) có tia phân giác ứng với đỉnh A cắt (P,PB) tại E. (P là giao điểm hai tiếp tuyến tại B,C của (O)). Gọi N là điểm chính giữa cung BAC của (O) và F là giao điểm của đoạn thẳng EN với (BC). T là giao điểm của đoạn thẳng AE với (BC). CM: TF vuông góc AE

Cho $\Delta ABC$ không cân , nội tiếp (O) , B,C cố định , A thay đổi trên (O).Trên các tia AB,AC lần lượt lấy các điểm M,N để $MA=MC, NA=NB$ . $(AMN)$ cắt $(ABC)$ cắt nhau tại A và P . MN cắt BC tại Q.Gọi I là tâm của $(OBC)$ , I' đối xứng I qua MN.Chứng minh $AI'\perp BC$ . 

P/s: Nguyên mẫu bài này là VMO 2014 =))) 

Bằng biến đổi góc thì ta có được M,N đều thuộc (BOC) 

Có góc I'NM = MNI = 90 - ABN = 90 - BAN = 90 - MAN nên tâm của (AMN) nằm trên I'N. Mà tâm của (AMN) thuộc trung trực MN nên I' chính là tâm (AMN)

Do đó ta có góc BAI' = MAI' = 90 - ANM = 90 - ABC nên AI' vuông góc BC

Cho tam giác ABC. Các tia phân giác trong AD,BE,CF cắt nhau tại I. Tiếp tuyến tại A của (AEF) cắt BC tại T. CMR TA=TI và TI//EF

Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O). I1,I2 lần lượt là tâm nội tiếp tam giác ACD, BCD. CM: AB song song với tiếp tuyến chung ngoài khác DC của (I1) và (I2)

Cho tam giác ABC nội tiếp (O). M nằm trên cung BC không chứa A. Các tiếp tuyến từ M đến (I) cắt BC tại X1,X2. Gọi N là điểm chính giữa cung BAC của (O). T là giao điểm thứ hai khác N của NI với (O). CM (MX1X2) đi qua T